logoChat01.ai

помоги мне решить задачу по алгоритмам и структура...

생성일: 2025년 10월 24일

답변에 사용된 모델 GPT-5 Thinking by Chat01

질문

image.pngimage.png
image.pngimage.png

помоги мне решить задачу по алгоритмам и структурам данных на языке программирования C++

напиши примитивное решение! также пиши код в моём стиле: не используй using namespace std; используй стандартные include (не используй «#include <bits/stdc++.h>»); без сильной необходимости не используй глобальные переменные (все переменные должны быть в main); требования к названиям переменных: названия переменных должны быть развёрнутыми (так чтобы было понятно что в них хранится и какой смысл они несут), но сильно длинными названия переменных не делай, названия пиши без заглавных букв, если в названии используются несколько слов, то разделяй их нижним подчёркиванием («_»); не используй болшие классы и сруктуры с различными методами (для удобства можно использовать только маленькие классы и структуры); в коде обязательно должна присутствовать отдельная функция (функции), в которой (которых) происходит основное решение задачи, возможно наличие вспомогательных функций (то есть весь код не должен быть написан в main, в main напиши считывание входных данных и «подготовку» к решению); не используй лямбда-функции, вместо них пиши отдельные функции; весь код пиши под версию C++20, не использую без сильной необходимости старый стиль написания кода и старые

사고

Clarifying antisymmetric flow function

I’m thinking through the constraints on an antisymmetric flow function: f(u,v) ≤ c(u,v), antisymmetry means flow in reverse direction is negative, but I don't have to require f(u,v) ≥ 0 — this can be allowed based on the antisymmetry. I also need to ensure flow conserves at all nodes except s and t, with proper capacity limits defined.

Implementing flow constraints

The problem specifies that flow conservation holds for all nodes except s and t. I’ll read matrices for capacities and flow values, utilizing long long for safety against overflow. For edge cases, f(i,i) should be zero due to antisymmetry, and I need to check if negative flow should violate capacity constraints.

Handling negative flow in capacity

I’m wondering if negative flow is allowed when the capacity constraint f(u,v) ≤ c(u,v) holds. Negative flow seems fine as long as it respects antisymmetry and the capacity ≥ 0, but reverse capacity isn't explicitly needed. I’ll implement based on the three specified axioms and check through examples for verification.

Setting up functions for flow checks

The input provides both the flow and capacity matrices, followed by an empty line. I’m considering writing functions to check:

  1. Capacity constraints — ensuring flows don’t exceed capacities.
  2. Antisymmetry — ensuring the flow is consistent with reverse directions.
  3. Conservation — verifying the flow balance for all vertices except source/sink.

I’m also wondering if negative flows are allowed when capacity is 0.

Thought for 54s

답변

ниже — простая проверка, что заданная матрица ff является потоком в сети с истоком s=1s=1 и стоком t=Nt=N.
Проверяем три условия:

  1. ограничение пропускной способности: f(u,v)≤c(u,v)f(u,v) \le c(u,v);
  2. антисимметричность: f(u,v)=−f(v,u)f(u,v) = -f(v,u) (в частности, f(u,u)=0f(u,u)=0);
  3. закон сохранения для всех вершин, кроме 1 и NN: ∑vf(u,v)=0\sum_v f(u,v)=0.

Код (C++20)

cpp
#include <iostream>
#include <vector>

bool check_capacity_constraints(const std::vector<std::vector<long long>>& capacities,
                                const std::vector<std::vector<long long>>& flows) {
    int vertex_count = static_cast<int>(capacities.size());
    for (int from_vertex = 0; from_vertex < vertex_count; ++from_vertex) {
        for (int to_vertex = 0; to_vertex < vertex_count; ++to_vertex) {
            if (flows[from_vertex][to_vertex] > capacities[from_vertex][to_vertex]) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

bool check_antisymmetry(const std::vector<std::vector<long long>>& flows) {
    int vertex_count = static_cast<int>(flows.size());
    for (int u = 0; u < vertex_count; ++u) {
        for (int v = 0; v < vertex_count; ++v) {
            if (flows[u][v] != -flows[v][u]) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

bool check_conservation(const std::vector<std::vector<long long>>& flows,
                        int source_vertex_index,
                        int sink_vertex_index) {
    int vertex_count = static_cast<int>(flows.size());
    for (int u = 0; u < vertex_count; ++u) {
        if (u == source_vertex_index || u == sink_vertex_index) {
            continue;
        }
        long long balance_sum = 0;
        for (int v = 0; v < vertex_count; ++v) {
            balance_sum += flows[u][v];
        }
        if (balance_sum != 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);

    int vertex_count;
    if (!(std::cin >> vertex_count)) {
        return 0;
    }

    std::vector<std::vector<long long>> capacities(vertex_count,
                                                   std::vector<long long>(vertex_count));
    for (int i = 0; i < vertex_count; ++i) {
        for (int j = 0; j < vertex_count; ++j) {
            std::cin >> capacities[i][j];
        }
    }

    // в условии после матрицы c идет пустая строка — оператор >> её пропустит

    std::vector<std::vector<long long>> flows(vertex_count,
                                              std::vector<long long>(vertex_count));
    for (int i = 0; i < vertex_count; ++i) {
        for (int j = 0; j < vertex_count; ++j) {
            std::cin >> flows[i][j];
        }
    }

    int source_vertex_index = 0;                 // вершина 1 в условии
    int sink_vertex_index = vertex_count - 1;    // вершина N в условии

    bool ok = check_capacity_constraints(capacities, flows)
           && check_antisymmetry(flows)
           && check_conservation(flows, source_vertex_index, sink_vertex_index);

    std::cout << (ok ? "YES" : "NO") << '\n';
    return 0;
}

Алгоритм работает за O(N2)O(N^2) по числу вершин и укладывается в ограничения.

이 Q&A 공유하기