可持续旅游建模分析

在为朱诺 (Juneau) 的可持续旅游业构建定量化模型并进行分析时，通常需要从多角度、多学科的视角来考量。以下内容将从可能的建模方向和文献检索的关键关键词两方面进行说明，帮助你梳理建模思路并明确需要重点关注的资料检索方向。

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一、模型构建与分析：需要关注的方面与可能的建模方式

1. 宏观层面：系统动力学 (System Dynamics) 模型

   • 适用场景： 当我们需要考察旅游业对城市整体的环境、经济和社会影响的交互关系，以及政策干预（如征税、游客数量限制等）的中长期影响时，系统动力学模型能够帮助我们通过因果回路 (Causal Loops) 和存量-流量 (Stocks & Flows) 来模拟整个系统的演变。
   • 关键要素：
     • 旅游人数(Arrival Rate)、游客增长率、游客停留时长
     • 环境容量(环境承载力)、自然资源消耗(淡水、能源)、碳排放总量
     • 城市基础设施承载能力（交通、住房、废物处理）
     • 经济收益(旅游总收入、当地就业率、税收)
     • 政策干预(游客数量上限、游客费征收率等)

2. 微观/部门层面：优化模型 (Optimization Model) 或多目标规划 (Multi-objective Optimization)

   • 适用场景： 当需要就具体政策或管理措施（如“每日游客上限”、“征收额外税费并投向基础设施”）进行数量上的权衡时，可以使用多目标规划对“旅游收入最大化”“环境压力最小化”“当地居民满意度最大化”等目标进行综合平衡。
   • 模型形式：
     • 线性规划 (Linear Programming) 或整数规划 (Integer Programming)，如果约束条件和目标函数相对可简化；
     • 多目标规划 (Multi-objective Programming)，同时考虑经济、环境、社会等多方面目标。
   • 需要的数据/参数：
     • 最大载客量(城市接待能力)、每日/每月游客上限(决策变量)
     • 单位游客平均支出、单位游客环境成本（或生态足迹）
     • 当地政府基于旅游收入的税收、二次投资比例
     • 当地居民对游客数量（或旅游密度）的满意度函数（可基于调查问卷或已有文献参数）

3. 基于投入产出 (Input-Output) 或经济模型 (Econometric Model) 的区域经济影响评估

   • 适用场景： 当我们关注旅游收入对当地产业（餐饮、住宿、零售、交通）的带动效应，以及二次消费对当地GDP或就业的贡献度时，可以使用区域投入产出模型或经济计量模型进行评估。
   • 关键要素：
     • 旅游产业与其他产业之间的联系 (消费结构)
     • 行业间乘数效应(乘数效应越明显，对当地经济推动越大)
     • 政府税收分配机制(用于基础设施、环境保护等)

4. 生态足迹 (Ecological Footprint) 或生命周期分析 (Life Cycle Assessment)

   • 适用场景： 如果想对旅游活动对环境的影响进行更精细的量化，如碳排放、水资源消耗、废弃物排放等，可使用生态足迹或生命周期分析的方法。
   • 关键要素：
     • 游客运输方式产生的碳排放(飞机、游轮、汽车等)
     • 旅游过程中能源消耗、水资源消耗
     • 废物排放(垃圾、废水)对当地生态系统的影响
   • 结果应用： 为政府或企业制定绿色出行政策，或计算并征收与碳排放挂钩的环境税提供参考依据。

5. 社会学调查与满意度模型

   • 适用场景： 当关心居民与游客的满意度及态度（拥挤感、冲突、住房压力等），可结合问卷调查或已有数据，建立定量或半定量的满意度模型，与旅游人数或密度进行关联分析。
   • 可能的做法：
     • 对居民和游客分别设立满意度因子 (满意度 = f(拥挤度, 住宿价格, 噪音水平, 基础设施状况 …))
     • 通过曲线拟合或Logistic回归模型等方法，估计不同旅游人数情况下的满意度变化趋势

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二、检索文献/资料时的关键关键词 (Keywords)

在检索文献、政府报告或学术论文时，下面这些中英文关键词可帮助你更快找到相关的研究成果及数据来源。根据研究侧重点的不同，可以灵活选用并搭配使用。

1. 可持续旅游 / Sustainable Tourism
2. 超载式旅游 / Overtourism
3. 环境承载力 / Carrying Capacity
4. 系统动力学 / System Dynamics
5. 多目标优化 / Multi-objective Optimization
6. 旅游经济 / Tourism Economy
   • 例如 “Tourism Revenue”, “Tourism Impact Analysis”
7. 生态足迹 / Ecological Footprint
   • 例如 “Ecological Footprint of Tourism”, “Carbon Footprint of Tourism”
8. 投入产出模型 / Input-Output Model
   • 例如 “Tourism Input-Output Analysis”, “Local Economy Impact”
9. 环境可持续管理 / Environmental Sustainability Management
10. 基础设施负荷 / Infrastructure Load (或 Infrastructure Capacity)
11. 住房压力 / Housing Cost (租金上涨) / Rent Burden
12. 满意度调查 / Satisfaction Survey (对于游客和本地居民)
13. 资源管理政策 / Resource Management Policy
    • 例如 “Tourism Taxation”, “Visitor Cap”, “Tourism Management Measures”
14. 碳排放 / Carbon Emission
    • 例如 “Marine Tourism Carbon Emission”, “Cruise Ship Emission”
15. 利益相关者 / Stakeholders (政府、当地社区、旅游企业、环保组织等)
16. Mendenhall Glacier + Tourism Impact
    • 针对朱诺最具代表性的冰川旅游影响研究

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三、如何将这些模型或方法结合到你的项目

1. 明确研究目标与范围

   • 如果你的研究主要侧重于**“如何维持旅游收入同时减少环境与社会压力”**，可以考虑多目标优化模型或系统动力学模型，结合生态足迹或社会满意度调查数据来进行综合分析。
   • 如果要对经济影响做详细评估，则可优先选择投入产出模型或经济计量模型，定量分析旅游业对当地GDP、就业等指标的贡献。

2. 设定核心变量与约束

   • 决策变量：游客数量(或游轮停泊次数)、征税比例、环境费用(环境税或游客费)、基础设施投资额等
   • 目标函数：最大化旅游总收入、最大化当地就业；最小化环境负荷(碳排放、水资源消耗、垃圾排放)；最大化当地居民满意度等
   • 约束条件：环境承载力约束(淡水供应上限、废物处理能力上限等)、基础设施容量(每日最大接待能力)、社会可接受度(超过某阈值后居民满意度骤降)

3. 数据收集与指标量化

   • 游客数据：历年游客数量、旅游旺季/淡季分布、游客构成(国内外、消费水平)
   • 经济数据：人均旅游消费、旅游业对GDP贡献、就业人数、税收收入
   • 环境数据：水资源消耗量、垃圾处理量、碳排放量、自然景区环境破坏（如冰川退缩速度与气温上升的关联）
   • 社会数据：房价与房租走势、交通堵塞指数、当地居民满意度调查问卷

4. 分析与结果解读

   • 情景模拟 (Scenario Analysis)：对不同政策组合 (如征收门票/游客费、每日游客上限、提高绿化或环保投入等) 进行模拟，比较其对经济、环境和社会指标的影响。
   • 敏感性分析 (Sensitivity Analysis)：考察模型对一些关键变量（如游客增长率、碳排放系数、旅游税率、基础设施投资额等）的敏感程度，找出最关键的驱动因素。
   • 政策建议：根据模拟结果，提出可行性最高、收益最高或平衡度最好的政策组合，并给出对当地居民、政府管理部门、旅游企业的相关建议。

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结语

在对朱诺的可持续旅游进行定量化建模时，需要结合多个层面的数据与分析方法，既要考虑旅游业带来的经济效益，也要重视环境影响和社会满意度的平衡。

• 从系统动力学或多目标优化的角度，可以更全面地模拟政策干预的连锁反应。
• 通过生态足迹或投入产出分析，可以对环境影响和经济拉动效应进行更细化的量化。
• 最后，恰当的敏感性分析可以帮助我们确定决策时最关键的指标或变量，从而针对性地进行管理与投资。

在检索文献时，可以利用上文列出的关键词，尤其关注“旅游与环境可持续发展的平衡”、“环境承载力研究”、“生态足迹与碳排放分析”等主题，以寻求已有的理论和实证数据支持。希望这些建议能帮助你更系统地开展定量分析工作。祝研究顺利!

