用中文回答问题，阅读文章，下述公式$$\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla\omeg...

推导思路概览

1. 引入 $\omega_n$
   文中先定义

   $$\omega_n(x)=G^{-1}\!\bigl(v_n(x)\bigr)\;g\!\bigl(G^{-1}\!(v_n(x))\bigr),$$

   目的是把原来的序列 $v_n$ 通过一个光滑可逆变换投射到新的序列 $\omega_n$，以便后面估计梯度范数。

2. 求 $\nabla\omega_n$（链式法则与乘积法则）

   设

   $$t=G^{-1}(v_n(x)),\qquad v_n=G(t),\qquad t'=G^{-1}\!{}'(v_n)=\frac{1}{g(t)}.$$

   把 $\omega_n(t)=t\,g(t)$ 看作 $t$ 的函数，再把 $t$ 视作 $x$ 的函数，应用链式法则＋乘积法则：

   $$\nabla\omega_n =\bigl[g(t)+t\,g'(t)\bigr]\;\nabla t =\bigl[g(t)+t\,g'(t)\bigr]\;\frac{\nabla v_n}{g(t)} =\Bigl[1+\frac{t\,g'(t)}{g(t)}\Bigr]\nabla v_n .$$

3. 平方并在 $\mathbb R^{N}$ 上积分

   $$\int_{\mathbb R^{N}}|\nabla\omega_n|^{2} =\int_{\mathbb R^{N}} \Bigl[1+\frac{G^{-1}(v_n)\,g'(G^{-1}(v_n))}{g(G^{-1}(v_n))}\Bigr]^{2} |\nabla v_n|^{2}.$$

4. 用函数 $g$ 的结构性质控制系数

   文章对 $g$ 施加了

   $$\beta:=\sup_{t\in\mathbb R}\frac{t\,g'(t)}{g(t)}\le 1 \qquad\Longrightarrow\qquad 0\le\frac{t\,g'(t)}{g(t)}\le 1 .$$

   因此

   $$1\le 1+\frac{t\,g'(t)}{g(t)}\le 2 ,$$

   把上式平方后得到

   $$\Bigl[1+\frac{t\,g'(t)}{g(t)}\Bigr]^{2}\le 4 .$$

   这里还用到了 Lemma 2.1 的性质 (g6)：
   $\;1\le\displaystyle\frac{G^{-1}(t)\,g(G^{-1}(t))}{t}\le2$， 与上界 $\beta\le1$ 的假设是一致的。

5. 得到最终不等式

   将系数的估计放回积分式：

   $$\int_{\mathbb R^{N}}|\nabla\omega_n|^{2} \le 4\int_{\mathbb R^{N}}|\nabla v_n|^{2},$$

   即得所需公式。

关键点小结

• 链式法则 给出了 $\nabla\omega_n$ 与 $\nabla v_n$ 的精确关系；
• 结构假设 $\beta\le1$ 与 Lemma 2.1 中的 (g6) 性质 保证了前置系数始终不超过 2，从而平方后不超过 4；
• 因此可把 $|\nabla\omega_n|^{2}$ 的积分压到 $|\nabla v_n|^{2}$ 的 4 倍以内，满足在后续引理 2.6 中对 $\omega_n$ 有界性的需求。

推导步骤

1. 选取 Hard-Littlewood-Sobolev (H–L-S) 指数
   设

   $$r=\frac{2N}{N+\alpha}\quad(>1),\qquad \frac1r+\frac1r-\frac{\alpha}{N}=1 .$$

2. 利用 H–L-S 不等式估计卷积项
   对任何 $f\in L^{r}(\mathbb R^{N})$、$g\in L^{r}(\mathbb R^{N})$ 有

   $$\int_{\mathbb R^{N}} (I_\alpha *f)\,g \;\le\;C\,\lVert f\rVert_{L^{r}}\, \lVert g\rVert_{L^{r}} .$$

   取

   $$f=g=|G^{-1}(v_n^+)|^{p},$$

   得

   $$\int_{\mathbb R^{N}} \bigl(I_\alpha*|G^{-1}(v_n^+)|^{p}\bigr) |G^{-1}(v_n^+)|^{p} \le C\, \Bigl(\,\|\,|G^{-1}(v_n^+)|^{p}\|_{L^{r}}\Bigr)^2 = C\, \Bigl(\int_{\mathbb R^{N}} |G^{-1}(v_n^+)|^{pr}\Bigr)^{\!2/r}.$$

3. 用 $G^{-1}$ 的增长性质把被积函数换成 $v_n$
   文章性质 (g7) 给出

   $$|G^{-1}(t)|\;\le\;C\,|t|^{\frac12},\qquad\forall t\in\mathbb R .$$

   因而

   $$|G^{-1}(v_n^+)|^{pr} \;\le\;C\,|v_n|^{\frac{pr}{2}},$$

   代入上式得到

   $$\int_{\mathbb R^{N}} \bigl(I_\alpha*|G^{-1}(v_n^+)|^{p}\bigr) |G^{-1}(v_n^+)|^{p} \;\le\; C\left( \int_{\mathbb R^{N}} |v_n|^{\frac{pr}{2}} \right)^{\!\!2/r}.$$

4. 极限趋零的理由
   在 Lemma 2.7 的“vanishing”情形中，可得

   $$v_n\to0\quad\text{于 }L^{s}(\mathbb R^{N}),\;s\in(2,2^{*}),$$

   而

   $$\frac{pr}{2} =\frac{pN}{N+\alpha}\in(2,2^{*}) \qquad\bigl(因\;2\frac{N+\alpha}{N}<p<2\frac{N+\alpha}{N-2}\bigr).$$

   因此
   ( \int_{\mathbb R^{N}}|v_n|^{pr/2}\to0 )，
   进而左端整体趋于 0。

综上便得到文中的不等式及其极限性质。