logoChat01.ai

Конечно! Вот текст задачи с заменой символа квадра...

생성일: 2025년 11월 15일

답변에 사용된 모델 GPT-5.1 Thinking by Chat01

질문

Конечно! Вот текст задачи с заменой символа квадратного корня на sqrt:

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD, площадь которого равна \frac{7\text{sqrt}(3)}{2}, а диагональ BD = \frac{7\text{sqrt}(3)}{3}. Высотой пирамиды SABCD является отрезок SO, где O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Найдите больший из объемов частей, на которые пирамиду SABCD делит плоскость, параллельная диагонали основания BD, проходящая через точку M, лежащую на ребре SC, MC = 3SM, и точку K, лежащую на боковом ребре пирамиды SB так, что SK : KB = 2 : 3, если расстояние от точки D до плоскости сечения равно \frac{3}{4}.

사고

Verifying final volume result

Everything matches the formulas, so the final volume is 21/8. To present this clearly, I’ll explain the reasoning step-by-step in a concise way, without overloading with algebra. Mathematics allows for a full breakdown of the steps, so I’ll share the logical flow for clarity.

Building a clear solution in Russian

I’ll present the solution in Russian with key steps. The solution won’t be overly verbose, but I'll include main steps and key computations to ensure clarity. Here's a brief outline:

  1. Set up a coordinate system. Provide coordinates.
  2. Determine the base's geometry and distance differences.
  3. Place points O, S, and others accordingly.
  4. Derive equations and conduct necessary calculations.

Simplifying the approach and computing volumes

I'll show that the equation simplifies to 5z + 2hy - 3h = 0, and ensure that vertex A lies in the plane by using y=3/2. Next, I’ll compute the distance from D to the plane, set it equal to 3/4, and solve for h. Then, I'll calculate the volume of the pyramid using the base area and height, followed by the volume of the top part using tetrahedron volumes. To keep things concise, I'll avoid overly complex determinants and use vector form for easier computation.

Thought for 3m 55s

답변

Ответ: больший объём равен 218\displaystyle \frac{21}{8}.

Разберёмся по шагам.

1. Координаты основания

Пусть основание ABCDABCD лежит в плоскости z=0z=0, а точка пересечения диагоналей OO — в начале координат.

Диагональ

BD=733BD = \frac{7\sqrt{3}}{3}

расположим вдоль оси xx:

B(L2,0,0),D(−L2,0,0),L=733.B\left(\frac{L}{2},0,0\right),\quad D\left(-\frac{L}{2},0,0\right),\quad L = \frac{7\sqrt{3}}{3}.

Другую диагональ ACAC возьмём как

AC=(a1,a2,0),AC = (a_1, a_2, 0),

тогда

A(a12,a22,0),C(−a12,−a22,0).A\left(\frac{a_1}{2},\frac{a_2}{2},0\right),\quad C\left(-\frac{a_1}{2},-\frac{a_2}{2},0\right).

Площадь параллелограмма через диагонали:

SABCD=12∣ [AC→,BD→] ∣.S_{ABCD} = \frac12 \bigl|\,[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}]\,\bigr|.

Вектор BD=(L,0,0)BD = (L,0,0), AC=(a1,a2,0)AC=(a_1,a_2,0), тогда

∣ [AC,BD] ∣=∣a2∣⋅L.|\,[AC,BD]\,| = |a_2|\cdot L.

Значит

12∣a2∣L=732⇒∣a2∣=73(73/3)=3.\frac12|a_2|L = \frac{7\sqrt{3}}{2} \quad\Rightarrow\quad |a_2| = \frac{7\sqrt{3}}{(7\sqrt{3}/3)} = 3.

Возьмём a2=3a_2 = 3. Тогда

A(a12,32,0),C(−a12,−32,0).A\left(\frac{a_1}{2},\frac32,0\right),\quad C\left(-\frac{a_1}{2},-\frac32,0\right).

2. Высота пирамиды и точки K, M

Пусть вершина пирамиды SS имеет координаты

S(0,0,h),S(0,0,h),

так что SO=hSO = h — высота.

Точка KK на ребре SBSB: SK:KB=2:3SK:KB = 2:3,
значит

K=S+25(B−S)=(L5, 0, 3h5).K = S + \frac{2}{5}(B - S) = \left(\frac{L}{5},\,0,\,\frac{3h}{5}\right).

Точка MM на ребре SCSC: MC=3SM⇒SM=14SCMC = 3SM\Rightarrow SM = \frac14 SC, значит

M=S+14(C−S)=(−a18, −38, 3h4).M = S + \frac14(C - S) = \left(-\frac{a_1}{8},\,-\frac{3}{8},\,\frac{3h}{4}\right).

3. Уравнение плоскости сечения

Плоскость проходит через точки KK и MM и параллельна диагонали BDBD.
Направляющий вектор вдоль BDBD можно взять d=(1,0,0)d=(1,0,0).

Другой направляющий — вектор

u=KM→=M−K=(−a18−L5, −38, 3h20).u = \overrightarrow{KM} = M-K = \left(-\frac{a_1}{8}-\frac{L}{5},\,-\frac{3}{8},\,\frac{3h}{20}\right).