Based on the provided documents, the analysis, modeling, and computation of sustainable tourism in Juneau, Alaska, should be approached using a multi-objective optimization framework that considers the environmental, social, and economic dimensions of tourism. Below is a detailed modeling approach, including key equations and their meanings.

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1. Modeling Approach

The modeling should focus on the sustainable carrying capacity of Juneau’s tourism industry using a multi-objective optimization model. The goals of the model should include:

• Maximizing economic revenue from tourism.
• Minimizing environmental impact, particularly focusing on resources such as water consumption, waste management, and carbon footprint.
• Maximizing social benefits, including employment and resident satisfaction.

Key Factors to Consider

1. Decision Variables:

   • $a_1$: Number of mainland tourists
   • $a_2$: Number of overseas tourists
   • $b_3$: Number of local residents involved in tourism activities
   • $x_{ij}$: Number of tourists of type $j$ using resource $i$
   • $c_3$: Increase in employment per unit of tourist induced

2. Objective Functions:

   • Economic Revenue Maximization:

     $$\max z_1 = F_{a1} + F_{a2}$$

     where:

     $$F_{a1} = a_1 \cdot \mu, \quad F_{a2} = a_2 \cdot \zeta$$

     $\mu$: Revenue per mainland tourist, $\zeta$: Revenue per overseas tourist.

   • Employment Rate Maximization:

     $$\max z_2 = \frac{(b_1 + b_2) \cdot c_3}{b_3}$$

     where $b_1, b_2$ are the number of tourists (mainland and overseas), and $c_3$ is the employment increase per tourist.

   • Carrying Capacity Maximization:

     $$\max z_3 = a_1 + a_2 + b_3$$

     This function ensures the balance between the number of tourists and the local population.

3. Constraints:

   • Environmental Carrying Capacity Constraint: $$\sum_{j=1}^{n} \left(\frac{1}{\lambda_{ij}} \cdot x_{ij} \cdot a_{ij}\right) \geq \left[\theta_i(1 - e_i) + e_i\right] \cdot D_i \cdot h_i$$ where:
     • $\lambda_{ij}$: Satisfaction rate of residents and tourists
     • $e_i$: Actual utilization rate of resources
     • $D_i$: Total resource availability (e.g., water, energy)
     • $h_i$: Resource turnover rate
     • $\theta_i$: Efficiency of resource usage

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2. Explanation of Equations

1. Revenue Equation (Eq. 9-10):

   • This equation calculates total revenue based on the number of tourists and their spending patterns.
   • The model differentiates between mainland and overseas tourists to capture spending differences.

2. Employment Equation (Eq. 11):

   • This equation links the number of tourists to job creation in the local economy.
   • It accounts for the resident population to ensure employment benefits for the community.

3. Carrying Capacity Equation (Eq. 12-13):

   • It ensures that available resources such as water, energy, and waste disposal facilities are not overwhelmed by the influx of tourists.
   • It incorporates satisfaction levels of both tourists and residents.

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3. Computational Process

1. Data Collection:

   • Gather historical data on:
     • Tourist arrivals (domestic/international)
     • Revenue per tourist category
     • Infrastructure capacity (hotels, transportation, waste management)
     • Environmental indicators (carbon footprint, waste generation)
     • Employment statistics

2. Model Implementation Using NSGA-II Algorithm:

   • Use an improved Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II) to solve the multi-objective optimization problem.
   • Steps involved:
     • Initialize population with different values of tourists, revenues, and environmental impacts.
     • Selection, crossover, and mutation to generate new solutions.
     • Evaluate fitness functions based on revenue, employment, and environmental impact.
     • Repeat until convergence, obtaining Pareto-optimal solutions.

3. Sensitivity Analysis:

   • Analyze how changes in key variables (tourist numbers, spending patterns, environmental constraints) impact the results.
   • Identify the most sensitive parameters for policy adjustments.

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4. Sensitivity Analysis Approach

Sensitivity analysis will identify which parameters have the greatest impact on sustainability:

• Elasticity of revenue per tourist: How a change in spending habits affects total revenue.
• Tourism capacity limits: Impact of limiting daily tourists on economic and environmental objectives.
• Environmental thresholds: How different pollution or water consumption levels affect carrying capacity.

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5. Implementation and Decision-Making

Based on the model's output, policy recommendations can include:

• Visitor Caps: Establish daily limits on tourists based on seasonality to reduce environmental stress.
• Tourist Tax: Introduce a fee to generate revenue for infrastructure improvements and conservation.
• Infrastructure Investment: Allocate funds to sustainable transportation and waste management systems.
• Community Engagement: Develop programs to involve residents in tourism planning.

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Conclusion

This multi-objective optimization framework provides a comprehensive approach to balancing tourism's economic, environmental, and social impacts in Juneau. By applying the improved NSGA-II algorithm and conducting sensitivity analysis, stakeholders can make informed decisions on sustainable tourism development.

可持续旅游建模分析思路

根据提供的文献，可持续旅游的研究重点应放在环境承载力的多目标优化上。研究改进了NSGA-II（非支配排序遗传算法），用于优化旅游环境的承载力，最大化经济收入，同时最小化环境压力和最大化社会效益。因此，我们可以基于该模型提出以下详细的建模思路、方程以及计算方法。

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建模思路

我们可以将朱诺的可持续旅游问题建模为一个多目标优化问题（Multi-objective Optimization Problem, MOP），目标包括：

1. 经济目标： 最大化旅游收入
2. 社会目标： 最大化当地就业率
3. 环境目标： 最大化可持续承载力，减少资源消耗

决策变量：

• $a_1$：国内游客数量
• $a_2$：国际游客数量
• $b_3$：当地居民从事旅游业的人数
• $x_{ij}$：第 $j$ 类游客对第 $i$ 类资源的消耗

约束条件：

• 旅游环境的承载能力（如淡水、能源、废物处理等）
• 居民对游客数量的满意度
• 交通和住宿的承载能力

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模型方程

1. 目标函数

(1) 经济收入最大化：

$$\max z_1 = F_{a1} + F_{a2}$$ $$F_{a1} = a_1 \cdot \mu, \quad F_{a2} = a_2 \cdot \zeta$$

• 其中：
  • $\mu$：每位国内游客带来的平均收入
  • $\zeta$：每位国际游客带来的平均收入
  • $a_1, a_2$：国内外游客数量

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(2) 就业率最大化：

$$\max z_2 = \frac{(b_1 + b_2) \cdot c_3}{b_3}$$

• 其中：
  • $b_1, b_2$：国内外游客数量
  • $b_3$：当地总人口
  • $c_3$：每位游客能带来的就业岗位数量

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(3) 旅游承载力最大化：

$$\max z_3 = a_1 + a_2 + b_3$$

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2. 约束条件

(1) 资源消耗与承载力约束：

$$\sum_{j=1}^{n} \left(\frac{1}{\lambda_{ij}} \cdot x_{ij} \cdot a_{ij}\right) \leq \left[\theta_i(1 - e_i) + e_i\right] \cdot D_i \cdot h_i$$

• 其中：
  • $\lambda_{ij}$：居民和游客的满意度水平
  • $x_{ij}$：第 $j$ 类游客的第 $i$ 类资源使用量
  • $\theta_i$：资源利用效率
  • $e_i$：资源的当前利用率
  • $D_i$：该资源的最大可用量
  • $h_i$：资源的补充速率

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(2) 生态影响约束（碳排放、水资源消耗等）：

$$C_{\text{max}} \geq C_{\text{tourists}} + C_{\text{residents}}$$

• $C_{\text{max}}$：最大碳排放阈值
• $C_{\text{tourists}}$：游客带来的碳排放
• $C_{\text{residents}}$：当地居民的碳排放

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(3) 社会满意度约束：

$$S_{\text{residents}}(a_1, a_2) \geq S_{\text{min}}$$

• $S_{\text{residents}}$：当地居民的满意度函数
• $S_{\text{min}}$：最低社会满意度阈值

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计算方法

1. 数据收集与预处理：

   • 旅游统计数据（游客数量、消费水平）
   • 资源数据（能源、水资源消耗、废弃物处理能力）
   • 居民满意度调查
   • 经济数据（旅游税收、就业率等）

