切比雪夫多项式推导

切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）是一族在数学分析、数值逼近、信号处理等领域都具有重要应用的正交多项式。它们通常分为两类：第一类切比雪夫多项式 $T_n(x)$ 和第二类切比雪夫多项式 $U_n(x)$。下面主要以第一类切比雪夫多项式 $T_n(x)$ 的推导过程为例，介绍几种常见的定义与推导思路。

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1. 由三角函数定义推导

1.1 定义

第一类切比雪夫多项式通常可以通过以下三角函数形式来定义：

$$T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta).$$

对于 $\theta \in [0, \pi]$，取 $x = \cos \theta$，则有

$$T_n(x) = T_n(\cos \theta) = \cos(n \theta).$$

由于 $\cos(n\theta)$ 可以通过 $\theta$ 的多重角公式展开为关于 $\cos \theta$ 的多项式，因此 $T_n(x)$ 必然是 $n$ 次多项式。

1.2 多重角公式与显式表达

我们知道：

$$\cos(n\theta) = \Re\bigl(e^{i n \theta}\bigr),$$

也可以通过多重角公式展开。例如，

$$\begin{aligned} & \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1,\\ & \cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta), \end{aligned}$$

等等。将 $\cos(\theta)$ 替换为 $x$，就能得到 $T_n(x)$ 的具体多项式形式。例如：

$$\begin{aligned} T_0(x) &= 1,\\ T_1(x) &= x,\\ T_2(x) &= 2x^2 - 1,\\ T_3(x) &= 4x^3 - 3x,\\ T_4(x) &= 8x^4 - 8x^2 + 1, \end{aligned}$$

依此类推。

1.3 递推关系

由三角函数恒等式可以进一步推导出切比雪夫多项式的递推关系。对 $\cos(n\theta)$ 使用三角恒等式，可得

$$\cos((n+1)\theta) = \cos(\theta)\cos(n\theta) - \sin(\theta)\sin(n\theta).$$

将 $\sin(n\theta)$ 用其他公式或者使用 $\cos((n-1)\theta)$ 等加以替换，或者更常见的做法是直接使用如下熟知的三角恒等式：

$$\cos((n+1)\theta) + \cos((n-1)\theta) = 2 \cos(\theta) \cos(n\theta).$$

令 $x = \cos\theta$，结合切比雪夫多项式的定义 $T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$，则可得到

$$T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2x \, T_n(x).$$

通常把它写成更加常见的递推形式：

$$T_{n+1}(x) = 2x \, T_n(x) - T_{n-1}(x).$$

这就是第一类切比雪夫多项式的一个标准递推关系式。

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2. 由复变方法推导

2.1 从 $\cos(n\theta)$ 的复指数表示出发

我们也可以借助复数与指数函数的联系来推导。对于 $\cos \theta$，有

$$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}.$$

设 $z = e^{i\theta}$，则 $\cos \theta = \frac{z + z^{-1}}{2}$，并且

$$\cos(n\theta) = \frac{z^n + z^{-n}}{2}.$$

如果令 $x = \cos \theta = \frac{z + z^{-1}}{2}$，那么

$$T_n(x) = \cos(n\theta) = \frac{z^n + z^{-n}}{2}.$$

接下来将 $z$ 用 $x$ 表示，就可以看出这是一个仅关于 $x$ 的多项式。进一步展开可知，当 $n$ 为整数时，这是一个次数为 $n$ 的多项式，即为第一类切比雪夫多项式。

2.2 间接得到显式公式

从

$$z + z^{-1} = 2x$$

我们可以解得

$$z = x \pm \sqrt{x^2 - 1}.$$

为了保持与三角函数相吻合，一般在 $|x| \leq 1$ 的情况下，可以令 $z = e^{i\theta}$ 并有 $\theta = \arccos x$。由此可以写出

$$T_n(x) = \frac{z^n + z^{-n}}{2} = \frac{1}{2}\left[(x + \sqrt{x^2 - 1})^n + (x - \sqrt{x^2 - 1})^n\right].$$