Нормаль к плоскости

n=d×u=(0, −u3, u2)=(0, −3h20, −38).n = d \times u = (0,\,-u_3,\,u_2) = \left(0,\,-\frac{3h}{20},\,-\frac{3}{8}\right).

Можно умножить на константу и взять удобную нормаль:

N=(0, 2h, 5).N = (0,\,2h,\,5).

Уравнение плоскости через точку KK:

0⋅(x−L5)+2h(y−0)+5(z−3h5)=00\cdot(x - \tfrac{L}{5}) + 2h(y - 0) + 5(z - \tfrac{3h}{5}) = 0 ⇒2hy+5z−3h=0.\Rightarrow\quad 2hy + 5z - 3h = 0.

Это и есть уравнение плоскости сечения.

Проверим, что плоскость проходит через A

Подставим A(a12,32,0)A\left(\frac{a_1}{2},\frac32,0\right):

2h⋅32+5⋅0−3h=3h−3h=0.2h\cdot\frac32 + 5\cdot0 - 3h = 3h - 3h = 0.

Значит, плоскость действительно проходит через AA.
Пересечение плоскости с основанием — прямая через AA, параллельная BDBD.

4. Используем расстояние от D до плоскости

Для точки D(−L2,0,0)D(-\tfrac{L}{2},0,0) подставим в уравнение плоскости:

f(D)=2h⋅0+5⋅0−3h=−3h.f(D) = 2h\cdot 0 + 5\cdot 0 - 3h = -3h.

Расстояние от точки до плоскости

ρ(D,π)=∣Ax0+By0+Cz0+D0∣A2+B2+C2,\rho(D,\pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_0|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}},

где у нас A=0,B=2h,C=5,D0=−3hA=0, B=2h, C=5, D_0=-3h.

Тогда

ρ(D,π)=3h(2h)2+52=3h4h2+25.\rho(D,\pi) = \frac{3h}{\sqrt{(2h)^2 + 5^2}} = \frac{3h}{\sqrt{4h^2 + 25}}.

По условию:

3h4h2+25=34.\frac{3h}{\sqrt{4h^2 + 25}} = \frac{3}{4}.

Сократим на 3 и возведём в квадрат:

h24h2+25=116⇒16h2=4h2+25⇒12h2=25⇒h2=2512,\frac{h^2}{4h^2 + 25} = \frac{1}{16} \quad\Rightarrow\quad 16h^2 = 4h^2 + 25 \quad\Rightarrow\quad 12h^2 = 25 \quad\Rightarrow\quad h^2 = \frac{25}{12}, h=523.h = \frac{5}{2\sqrt{3}}.

5. Полный объём пирамиды

SABCD=732,h=523.S_{ABCD} = \frac{7\sqrt{3}}{2},\quad h = \frac{5}{2\sqrt{3}}. Vпир=13SABCD h=13⋅732⋅523=3512.V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S_{ABCD}\, h = \frac{1}{3}\cdot\frac{7\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{35}{12}.

6. Объём части с вершиной S (верхняя часть)

Плоскость сечения пересекает боковые рёбра в точках:

  • SASA — в точке AA,
  • SBSB — в точке KK,
  • SCSC — в точке MM,
  • SDSD — в некоторой точке NN.

Найдём NN на SDSD:
параметрически

SD:S+t(D−S)=(0,0,h)+t(−L2,0,−h).SD:\quad S + t(D-S) = (0,0,h) + t\left(-\frac{L}{2},0,-h\right).

Координаты

(x,y,z)=(−tL2, 0, h(1−t)).(x,y,z) = \left(-\frac{tL}{2},\,0,\,h(1-t)\right).

Подставим в уравнение плоскости:

2h⋅0+5h(1−t)−3h=0⇒5(1−t)−3=0⇒2−5t=0⇒t=25.2h\cdot 0 + 5h(1-t) - 3h = 0 \quad\Rightarrow\quad 5(1-t) - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 - 5t = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{2}{5}.

Значит

N=(−L5, 0, 3h5).N = \left(-\frac{L}{5},\,0,\,\frac{3h}{5}\right).

Фигура над плоскостью — это пирамида с вершиной SS и основанием-четырёхугольником AKMNAKMN.
Её удобно разбить на два тетраэдра:

  • S−A−K−MS-A-K-M,
  • S−A−M−NS-A-M-N.

Объём тетраэдра SXYZSXYZ равен

V=16∣det⁡(SX→,SY→,SZ→)∣.V = \frac{1}{6} \bigl| \det(\overrightarrow{SX},\overrightarrow{SY},\overrightarrow{SZ}) \bigr|.

Из вычислений (через координаты векторами и детерминанты) получается:

VSAKM=VSAMN=Lh40,V_{SAKM} = V_{SAMN} = \frac{Lh}{40},

поэтому суммарный объём верхней части:

Vверх=VSAKM+VSAMN=Lh20.V_{\text{верх}} = V_{SAKM} + V_{SAMN} = \frac{Lh}{20}.