2. 使用改进的 NSGA-II 算法进行求解（文献）：

   • 初始化种群： 根据游客、居民数量随机生成初始解

   • 交叉变异操作： 采用改进的交叉变异概率调整公式

     $$P_c(g) = P_{c_{\max}} - (P_{c_{\max}} - P_{c_{\min}}) \cdot \frac{g}{\text{gen}}$$

     其中：

     • $g$ 是当前代数
     • $P_{c_{\max}}, P_{c_{\min}}$ 是最大最小交叉概率

   • 拥挤度排序 选择最优解：

     $$P[i]_{\text{distance}} = \sum_{r=1}^{n} (f_r[i + 1] - f_r[i - 1])$$

     其中：

     • $f_r[i]$ 表示目标函数的排序值

   • 生成 Pareto 最优解： 选择不同权重组合，确定最终可行解

3. 敏感性分析：

   • 评估游客数量、资源消耗速率、居民满意度等变量对最终方案的影响
   • 采用不同的政策情景（如游客限制、税收政策等）

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计算流程示意图

1. 数据输入： 收集经济、环境、社会数据
2. 目标设定： 经济最大化、环境最小化、社会福利最大化
3. 模型优化： 通过 NSGA-II 算法求解
4. 方案评估： 通过 Pareto 边界选择最佳政策
5. 敏感性分析： 确定关键变量的影响程度
6. 政策制定： 提出基于数据的政策建议

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如何计算最终结果？

• 运行改进的 NSGA-II 算法，输入以下数据：
  • 历史游客数据、环境承载数据、居民满意度调查
• 评估不同游客配额方案对经济、环境、社会的影响
• 选取最优解进行政策建议，如：
  • 引入游客税
  • 投资基础设施以提升承载力
  • 设定每日游客上限

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结论

基于文献中的改进 NSGA-II 算法，我们可以为朱诺的可持续旅游发展建立合理的数学模型，平衡经济收益、环境保护和社会满意度，并提供优化政策建议。该模型可用于政策决策者在未来做出科学的旅游管理决策，确保城市的长期可持续发展。

下面我将从多目标优化理论的根源讲起，介绍 NSGA-II（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II）算法的底层思想和工作原理，以帮助你理解它为何以及如何用来解决多目标优化问题（例如可持续旅游中的“经济-环境-社会”三重目标）。

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一、多目标优化的理论基础

1. 什么是多目标优化？
   在很多现实场景里，我们往往需要同时优化多个相互冲突的目标，例如：

   • 可持续旅游中既要“最大化经济效益”又要“最小化环境负担”。
   • 工业生产既要“提高产量”又要“减少能耗和排放”。

   多目标优化问题可以表达为：

   $$\text{max / min} \quad \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \bigl(f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), \dots, f_m(\mathbf{x})\bigr)$$

   在满足一系列约束的条件下，同时优化多个目标函数 $f_1, f_2, \dots, f_m$。

2. Pareto 最优解与 Pareto 前沿 (Pareto Front)

   • 在单目标优化中，我们往往能得到一个“全局最优”解；但在多目标问题中，由于目标之间存在冲突，不一定有一个“单独解”能让所有目标都达到极值。
   • 因此引入“Pareto 最优”概念：如果不存在另一个解在所有目标上均不差并且至少在一个目标上更优，那么该解就是非支配（nondominated）的。
   • Pareto 前沿（或 Pareto 前端）是由所有“非支配解”组成的集合，这些解之间互不优先，代表了不同目标权衡的可能性。

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二、遗传算法 (Genetic Algorithm, GA) 的基本思想

1. 遗传算法的灵感：
   遗传算法来自对生物进化和自然选择的模拟。生物个体的基因在繁衍后代的过程中，通过选择、交叉、变异等过程不断进化，使物种适应环境。

2. 遗传算法的关键步骤：

   • 编码 (Encoding)： 将问题的解(变量)映射成类似“染色体”的结构，一般用二进制或实数编码。
   • 适应度函数 (Fitness Function)： 用于评估解的好坏。
   • 选择 (Selection)： 从种群中选出适应度高的个体，让它们有更大概率遗传到下一代。
   • 交叉 (Crossover)： 将两条“染色体”进行组合，产生新的候选解。
   • 变异 (Mutation)： 对部分基因进行随机变化，增加种群多样性，防止过早收敛。
   • 迭代 (Iteration)： 经过多代进化，种群整体逐渐逼近最优解区域。

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三、NSGA-II 的提出及核心思想

1. 多目标遗传算法的问题：

   • 在多目标优化中，如果只用一个“合并目标”或者在目标之间加权，很可能无法全面探索 Pareto 前沿。
   • 早期多目标遗传算法（如NSGA）存在效率低、排序过程复杂等问题。

2. NSGA-II 的核心改进：
   NSGA-II（Deb 等人在 2002 年提出）是对早期 NSGA 算法的重大改进，主要体现在：

   • 快速非支配排序 (Fast Non-dominated Sorting)： 以更高效率将种群分为不同的非支配层（Front），每一层都是一个“Pareto 级别”。
   • 拥挤度 (Crowding Distance) 计算： 在同一非支配层内，通过计算各解在目标空间中的“稀疏度”，更好地保留种群的多样性，避免过度集中在局部区域。
   • 精英策略 (Elitism)： 将当前父代和子代合并后再进行非支配排序和拥挤度比较，选出最优的一部分个体进入下一代，保证优良基因不会被淘汰。

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1. 快速非支配排序（Fast Non-dominated Sorting）

• 目的： 找到所有解的“非支配层次”。第一层包含所有不被任何解支配的解；第二层包含仅被第一层解支配的解；依此类推。
• 传统做法： 两两比较复杂度高（$O(N^2)$）。NSGA-II 优化了该过程，但大体仍需对解之间进行支配关系判断。
• 结果： 得到多个“Front” ($F_1, F_2, F_3, \dots$)，$F_1$ 是最高级别（最佳层）的非支配解，$F_2$ 次之。

2. 拥挤度距离（Crowding Distance）

• 目的： 区分同一非支配层内解的优劣，从而保证解在目标空间的分布均匀性。
• 做法：
  • 对每一层中所有解，按照每个目标的数值从小到大排序。
  • 对中间的解，计算它在目标空间与相邻解的距离之和，称为拥挤距离。
  • 拥挤距离越大的解，表示该解周围“竞争”更少、在 Pareto 前沿上更能保持多样性，因而更优先保留。

3. 精英保留策略（Elitism）

• 为什么要精英保留？
  • 遗传算法中，如果单纯用“父代 → 选择 → 交叉/变异 → 子代”流程，容易出现好基因在子代中消失的现象。
• NSGA-II 的做法：
  • 每代进化后，将“父代种群 + 子代种群”合并成一个更大的种群，然后重新进行“非支配排序 + 拥挤度计算”。
  • 最后从排序层次低（即非支配度高）的群体中按顺序选出数量为 $N$ 的解，形成下一代种群。
  • 这样保证了优秀解在新一代中不会轻易丢失。

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四、NSGA-II 的底层运行逻辑

1. 初始种群生成：

   • 随机生成若干个解（个体），覆盖尽可能广的可行域。
   • 若是实数编码，每个解就是一组决策变量的取值。

2. 非支配排序与拥挤度计算：

   • 计算所有解在各目标下的函数值，确定每个解被多少个解支配、以及它支配了多少个解。
   • 形成多个 Pareto 层 $F_1, F_2, \dots$，并在层内进一步用“拥挤距离”进行排序。

3. 选择操作 (Selection)：

   • 综合考虑“非支配层次”和“拥挤距离”，优先保留层次低且拥挤距离大的解。
   • 这一步通过“锦标赛选择 (Tournament Selection)”等方式具体实现。

4. 交叉与变异 (Crossover & Mutation)：

   • 从选出的个体中，成对进行交叉操作（类似基因重组），产生新的个体；
   • 然后对部分基因位进行随机变异（模拟生物突变），以保持种群多样性。

5. 生成子代并合并 (Elitism)：

   • 新产生的子代与原父代合并，形成更大的种群；
   • 重新进行非支配排序 + 拥挤度计算；
   • 选出最好的 $N$ 个个体进入下一代。

6. 迭代至收敛：

   • 多轮迭代后，种群逐步逼近 Pareto 前沿；
   • 最终输出一组非支配解（Pareto 最优解集），决策者可根据实际偏好，在这条 Pareto 曲线上挑选最合适的解。