这在很多场合也被视为切比雪夫多项式的一种闭式表达（虽然在 $|x|>1$ 的情况下要注意分支的问题，但形式上依然可以推广）。

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3. 由正交多项式理论推导

3.1 内积与正交性

切比雪夫多项式 $T_n(x)$ 也是在正交多项式理论（基于 Sturm-Liouville 问题）中出现的重要例子。它在区间 $[-1,1]$ 上，带有权函数

$$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

时正交，即

$$\int_{-1}^{1} \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0, & m \neq n,\\ \pi, & m=n\neq 0,\\ \pi, & m=n=0 \text{（也可视作特别情况）} . \end{cases}$$

从 Sturm-Liouville 问题或泛函分析的角度可以严格证明存在满足该正交关系的一组多项式，并且它们的具体形式正是切比雪夫多项式。

3.2 与最佳逼近相关

切比雪夫多项式与多项式最佳逼近也有密切关系：在 $[-1,1]$ 上，如果要用 $n$ 次多项式去逼近某函数而使最大误差最小，则会出现等幅振荡的现象。而切比雪夫多项式（经过适当缩放和平移）能在某种意义下使“振荡”最小化。这也可以从最小化极大误差的角度推导出切比雪夫多项式在逼近问题中的重要地位，但这个推导超出了简单的三角定义或复变定义范畴，这里仅作提及。

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4. 递推、封闭形式和若干性质

4.1 递推关系

上文已经给出了最常见的递推关系：

$$T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x),$$

初始条件为

$$T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x.$$

4.2 显式多项式展开

利用多重角公式或者从生成函数出发，可以写出 $T_n(x)$ 的显式多项式展开。例如，下面是一种常见形式：

$$T_n(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k} x^{n-2k} (1 - x^2)^k,$$

也可以在不同的文献中见到其他等价展开形式。

另一种常用（也更直接）的显式公式是用二项式系数排列的形式写出来，例如从

$$\cos(n\theta) = \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \binom{n}{2m} (\cos \theta)^{n-2m} (\sin \theta)^{2m}$$

再将 $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ 替换，可得相应的多项式系数。

4.3 若干重要性质

1. 有界性：在区间 $[-1,1]$ 上，$|T_n(x)| \leq 1$。
2. 极值点：$T_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有 $n+1$ 个极值点，它们恰好是 $\cos\bigl(\frac{k\pi}{n}\bigr)$、$k=0,1,\dots,n$。
3. 零点：$T_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有 $n$ 个零点，为 $\cos\Bigl(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\Bigr)$, $k=1,2,\dots,n$。
4. 与第二类切比雪夫多项式的关系：第二类切比雪夫多项式 $U_n(x)$ 则对应 $\frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin \theta}$，二者在许多场合配合使用。

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5. 小结

• 从三角函数定义：最直观的切入点是 $T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$。由此可推得它是 $n$ 次多项式，并可轻松获得递推关系和显式形式。
• 从复数表示：利用 $\cos(n\theta) = \frac{(e^{i\theta})^n + (e^{-i\theta})^n}{2}$，并将 $x=\cos\theta$ 关联到 $z=e^{i\theta}$，也可得出同样的递推和显式表达。
• 从正交多项式理论：可将其作为 Sturm-Liouville 问题的特解，也可通过最小二乘、最佳逼近等观点看出其在多项式逼近中的关键地位。
• 重要性质：包括它在 $[-1,1]$ 上的有界性、零点分布、极值分布以及与其他特殊多项式之间的联系等等。

因此，第一类切比雪夫多项式的推导基本可归纳为三角函数定义、复数方法和正交理论三大路径。在实际应用中，往往同时需要用到其正交性质、递推关系以及在 $[-1,1]$ 上良好的逼近特点，从而使其在数值分析与信号处理、滤波器设计等众多领域扮演重要角色。