Реши уравнение [x]*{x}=x^2

Уравнение:

$$[x]\cdot \{x\} = x^2$$

где $[x]$ — целая часть числа, а $\{x\}$ — дробная часть числа.

---

Шаг 1. Связь между целой и дробной частью

Любое число можно представить как:

$$x = [x] + \{x\}, \quad \{x\} \in [0,1).$$

Подставим это в уравнение:

$$[x]\cdot \{x\} = ( [x] + \{x\} )^2.$$

---

Шаг 2. Введём обозначения

Пусть:

$$n = [x] \quad (n \in \mathbb{Z}), \qquad f = \{x\}, \quad f \in [0,1).$$

Тогда уравнение:

$$n f = (n+f)^2.$$

Раскроем:

$$n f = n^2 + 2nf + f^2.$$

---

Шаг 3. Приведём подобные

Переносим всё в одну сторону:

$$0 = n^2 + 2nf + f^2 - nf = n^2 + nf + f^2.$$

---

Шаг 4. Анализ

Выражение:

$$n^2 + nf + f^2 \geq 0$$

для любых $n \in \mathbb{Z}, f \in [0,1)$.
Равно нулю оно может быть только при $n=0$ и $f=0$.

---

Шаг 5. Проверка

• Если $n=0, f=0 \implies x=0$.
  Подставим в исходное уравнение:

$$[0]\cdot\{0\} = 0\cdot 0 = 0, \quad x^2 = 0.$$

Всё верно.

---

✅ Ответ: единственное решение — $x=0$.

Хочешь, я могу показать график обеих функций $[x]\{x\}$ и $x^2$, чтобы наглядно увидеть, что они пересекаются только в нуле?