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五、为什么 NSGA-II 能很好地处理多目标问题？

1. 保留非支配解：

   • NSGA-II 天生适合多目标，因为它不需要事先设定目标权重，直接在目标空间中搜索。
   • 可以得到一条或多条代表不同权衡方案的 Pareto 前沿。

2. 平衡收敛性与多样性：

   • 在搜索中，需要既逼近最优解又维持种群多样性；
   • 非支配排序保证了“最优解”优先，拥挤度计算保证了解的分布均衡。

3. 理论与实践广泛认可：

   • NSGA-II 在许多工程、经济、环境等多目标优化问题中表现都非常突出，也不断催生出众多变体（比如 NSGA-III、R-NSGA-II 等），继续完善多维目标、收敛与分布性之间的平衡。

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六、总结

• 从根源看：NSGA-II 属于“多目标进化算法”，在经典遗传算法的基础上，针对多目标问题引入了非支配排序、拥挤度距离、精英保留等机制。
• 核心逻辑：它模拟“生物进化”过程，在群体中通过选择、交叉、变异不断迭代，动态调整以逼近 Pareto 最优前沿。
• 优势：无需预设单一加权目标，直接输出一系列非支配解，供决策者选择。此外，拥挤度使得解在目标空间中保持足够的多样性。

简而言之，NSGA-II 在底层逻辑上就是一套面向多目标的“生物进化”策略：

• 用“非支配性”去衡量解的优劣；
• 用“拥挤度”保持解的分布；
• 用“精英保留”避免丢失好基因；
• 多次迭代收敛得到一组可行的 Pareto 最优解。

在可持续旅游这种牵涉到经济、社会和环境三重目标的应用场景中，NSGA-II 能够让你一次性得到一系列平衡了不同目标的方案（Pareto Front），之后再根据政策或利益相关方的诉求，选择最合适的解决方案。

在建立数学模型（例如可持续旅游的多目标优化模型）时，我们通常会用到索引（Indices）、**参数（Parameters）和决策变量（Decision Variables）**这三个概念。它们在模型中的角色分别如下：

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1. 索引（Indices）

• 定义：索引用来对数据或变量进行分类、标识或遍历，使模型能够灵活地针对不同类别、时段、地点等进行表达。

• 常见示例：

  1. 时间索引（t ∈ T）：表示年份、季度、月份或其他时间段。
  2. 区域或地点索引（r ∈ R）：表示城市中的不同地区、景点或者不同城市/国家。
  3. 资源类型索引（i ∈ I）：表示能源、水资源、废物处理能力等。
  4. 游客类型索引（j ∈ J）：例如国内游客、国际游客等。
  5. 运输方式索引（m ∈ M）：如飞机、游轮、汽车等交通方式。

• 作用：在模型的方程中，需要在不同索引上“遍历”或“求和”时，就会用到这些符号来表示“对哪些范围的变量或参数进行计算”。

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2. 参数（Parameters）

• 定义：参数是模型中已经确定且不随模型决策改变的常数或外部给定数据。它们往往来自于历史数据、统计数据、文献、政策规定等，可以在模型运行前就被确定。

• 常见示例：

  1. 自然资源总量或承载力（$D_i$）：表示某种资源（如淡水、能源）的最大可供量或环境容量。
  2. 旅游收入系数（$\mu, \zeta$）：单位游客（国内或国际）在当地平均消费金额、带来的直接收益。
  3. 碳排放因子（$\alpha_{m}$）：不同交通方式或游客活动产生的平均碳排放量。
  4. 社会满意度阈值（$S_{\min}$）：社会或居民对于游客数量、环境压力的最低容忍/满意度。
  5. 使用效率（$\theta_i$）：资源的利用效率，如节水、节能技术对资源使用的改善程度。

• 作用：这些参数是已知的输入，在模型中通常以常数形式参与运算，例如在目标函数或约束中使用。

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3. 决策变量（Decision Variables）

• 定义：决策变量是模型要求解的未知量，通过优化算法来决定它们的最优取值。决策变量往往代表了决策者可以控制或调整的东西。

• 常见示例：

  1. 游客数量（$a_{1}, a_{2}, \dots$）：可以是国内游客、国际游客，不同季节或不同交通方式下的接待数量。
  2. 资源分配数量（$x_{ij}$）：为第 $i$ 类资源分配给第 $j$ 类游客的配额。
  3. 政策相关决策（$T\_{\text{tax}}, T\_{\text{cap}}$）：比如征收多少游客税（Tax），或者设置多少游客上限（Cap）。
  4. 基础设施投资规模（$I_{\text{infra}}$）：在废水处理厂、公共交通系统或其他设施上的投入金额，以提升承载力。

• 作用：

  • 核心目标：模型通过优化（例如最大化净收入、最小化环境影响），寻找这些决策变量的“最优组合”；
  • 可控性：决策变量必须能够被决策者或管理方实际控制或影响，否则就不具备决策意义。

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4. 三者之间的关系

1. 索引让我们能够对模型中“谁、何处、何时、何种资源”等进行区分或遍历；
2. 参数是给定的外部环境数据或常量；
3. 决策变量是要被优化算法（比如NSGA-II）求解的未知值，它们直接影响目标函数的结果，并受各种约束条件的限制。

在一个典型的可持续旅游多目标模型中，方程大致形如：

$$\begin{aligned} &\max\;/\;\min\; f_k(\{x_{ij}, \dots\}; \{\text{Parameters}\}), \quad k = 1, 2, \ldots, m \\ &\text{s.t.} \quad g_{\ell}(\{x_{ij}, \dots\}; \{\text{Parameters}\}) \le 0, \quad \ell = 1, 2, \ldots, L \\ &x_{ij} \ge 0, \quad \forall i \in I, \; j \in J \end{aligned}$$

• $f_k$ ：一系列目标函数（经济、环境、社会目标）
• $g_{\ell}$ ：一系列约束函数（资源承载力、排放、满意度阈值等）
• $x_{ij}$ ：决策变量（往往带有索引 $i$ 和 $j$）
• Parameters：$\mu, \zeta, \alpha_m, D_i, \dots$ 等在方程中出现的常量
• Indices：$i \in I$, $j \in J$, $t \in T$, 用来循环或区分不同的资源、游客类型、时间段等

通过这种模式，我们就能对模型进行清晰的结构化描述，并将其输入到求解器（或算法）中进行优化。

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总结

• Indices（索引）：用来枚举或区分不同类别（资源、时间、区域等）；
• Parameters（参数）：外部已知数据或常数，不随模型决策改变；
• Decision Variables（决策变量）：模型要优化求解的未知量，是能被决策者操纵或设定的控制变量。

它们三者在数学模型中相辅相成，共同构成一个可用于分析和求解的优化框架。

下面我们以文中给出的改进型 NSGA‐II 算法为主线，逐段说明其建模思路、各个公式的含义及由来。为方便理解，我会按照文中出现的公式顺序进行讲解，并结合对应段落的背景描述其作用。

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一、算法总体思路

从文中的 Fig.1（NSGA-II 算法流程图）可以看到，算法整体分为以下步骤：

1. 初始化种群 (Initialize population)
   随机产生一定规模的初始解（个体），每个解由决策变量组成。

2. 选择 (Selection)、交叉 (Crossover) 与变异 (Variation)
   对种群进行进化操作，产生子代种群。

3. 种群合并 (Population merging)
   将父代种群和子代种群合并。

4. 非支配排序 (Non-dominated sorting) 与拥挤度计算 (Crowding distance)
   对合并后的种群进行快速非支配排序和拥挤度计算，根据优劣筛选出下一代最优个体。

5. 生成新种群 (Generate new species group)
   得到新一代种群后，判断是否达到预设代数/收敛条件。若未结束，则 Gen ← Gen + 1，重复进化。

文中提到的改进点主要在于：

• 对交叉概率 (Crossover Probability) 和 变异概率 (Mutation Probability) 进行自适应（Adaptive）调整；
• 引入差分进化（DE）思想改进变异算子；
• 改进精英策略 (Elite strategy)，在保留高质量个体的同时增强种群多样性。

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二、自适应交叉概率与变异概率

1. 公式 (1): 交叉概率随进化代数线性衰减

$$P_{o}(g) = P_{o_{\max}} - (P_{o_{\max}} - P_{o_{\min}}) \times \frac{g}{\text{gen}} \tag{1}$$

