一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时沿圆周出发相向爬行，爬行速度分别为5.5厘米/...

解析思路：

1. 基本数据与符号约定：

   • 圆的周长 $C = 1.26$ 米，换算成厘米即 $C = 126$ 厘米。
   • 两只蚂蚁分别记为 $A$ 和 $B$。它们从一条直径的两端出发，圆周半径对应的弧长为 $63$ 厘米，所以起始时两只蚂蚁在圆周上的“间隔”为 $63$ 厘米（模 $126$）。
   • 蚂蚁 $A$ 的爬行速度：$v_A = 5.5$ 厘米/秒；蚂蚁 $B$ 的爬行速度：$v_B = 3.5$ 厘米/秒。
   • 根据题意，它们“相向”出发，且每隔若干秒同时掉头。掉头的时间间隔为连续的奇数秒：第一次爬行 1 秒后掉头，第二次爬行 3 秒后掉头，第三次爬行 5 秒后掉头，依此类推。

2. 方向与区间划分：

   • 设从 $t=0$ 开始，时间被分割为若干区间，区间长度依次为奇数：1 秒、3 秒、5 秒、7 秒……
   • 第 $n$ 个区间长度为 $T_n = 2n - 1$ 秒。
   • 第 $n$ 个区间的起始时刻为 $$S_n \;=\; T_1 + T_2 + \cdots + T_{n-1} \;=\; 1 + 3 + 5 + \cdots + \bigl(2(n-1)-1\bigr) \;=\; (n-1)^2.$$ 因此，第 $n$ 个区间是 $\bigl[S_n,\;S_n + T_n\bigr] = \bigl[(n-1)^2,\;n^2\bigr]$。

3. 速度的“翻转”规律：

   • 在第 1、3、5、…（奇数）号区间内，设蚂蚁 $A$ 速度为 $+5.5$ 厘米/秒（沿“正向”），蚂蚁 $B$ 速度为 $-3.5$ 厘米/秒（沿“反向”），这是因为它们是“相向而行”。
   • 在第 2、4、6、…（偶数）号区间内，两只蚂蚁同时掉头，所以蚂蚁 $A$ 的速度变为 $-5.5$，蚂蚁 $B$ 的速度变为 $+3.5$。
   • 如此反复，每进入下一个区间时，二者同时翻转各自的方向。

4. 引入“位置差”函数 $D(t)$：

   • 为了判断它们是否相遇，我们只需考察它们在圆上的位置差是否为 $0$（取模 $126$）。
   • 设初始时刻 $t=0$ 时，蚂蚁 $A$ 在圆周坐标 $A(0) = 0$，蚂蚁 $B$ 在圆周坐标 $B(0) = 63$。则初始位置差 $$D(0) = A(0) - B(0) = 0 - 63 = -63 \equiv 63 \pmod{126}.$$
   • 在某一时间区间内（长度为 $T_n$），若蚂蚁 $A$ 速度为 $v_{A,n}$，蚂蚁 $B$ 速度为 $v_{B,n}$，则该区间内 $$D(t) \;=\; D\bigl(S_n\bigr)\;+\;\bigl(v_{A,n} - v_{B,n}\bigr)\,\bigl(t - S_n\bigr)\quad (\text{再取模 }126).$$

5. 逐区间求解：
   先把“相向”与“掉头”对应的速度差列出来：

   • 奇数区间（1 秒、5 秒、9 秒…）时，$\;v_{A} - v_{B} = 5.5 - (-3.5) = +9$ 厘米/秒；
   • 偶数区间（3 秒、7 秒、11 秒…）时，$\;v_{A} - v_{B} = -5.5 - 3.5 = -9$ 厘米/秒。

   因此，$D(t)$ 在各区间是“以 $\pm 9$ 的斜率”作线性变化，区间与区间交接时会“折线”一下。我们检查各区间内是否出现

   $$D(t)\equiv 0\;(\bmod\;126)$$

   的解。如果在某区间内（含端点）找到第一处满足条件的时间，即为它们的首次相遇。

   • 第 1 区间 $[0,1]$：斜率 $+9$，

     $$D(t) = 63 + 9t.$$

     要满足 $63 + 9t \equiv 0 \pmod{126}$，解得 $t=7$（但 $7\notin[0,1]$），无解。

   • 第 2 区间 $[1,4]$：斜率 $-9$，继续在上一个区间末值基础上计算：

     $$D(1) = 63 + 9\times 1 = 72,\quad D(t) = 72 - 9\,(t - 1) = 72 - 9t + 9 = 81 - 9t.$$

     检查 $81 - 9t \equiv 0\pmod{126}$ 在 $[1,4]$ 内是否有解，结果无解。

     同理可算出 $D(4)=45$。

   • 第 3 区间 $[4,9]$：斜率 $+9$，

     $$D(4)=45,\quad D(t) = 45 + 9\,(t - 4) = 9t + 9.$$

     检查 $9t+9 \equiv 0\pmod{126}$，在 $[4,9]$ 无合适解，区间末 $D(9)=90$。

   • 第 4 区间 $[9,16]$：斜率 $-9$，

     $$D(9)=90,\quad D(t)=90 - 9\,(t-9)=90-9t+81=171-9t.$$

     检查 $171-9t \equiv 0\pmod{126}$，在 $[9,16]$ 无解，区间末 $D(16)=27$。

   • 第 5 区间 $[16,25]$：斜率 $+9$，

     $$D(16)=27,\quad D(t)=27+9\,(t-16)=9t-117.$$

     检查 $9t-117\equiv 0\pmod{126}$，在 $[16,25]$ 无解，区间末 $D(25)=108$。

   • 第 6 区间 $[25,36]$：斜率 $-9$，

     $$D(25)=108,\quad D(t)=108 - 9\,(t-25)=333 - 9t.$$

     无解于 $[25,36]$，区间末 $D(36)=9$。

   • 第 7 区间 $[36,49]$：斜率 $+9$，

     $$D(36)=9,\quad D(t)=9 + 9\,(t-36)=9t-315.$$

     要 $9t-315 \equiv 0\pmod{126}$，即 $9(t-35)\equiv 0\pmod{126}$，可化为 $t-35 = 14k$。
     在 $[36,49]$ 区间搜索满足的 $t$，可取 $k=1$ 得 $t=49$。而 $49$ 正好是第 7 区间的结束时刻，也落在 $[36,49]$ 的端点内。

   由此可知，它们在 $t=49$ 秒时首次满足 $D(t)=0 \ (\mathrm{mod}\ 126)$，即在圆周上首次相遇。

答：它们将在 49 秒后首次相遇。