$(1-\frac{1}{n})^{-n}$ 的极限是多少

当 $n \to \infty$ 时，

$$\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}$$

的极限是 $e$，即自然对数的底数。

一种常见证明思路：

1. 先取自然对数

   $$\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n} = -n \,\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right).$$

2. 使用泰勒展开（或洛必达法则）
   当 $x$ 很小（这里 $x=1/n$），有

   $$\ln(1-x) = -x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \dots$$

   于是

   $$-n\,\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right) = -n \left(-\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^{2}} - \dots\right) = 1 + O\!\left(\frac{1}{n}\right).$$

3. 取极限

   $$\lim_{n\to\infty} -n\,\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right)=1,$$

   因此

   $$\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n} = \exp\!\bigl(1\bigr) = e.$$

所以：

$$\boxed{\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n} = e\,}$$