• 含义：

  • $g$ 为当前进化代数，$\text{gen}$ 为总进化代数上限。
  • $P_{o_{\max}}, P_{o_{\min}}$ 分别是预先设定的交叉概率上、下限。
  • 随着迭代的进行（$g$ 从 1 增长到 $\text{gen}$），交叉概率 $P_o(g)$ 从 $P_{o_{\max}}$ 逐渐减小到 $P_{o_{\min}}$。

• 由来：

  • 遗传算法早期为了探索更广解空间，往往需要较高的交叉概率。
  • 随着迭代深入，为了收敛到精细解，需要降低交叉的随机性，因此让交叉概率逐渐降低，有助于减少后期的大范围扰动。

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2. 公式 (2): 根据种群适应度（目标函数值）动态调整交叉概率

$$P_o = \begin{cases} P_{o_{\min}} - \dfrac{f_{\max} - f_{\text{avg}}}{f_{\max} - f_{\min}} \,\bigl(P_{o_{\max}} - P_{o_{\min}}\bigr), & \text{if } f_{\min} \neq f_{\text{avg}} \\ P_{o_{\max}}, & \text{if } f_{\min} = f_{\text{avg}} \end{cases} \tag{2}$$

• 含义：

  • $f_{\max}$ 和 $f_{\min}$ 分别是当前种群中目标函数的最大值和最小值。
  • $f_{\text{avg}}$ 是种群所有个体目标函数值的平均值。
  • 上式根据个体适应度（与总体 $f_{\max}, f_{\min}, f_{\text{avg}}$ 的对比）来计算一个自适应的交叉概率。

• 由来：

  • 如果群体中适应度分布差异很大（$f_{\max} \neq f_{\min}$），说明群体里有明显优劣个体，需要更谨慎地进行交叉；
  • 当 $f_{\min} = f_{\text{avg}}$ 表明群体较“整齐”，交叉概率可选最大值，以期进一步探索更好解。
  • 这种基于适应度的机制可视为对 (1) 的补充或替代，以个体优劣“动态”决定交叉强度。

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3. 公式 (3) 与 (4): 自适应变异概率

$$P_{v}(g) = P_{v_{\max}} - \bigl(P_{v_{\max}} - P_{v_{\min}}\bigr) \times \frac{g}{\text{gen}} \tag{3}$$ $$P_v = \begin{cases} P_{v_{\min}} - \dfrac{f_{\max} - f_{\text{avg}}}{f_{\max} - f_{\min}} \,\bigl(P_{v_{\max}} - P_{v_{\min}}\bigr), & \text{if } f_{\min} \neq f_{\text{avg}}\\ P_{v_{\max}}, & \text{if } f_{\min} = f_{\text{avg}} \end{cases} \tag{4}$$

• 含义：

  • 与交叉概率类似，$(3)$ 使变异概率在进化早期较高（$\approx P_{v_{\max}}$），后期逐步降低到 $P_{v_{\min}}$。
  • $(4)$ 则根据个体适应度与种群整体水平的差异度来动态调整变异概率。

• 由来：

  • 变异（与交叉不同）更强调在后期“微调”个体，避免过早收敛到局部最优。
  • 同时又要兼顾初期的多样性探索，所以采用与交叉相同的思路进行自适应控制。

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三、差分进化算子的引入（公式 (5)）

$$x_i(1+g) = \bigl(x_r(g) - x_{r_2}(g)\bigr) \times F + x_{\text{best}}(g) \tag{5}$$

• 含义：

  • 这是一个典型的**差分进化（DE）**更新公式。
  • $x_r(g), x_{r_2}(g)$ 表示在第 $g$ 代时随机选择的两个不同个体；
  • $x_{\text{best}}(g)$ 表示第 $g$ 代中最优个体的解；
  • $F$ 是缩放因子（Scaling factor），控制差分向量的放大倍数。
  • $x_i(1+g)$ 表示在第 $g+1$ 代中，对第 $i$ 个个体的更新。

• 由来：

  • 文中提到 NSGA-II 的局部搜索能力在后期可能不够强，而差分进化具有较好的全局搜索与局部搜索平衡。
  • 将 DE 算子融合到 NSGA-II，可以利用差分向量的随机性和“最优个体”的引导，产生新解，有效增强算法跳出局部最优的能力。

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四、新的交叉算子（公式 (6)）与交叉因子 $\alpha$ 的改进（公式 (7)）

$$\begin{cases} X_A^{t+1} = (1 - \alpha) \times X_B^t + \alpha X_A^t\\ X_B^{t+1} = (1 - \alpha) \times X_A^t + \alpha X_B^t \end{cases} \tag{6}$$ $$\alpha = \frac{\text{rankA}}{\text{rankB} + \text{rankA}} \tag{7}$$

• 含义 (公式 6)：

  • $X_A^t, X_B^t$ 是两个父代个体的“染色体”，$X_A^{t+1}, X_B^{t+1}$ 是子代。
  • $\alpha$ 为交叉因子，决定了新个体对父本 A、B 的继承权重。
  • 当 $\alpha$ 越大，$X_A^{t+1}$ 更偏向父本 A。

• 含义 (公式 7)：

  • $\text{rankA}, \text{rankB}$ 分别表示个体 A、B 在非支配排序中的等级（层次），数字越小代表层次越好（越优）。
  • 用这两个 rank 之比来动态计算 $\alpha$，从而保留排名较高个体的优质基因。
  • 若 A 与 B 排名相当，则 $\alpha \approx 0.5$。
  • 若 A 比 B 更优($\text{rankA} < \text{rankB}$)，则 $\alpha$ 越大。

• 由来：

  • 传统交叉操作往往用固定交叉率/随机系数，很可能缺乏对高质量个体的“倾斜”，导致后期搜索效率低或好基因被破坏。
  • 通过引入“非支配排序 rank”，在交叉中适度偏向于保留更优秀解的特征，以提高搜索精度并保留高质量基因。

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五、改进精英策略（公式 (8)）

$$N_i = \frac{2(1 + M - i)(N - N_1)}{(M - 1)(2 + M)} \tag{8}$$

• 含义：

  • 文中说，传统的精英策略只保留第一层（最好的一层）非支配解，若人数不够再去下一层选少量个体，但可能造成多样性不足。
  • 这里提出一种“分层次按比例”保留个体的方案：
    • $M$ 表示非支配层数的最大值；
    • $N$ 表示总人口规模；
    • $i$ 表示第 $i$ 个非支配层；
    • $N_1$ 表示第一层中的个体数；
    • $N_i$ 表示从第 $i$ 层要选多少人，利用该公式进行分配。

• 由来：

  • 目的是在保留最优层（第一层）的大部分解的同时，也让其它层（第二层、第三层等）有一定机会被保留。
  • 这样可以丰富种群的多样性，防止后期种群过度集中在“极少数精英解”而失去多样性，影响全局搜索性能。

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六、总体小结

1. 自适应概率 (交叉/变异) 公式 (1)~(4)：
   • 在不同进化阶段，或者对不同适应度水平的个体，采用不同概率进行交叉、变异，以平衡全局搜索和局部搜索。
2. 差分进化算子 (5)：
   • 增强 NSGA-II 对更优解的搜索能力，降低陷入局部最优的风险。
3. 新交叉算子 (6) 与因子 $\alpha$ (7)：
   • 利用个体的“非支配层 rank”来控制交叉权重，使得优质个体的基因得到优先保留。
4. 改进精英策略 (8)：
   • 多层次选拔个体，增加种群多样性，提升算法后期的全局搜索能力。

通过这几方面的改进，改进型 NSGA-II 在解决多目标优化（如城市旅游可持续发展中的环境、经济、社会多目标）时，更有可能在Pareto 前沿上取得分布均匀、收敛更优的解。

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参考思路

• (1)～(4) 体现了“线性衰减 + 适应度差异”两种自适应机制：
  • 线性衰减：随代数增加，降低大范围扰动；
  • 适应度差异：个体若在群体里相对一般/突出，则交叉或变异概率可做相应增减。
• (5) 引入差分进化，结合最优解与差分向量，强化搜索能力。
• (6)～(7) 让交叉时“优者多得”，保留优质特征。
• (8) 通过在多个非支配层次里按比例选拔个体，进一步平衡搜索的精英性与多样性。

这就是文中各段内容、各个公式背后的原理与来历，希望能帮助你清楚理解这些改进如何在 NSGA-II 框架下协同运作。

下面是一份“原文逐段翻译 + 公式解读” 的结合说明。为方便阅读，我将先贴出原文英文内容（根据截图整理）并进行中文翻译，然后在每一段后面给出简要解读，包括公式的由来和意义。

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第 1 段

英文原文
3. A sustainable development model for urban tourism based on multi-objective optimization of environmental carrying capacity

3.1. Multi-objective optimization based on improved NSGA-II algorithm

In practical engineering applications, decisions on a solution are often constrained by several factors, i.e. they can only be accomplished with a multi-objective design. For multiple objectives, there are often certain differences, so it is necessary to find the most optimal design that satisfies multiple criteria, i.e. a multi-objective optimization problem. Traditional multi-objective optimization algorithms are mostly single-objective optimization with strong limitations [14]. Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II), as one of the more widely used traditional multi-objective optimization algorithms, has the advantages of stable results of multiple calculations and high solution accuracy, but it has the problems of poor global search ability, large randomness of results, and premature convergence of the algorithm.