Подставляем

L=733,h=523:L = \frac{7\sqrt{3}}{3},\quad h = \frac{5}{2\sqrt{3}}: Lh=733⋅523=356,Lh = \frac{7\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{35}{6}, Vверх=35/620=35120=724.V_{\text{верх}} = \frac{35/6}{20} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}.

Проверим отношение:

VверхVпир=7243512=724⋅1235=110.\frac{V_{\text{верх}}}{V_{\text{пир}}} = \frac{\frac{7}{24}}{\frac{35}{12}} = \frac{7}{24}\cdot\frac{12}{35} = \frac{1}{10}.

То есть верхняя часть составляет 110\frac{1}{10} объёма всей пирамиды.

7. Объём нижней (большей) части

Vниз=Vпир−Vверх=3512−724=7024−724=6324=218.V_{\text{низ}} = V_{\text{пир}} - V_{\text{верх}} = \frac{35}{12} - \frac{7}{24} = \frac{70}{24} - \frac{7}{24} = \frac{63}{24} = \frac{21}{8}.

Очевидно,

Vниз>Vверх,V_{\text{низ}} > V_{\text{верх}},

поэтому искомый больший объём:

Vmax⁡=218.\boxed{\displaystyle V_{\max} = \frac{21}{8}}.

질문

Вписанная в треугольник ABC окружность радиуса 2 касается стороны AC в точке D, угол C этого треугольника равен arctan(\frac{\sqrt{15}}{7}). На продолжениях сторон AC и BC за точку C взяты точки K и L соответственно. Длины отрезков AK и BL равны полупериметру треугольника ABC. На описанной около треугольника ABC окружности выбрана точка так, что CM \parallel KL.

Найдите радиус описанной около треугольника CDM окружности.

사고

import mpmath as mp

def compute_R(u_val): r = 2 z = 2mp.sqrt(15) C = mp.matrix([0,0]) D = mp.matrix([z,0]) cosC = 7/8 sinC = mp.sqrt(15)/8 tC = sinC/cosC Ax = z + u_val # slope m m = -4u_val/(u_val**2 - 4) # B intersection xB = mAx/(m - tC) yB = tCxB # a = len(CB) a = xB/cosC y_seg = a - z # y = s - b # Points K = mp.matrix([-y_seg, 0]) L = mp.matrix([-u_valcosC, -u_valsinC]) v = L - K # direction

text
# circle of ABC: through C(0,0), A(Ax,0), B(xB,yB)
p = -Ax
# compute q
q = (Ax * xB - xB**2 - yB**2)/yB

# Solve for t != 0 such that param t*v on circumcircle
# equation f(t)=x^2+y^2 + p x + q y
def f(t):
    x = v[0]*t
    y = v[1]*t
    return x**2 + y**2 + p*x + q*y
# find root near maybe t=1? we know t=0 root; search other.
# We can bracket root by scanning.
t0, t1 = 0.001, 100.0
f0 = f(t0)
# search for sign change
for k in range(1,60):
    tk = 10**(k/10-3)  # from 0.001 to 100 roughly
    fk = f(tk)
    if f0*fk < 0:
        t1 = tk
        break
    f0 = fk
    t0 = tk
# use bisection or newton near bracket
root = mp.findroot(f, (t0, t1))
tM = root
# M coords
M = mp.matrix([v[0]*tM, v[1]*tM])
# side lengths of triangle C-D-M
def dist(P,Q):
    return mp.sqrt((P[0]-Q[0])**2 + (P[1]-Q[1])**2)
Cpt = mp.matrix([0,0])
Dpt = mp.matrix([z,0])
CM = dist(Cpt, M)
DM = dist(Dpt, M)
CD = dist(Cpt, Dpt)
# area via cross product magnitude /2
area = abs((Dpt[0]-Cpt[0])*(M[1]-Cpt[1]) - (Dpt[1]-Cpt[1])*(M[0]-Cpt[0]))/2
# circumradius formula: R = a*b*c /(4*Δ)
R = CD*CM*DM/(4*area)
return R

for uval in [3,4,5,6,10]: print("u", uval, "R_CD approx:", compute_R(uval))

Thought for 6m 36s

사고

def check_excircle_semiperim(u_val): z = 2mp.sqrt(15) cosC = 7/8 sinC = mp.sqrt(15)/8 tC= sinC/cosC Ax = z + u_val A = mp.matrix([Ax,0]) C = mp.matrix([0,0]) m= -4u_val/(u_val**2 -4) xB = mAx/(m - tC) yB = tCxB B = mp.matrix([xB,yB]) def dist(P,Q): return mp.sqrt((P[0]-Q[0])**2 + (P[1]-Q[1])**2) a = dist(B,C); b=dist(A,C); c=dist(A,B) s = (a+b+c)/2 print("s",s) # Compute A-excenter I_A using angle bisectors: Intersection of internal bisector at A and external at B & C; easier using formula in coordinates weights: I_A = (-a:A:?? Wait) # Use barycentric coordinates: in barycentric, incenter I~(a:b:c); excenter opposite A: I_A~(-

Thought for 7m 39s

답변

to=python.exec

이 Q&A 공유하기