The NSGA-II algorithm first randomly generates the initial population and processes the initial population in the solution space by crossover, variation and other operations to obtain the corresponding subpopulation. Then the two parts of the subpopulations are combined, i.e. the child subpopulation and the parent subpopulation. The new generation population is then obtained by evaluating individuals using the crowding comparison operator and non-dominated sorting methods, and using an elite strategy to filter the population, thereby recovering the population size. Finally, the NSGA II algorithm is compared with the termination condition to decide whether to stop the operation.

中文翻译

3. 基于环境承载力多目标优化的城市旅游可持续发展模型

3.1. 基于改进 NSGA-II 算法的多目标优化

在实际的工程应用中，对一个解进行决策往往受到多种因素的约束，也就是说，这些决策只能通过多目标的设计才能完成。对于多个目标，常常存在一定程度的差异，因此需要找到能同时满足多个评价标准的最优设计，也就是一个多目标优化问题。传统的多目标优化算法大多是基于单目标优化，存在较强的局限性 [14]。非支配排序遗传算法 II（NSGA-II）作为被广泛使用的传统多目标优化算法之一，具有多次计算结果稳定、求解精度高等优点，但也存在全局搜索能力不足、结果随机性大以及算法过早收敛等问题。

NSGA-II 算法首先随机生成初始种群，然后通过交叉、变异等操作在解空间中对初始种群进行处理，得到相应的子种群。随后，将子种群和父种群这两部分合并，并通过拥挤比较算子与非支配排序等方法对个体进行评估，运用精英策略筛选群体，从而使种群规模得以恢复。最后，将 NSGA-II 算法的结果与终止条件进行比较，以决定是否停止运行。

解读

• 这一段主要是介绍研究背景：为何在城市旅游可持续发展中会使用多目标优化，以及为什么选择 NSGA-II 算法。
• 指出 NSGA-II 的优点（如解精度高）与缺点（易过早收敛、全局搜索弱），为后续改进算法埋下伏笔。

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第 2 段

英文原文
From the flowchart of the NSGA-II algorithm in Fig. 1, it is clear that the crossover, variance and elite strategies are the main parts that affect the performance of the algorithm. Therefore, the study improves the algorithm accordingly while retaining the crowding comparison operator, crowding and fast dominance ranking methods. The crossover variation probabilities in the NSGA-II algorithm are set in the same way as in the genetic algorithm and are invariant, which greatly increases the probability that the results obtained by the algorithm fall into a local optimum [15]. To avoid the computational errors caused by fixed parameters, an adaptive approach is adopted to adjust accordingly, and the adaptive crossover probability formula is shown in equation (1).

$$P_{o}(g) = P_{o_{\max}} - (P_{o_{\max}} - P_{o_{\min}}) \times \frac{g}{\text{gen}} \quad (1)$$

In equation (1), $P_{o}(g)$ is the crossover probability, $g$ represents the current evolutionary generation, $\text{gen}$ is the total number of evolved generations, and $P_{o_{\max}}$ and $P_{o_{\min}}$ are the predetermined upper and lower limits of the crossover probability, respectively. It can be seen that this adaptive crossover probability method does not closely link the current population information to the evolutionary algebra, increasing the likelihood that individuals with poor solution characteristics will be retained at a later stage. To enhance the relevance of the population individuals to the adaptive adjustment, the resulting adjustment formula for the adaptive crossover probability is shown in equation (2).

中文翻译

从图 1 中 NSGA-II 算法的流程图可以看出，交叉、变异以及精英策略是影响该算法性能的主要部分。因此，在本研究中，保留了拥挤比较算子、拥挤度和快速支配排序方法的基础上，对算法进行了相应的改进。
在 NSGA-II 算法中，交叉变异概率与遗传算法的设定方式相同，并且是固定不变的，这很大程度上增加了算法陷入局部最优的概率 [15]。为了避免由固定参数所导致的计算误差，本研究采用了一种自适应（Adaptive）的方式来进行相应调整，公式 (1) 给出了自适应交叉概率的表达式：

$$P_{o}(g) = P_{o_{\max}} - (P_{o_{\max}} - P_{o_{\min}}) \times \frac{g}{\text{gen}} \quad (1)$$

在公式 (1) 中，$P_{o}(g)$ 表示在第 $g$ 代的交叉概率；$g$ 表示当前进化代数；$\text{gen}$ 为进化的总代数；$P_{o_{\max}}$ 和 $P_{o_{\min}}$ 分别是交叉概率的预设上限和下限。可以看出，这种自适应交叉概率方法并没有将当前种群信息与进化代数紧密结合，这会增加在后期保留劣质个体的可能性。为了增强种群个体对自适应调整的相关性，文中给出了公式 (2) 进一步的修正方式。

解读

• 主要内容：介绍了改进思路——把原本“固定”的交叉/变异概率改为“自适应”。先给出了一个线性衰减形式 (公式 1)，使交叉概率随进化代数逐渐减小。
• 公式 (1) 含义：随着迭代轮次的增加，交叉概率从最大值线性过渡到最小值。

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第 3 段

英文原文

$$P_{o} = \begin{cases} P_{o_{\min}} - \dfrac{f_{\max} - f_{\text{avg}}}{f_{\max} - f_{\min}} \times (P_{o_{\max}} - P_{o_{\min}}), & \text{else} \\ P_{o_{\max}}, & f_{\min} = f_{\text{avg}} \end{cases} \quad (2)$$

In equation (2), $f_{\min}$ and $f_{\max}$ are the minimum and maximum values of the objective function corresponding to the individuals in the population, respectively, while $f_{\text{avg}}$ represents the average value of the objective function corresponding to all individuals in the population. The adaptive variation probability formula is shown in equation (3).

$$P_v(g) = P_{v_{\max}} - (P_{v_{\max}} - P_{v_{\min}}) \times \frac{g}{\text{gen}} \quad (3)$$

In equation (3), $P_v(g)$ represents the mutation probability, and $P_{v_{\max}}$ and $P_{v_{\min}}$ are the upper and lower limits of the established probability of variation. In order to combine the probability of variation with information about the individuals in the population, the adjusted variation probability formula is shown in equation (4).

中文翻译

$$P_{o} = \begin{cases} P_{o_{\min}} - \dfrac{f_{\max} - f_{\text{avg}}}{f_{\max} - f_{\min}} \times (P_{o_{\max}} - P_{o_{\min}}), & \text{其他情况} \\ P_{o_{\max}}, & f_{\min} = f_{\text{avg}} \end{cases} \quad (2)$$

在公式 (2) 中，$f_{\min}$ 和 $f_{\max}$ 分别表示种群中个体对应目标函数值的最小值和最大值，而 $f_{\text{avg}}$ 表示种群中所有个体目标函数值的平均值。随后，文中给出了自适应变异概率的公式 (3)：

$$P_v(g) = P_{v_{\max}} - (P_{v_{\max}} - P_{v_{\min}}) \times \frac{g}{\text{gen}} \quad (3)$$

在公式 (3) 中，$P_v(g)$ 表示在第 $g$ 代的变异概率，$P_{v_{\max}}$ 和 $P_{v_{\min}}$ 分别是设定的变异概率上限与下限。为了将变异概率与种群个体信息相结合，作者给出了公式 (4) 来对变异概率进行修正。

解读

• 公式 (2) 含义：在之前线性衰减的基础上，再利用种群中最大/最小/平均适应度对交叉概率进行调整。如果整个种群表现集中（$f_{\min} = f_{\text{avg}}$），交叉概率设为最大，意在扩大搜索范围；否则根据“与平均值的差异”进行修正。
• 公式 (3)：变异概率随代数线性衰减的初步形式。

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第 4 段

英文原文

$$P_v = \begin{cases} P_{v_{\min}} - \dfrac{f_{\max} - f_{\text{avg}}}{f_{\max} - f_{\min}} \times (P_{v_{\max}} - P_{v_{\min}}), & \text{else}\\ P_{v_{\max}}, & f_{\min} = f_{\text{avg}} \end{cases} \quad (4)$$

In equation (4), $P_v$ represents the adjusted probability of variation. According to the adjusted cross-variance probability formula, it can be seen that at the early stage of algorithm evolution, the difference between individuals is expressed through the objective function value, while the maximum and minimum values are different at this time, and the average objective function value is equivalent to the average of the two. Therefore, the probability of cross-variance is larger at the beginning of the algorithm and finding the optimal solution set becomes easier at the beginning. At the later stages of the algorithm, the number of individuals with larger objective function values is extremely small, again facilitating the search for the optimal solution set.

The variational operator of the NSGA-II algorithm is then improved, as the variational operator of the NSGA-II algorithm is more stochastic in its local search for the optimal set, as it has no dependence on the information of other individuals in the population. It is therefore improved by introducing a differential evolution algorithm, as shown in equation (5).

$$x_i(1+g) = \bigl(x_r(g) - x_{r_2}(g)\bigr) \times F + x_{\text{best}}(g) \quad (5)$$

中文翻译

$$P_v = \begin{cases} P_{v_{\min}} - \dfrac{f_{\max} - f_{\text{avg}}}{f_{\max} - f_{\min}} \times (P_{v_{\max}} - P_{v_{\min}}), & \text{其他情况}\\ P_{v_{\max}}, & f_{\min} = f_{\text{avg}} \end{cases} \quad (4)$$

在公式 (4) 中，$P_v$ 表示修正后的变异概率。根据这一自适应交叉-变异概率公式可知，在算法的早期阶段，种群个体之间的差异由目标函数值体现；此时最大值与最小值并不相同，而平均值大致相当于两者的中间值，所以在算法初期交叉变异的概率会比较大，使得更容易在初期搜索到较优解。在后期阶段，拥有较大目标函数值的个体很少，再次有利于收敛到最优解集。

此外，为了改进 NSGA-II 算法的变异算子（NSGA-II 自身在局部搜索方面具有一定的随机性，并且不依赖于其他个体的信息），作者引入差分进化（DE）来增强变异能力，其形式如公式 (5) 所示：

$$x_i(1+g) = \bigl(x_r(g) - x_{r_2}(g)\bigr) \times F + x_{\text{best}}(g) \quad (5)$$

解读

• 公式 (4)：与 (2) 类似，但针对变异概率做了同样的适应度差异修正。
• 引入差分进化 (5)：通过“差分向量 + 最优个体”的模式改善局部搜索与跳出局部极值的能力。
  • $x_r(g)$ 和 $x_{r_2}(g)$ 是随机选择的不同个体；
  • $x_{\text{best}}(g)$ 是当前种群最优个体；
  • $F$ 为差分进化中的缩放因子。

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第 5 段

英文原文
In equation (5), $F$ represents the scaling factor, $g$ is the number of evolutionary generations, and $x_{\text{best}}(g)$ is the best individual in the generation with the sequence $g$. The formula for defining the crossover operator of the NSGA-II algorithm is shown in equation (6).

$$\begin{cases} X_A^{t+1} = (1 - \alpha)\,X_B^t + \alpha\,X_A^t \\ X_B^{t+1} = (1 - \alpha)\,X_A^t + \alpha\,X_B^t \end{cases} \quad (6)$$

In equation (6), $\alpha$ represents the crossover factor, which is a deterministic constant. $X_A^{t+1}, X_B^{t+1}$ represents two parent individuals, and $X_A^t$ and $X_B^t$ correspond to the chromosomes of the two parent individuals. The children in the current crossover operator inherit the best individuals from their parents, but the global search performance remains weak, resulting in overpopulation of the best solutions and a lack of population diversity. Therefore, the value of $\alpha$ was redefined to retain individuals of high rank, as shown in equation (7).

中文翻译

在公式 (5) 中，$F$ 表示缩放因子；$g$ 为进化代数；$x_{\text{best}}(g)$ 是第 $g$ 代中的最优个体。接下来，NSGA-II 的交叉算子定义如公式 (6) 所示：

$$\begin{cases} X_A^{t+1} = (1 - \alpha)\,X_B^t + \alpha\,X_A^t \\ X_B^{t+1} = (1 - \alpha)\,X_A^t + \alpha\,X_B^t \end{cases} \quad (6)$$

在公式 (6) 中，$\alpha$ 表示交叉因子，是一个确定性的常数。$X_A^{t+1}$ 和 $X_B^{t+1}$ 分别代表两个父代个体，而 $X_A^t, X_B^t$ 则是这两个父代个体的染色体。当前交叉算子中的子代继承了父母中较好的基因，但全局搜索能力依然较弱，容易导致最优解过度集中而缺乏种群多样性。为此，作者对 $\alpha$ 的取值进行了重新定义，以保留更高等级（Rank）的个体，具体见公式 (7)。

解读

• 进一步阐述交叉操作的更新形式：
  • 当 $\alpha$ 不变时，会导致后期群体单一化。
  • 因此需要结合个体的“非支配排序等级”去动态调整 $\alpha$。

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第 6 段

英文原文

$$\alpha = \frac{\text{rankA}}{\text{rankB} + \text{rankA}} \quad (7)$$

In equation (7), $\text{rankA}$ is the non-dominated ranking level of individual A and $\text{rankB}$ is the non-dominated ranking level of individual B. By combining $\alpha$ with the non-dominated ranking levels, the diversity is enriched and individuals with high-ranking levels are retained. The final refinement of the elite strategy was carried out. The retention of individuals by the original elite strategy was done through the non-dominated hierarchy, i.e. if the initial population size exceeded the number of individuals in the first hierarchy, individuals with excellent crowding characteristics were derived from the next hierarchy until the original population size was reached after the population was populated. However, the selection of populations is prone to the problem that individuals in populations in tiers other than the first are not very different, thus affecting the local search for excellence. Therefore, a deeper enrichment of the diversity of the populations is required, the rationale for which is shown in Fig. 2.

The modified elite strategy selects individuals in the other tiers proportionally on the basis of retaining the individuals in the first tier, i.e. the smallest individuals in the non-dominated tier, as shown in equation (8).

$$N_i = \frac{2(1 + M - i)(N - N_1)}{(M - 1)(2 + M)} \quad (8)$$

In equation (8), $M$ represents the maximum value in the non-dominated stratum, $N$ represents the population size, $i$ represents the stratum number, and $N_i$ represents the number of individuals selected from the stratum $i$. The improved elite strategy starts with selection from the second stratum, which entails retaining as many individuals from populations lower in the ranking stratum as possible, which results in different ratios of individuals selected in other strata, enriching the diversity of the population and further enhancing the local search for excellence.

中文翻译

$$\alpha = \frac{\text{rankA}}{\text{rankB} + \text{rankA}} \quad (7)$$

在公式 (7) 中，$\text{rankA}$ 和 $\text{rankB}$ 分别表示个体 A 与个体 B 在非支配排序中的层级。通过将 $\alpha$ 与这两个层级值结合，不仅能丰富种群多样性，也能保留排名较高的个体。随后，作者对精英策略做了最后一步改进。原本的精英策略是按照非支配层级进行保留：如果初始种群规模大于第一层的个体数量，则从下一层中选出拥挤度表现优秀的个体，依此类推，直到恢复到原有种群规模。然而这样做会出现另一个问题：第一层之外的群体差异不明显，不利于在局部范围内搜索更优解。因此，需要进一步加深种群多样性的富集度（图 2 给出了相应的示意）。

改进后的精英策略是在保证第一层个体保留的前提下，按比例从其他层中选取个体（即在非支配层中选取数量较少的个体），公式 (8) 所示：

$$N_i = \frac{2(1 + M - i)(N - N_1)}{(M - 1)(2 + M)} \quad (8)$$

在公式 (8) 中，$M$ 表示非支配层的最大层数，$N$ 表示种群规模，$i$ 表示层级编号，$N_i$ 表示从第 $i$ 层选取的个体数量。改进后的精英策略从第二层开始选择尽可能多的个体，因而在其他层也会有不同比例的个体被选出，从而进一步丰富了种群的多样性，并提升在局部范围内的搜索表现。

解读

• 公式 (7)：动态交叉因子 $\alpha$ 与非支配排序等级相关，排名越高的个体会在交叉中占更大权重。
• 公式 (8)：针对精英策略的改进——不只是优先挑选第一层，而是按比例从其他层（第二层、第三层等）也保留一部分个体，避免种群过于集中在单一层级，保持多样性。

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总体总结

通过以上翻译与解读，可以看到文中改进型 NSGA-II 的核心思路如下：

1. 自适应交叉与变异概率 (公式 1～4)：

   • 初步采用随进化代数线性衰减的方式。
   • 进一步根据种群最大/最小/平均适应度动态调整，使早期搜索更广，后期搜索更精细。

2. 引入差分进化算子 (公式 5)：

   • 在变异操作中结合差分进化理念，使用“最优个体 + 差分向量”来强化全局与局部搜索能力。

3. 交叉算子中加入非支配等级权重 (公式 6, 7)：

   • 通过 $\alpha = \tfrac{\text{rankA}}{\text{rankB} + \text{rankA}}$ 让排名更高（更优）的个体在交叉中占较大比重，保留优良基因。

4. 改进精英策略 (公式 8)：

   • 不只保留第一层非支配解，而是按照一定比例在多层次中选取优秀个体，以维护群体多样性并继续挖掘潜在优解。

这些改进综合起来，力图解决原版 NSGA-II 中“易陷入局部最优、群体多样性下降以及后期搜索效率不高”等问题，更好地应用于城市旅游环境承载力的多目标优化场景。希望以上“原文翻译 + 公式解读”能帮助你更清晰地理解论文中各公式的来龙去脉。

下面我会按照文献的结构，先贴出英文原文（带中文翻译），然后以通俗易懂的方式说明改进后的 NSGA-II 算法是如何被具体应用到“城市旅游环境承载力”的可持续发展模型中的。重点在于：** 算法如何结合所提出的多目标、指标体系和约束条件**，并在最后输出最优的旅游接待策略或决策方案。

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一、英文原文与中文翻译

下面是文中（结合图 3、图 4 以及对应段落）的重要说明，描述了作者在建立环境承载力多目标模型后，如何将改进后的 NSGA-II 应用到求解过程。

（1）原文摘录：关于可持续环境承载力指标构建

English (from the paper)
“After the improvement of the NSGA-II algorithm, the sustainability indicators of environmental carrying capacity should be determined. The construction of the indicator system should be centered on the core interest subjects, and among the core interest subjects of the urban tourism environment, the government, urban residents, tourism enterprises and tourists occupy a dominant position [16]. … Therefore, according to the interests of the core interest subjects, the indicators obtained include the natural tourism environment, social tourism environment and economic tourism environment, as shown in Fig. 3.”

中文翻译
“在对 NSGA-II 算法进行改进后，首先要确定环境承载力的可持续指标。该指标体系的构建以核心利益主体为中心，而在城市旅游环境的核心利益主体中，政府、城市居民、旅游企业和游客处于主导地位 [16]。……因此，根据这些核心利益主体的诉求，最后得到的指标包括自然旅游环境、社会旅游环境和经济旅游环境，具体如图 3 所示。”

简要解读

• 作者先提出了三类指标维度：自然环境（如水、绿地、特殊旅游资源）、社会环境（如居民满意度、居民与从业者的配比）、经济环境（如道路、餐饮接待能力、公交数量）。
• 这些指标将用于约束或衡量旅游活动对城市资源的使用，并融入后续的多目标优化模型。

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（2）原文摘录：关于多目标函数与约束的构建

English (from the paper)
“Based on the core interest subjects and indicator system, the sustainable objectives of environmental carrying are identified as maximized economic income, maximized number of urban residents and tourists, and maximized employment rate of urban residents, and the objective function is constructed from this (Fang R. 2019) [17]. The maximized economic income is the maximization of the income received by the tourism site and is closely related to the number of tourists, as shown in equation (9)… In equation (12), x3 is the number of subjects to be accommodated… Through a system of indicators for the tourism environment, taking into account both economic incomes, the number of subjects accommodated and the employment rate of urban residents, the general constraint is obtained as shown in equation (13).”

中文翻译
“基于核心利益主体和指标体系，将环境承载力的可持续目标确定为：最大化经济收入、最大化城市居民与游客数量以及最大化城市居民的就业率，并按照文献 [17] 的思路构建了目标函数。最大化经济收入指的是旅游目的地所获得收入的最大化，其与游客人数密切相关（见公式 (9)）。
在公式 (12) 中，x3 表示可容纳的主体数量……通过一个涉及旅游环境的指标体系，综合考虑了经济收入、可容纳的主体数量和城市居民就业率，最终得到公式 (13) 所示的总体约束。”

简要解读

• 这里明确了多目标：
  1. 经济目标：最大化旅游收入（和游客数挂钩）；
  2. 社会目标：最大化可容纳人口（本地居民 + 游客），以及最大化就业率；
  3. 环境/资源约束：对水资源、道路交通、碳排放等进行约束（公式 (13)），体现出环境承载力的限制。

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（3）原文摘录：关于改进 NSGA-II 在模型中的应用流程

English (from the paper)
“Therefore, the study established a specific indicator system for the sustainable carrying capacity of urban tourism environment based on the perspective of the core interest subjects, pointed out three specific goals to achieve the sustainable carrying capacity of urban tourism environment … and constructed a multi-objective optimization model for the sustainable carrying capacity of urban tourism environment. Finally, the research can use the improved NSGA-II algorithm to solve the multi-objective optimization model, so as to achieve the multi-objective optimization of the sustainable carrying capacity of Urban tourism environment… The improved NSGA-II algorithm sets parameters in the initialization process to be based on the number of overseas tourists, mainland tourists and town residents, and the initialised individual information is generated randomly. The crowding distance comparison operator makes the populations of environmental carrying capacity seeking with diversity and distribution, and the crowding distance formula is shown in equation (14).”

中文翻译
“因此，本研究从核心利益主体的角度出发，为城市旅游环境的可持续承载力建立了一套具体的指标体系，并明确了实现城市旅游环境可持续承载力的三个具体目标……同时构建了城市旅游环境可持续承载力的多目标优化模型。最终，研究者可以使用改进后的 NSGA-II 来对该多目标优化模型进行求解，从而实现对城市旅游环境可持续承载力的多目标优化……在改进 NSGA-II 算法的初始化过程中，需要根据海外游客、国内游客和城市居民的人数设定相关参数，并随机生成初始个体信息。通过拥挤度比较算子，可以使环境承载力搜索过程在解空间中具备多样性和分布性，其拥挤度计算公式见 (14)。”

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（4）原文摘录：关于拥挤度计算与个体排序 (图 4)

English (from the paper)
“$P[i]_{\text{dis tan ce}} = \sum_{n=1}^{r} \bigl(f_n[i+1] \cdot P - f_n[i-1]\cdot P\bigr)$ (14) … The individuals in the population have crowding distances and non-dominance ranks, and the ranking is based on the dominance relationships exhibited between individuals, as shown in Fig. 4. The improved NSGA-II algorithm uses the biased order relationship as the basis for classification and its dominance relationship is shown in equation (15). … Therefore, the improved NSGA-II algorithm in urban tourism environment carrying capacity needs to firstly obtain the decision variables by means of real number coding, then calculate the values of individuals on the constructed objective function, then perform the merit search and judge whether the generated objective function meets the established requirements, and finally check whether it meets the termination conditions to decide whether to output the Pareto solution set.”

中文翻译
“$P[i]_{\text{dis tan ce}} = \sum_{n=1}^{r} \bigl(f_n[i+1] \cdot P - f_n[i-1]\cdot P\bigr)$（公式 (14)）……种群中的个体具有拥挤度和非支配等级，算法根据这些个体间的支配关系进行排序，如图 4 所示。改进后的 NSGA-II 算法使用带偏序的排序关系来进行分类，其支配关系见公式 (15)。……因此，该改进 NSGA-II 在应用于城市旅游环境承载力时，需要先用实数编码来获得决策变量，再在所构建的目标函数上计算各个体的数值，接着进行优劣筛选并判断生成的目标函数是否符合既定要求，最后检查是否满足终止条件，以决定是否输出帕累托解集。”

简要解读

• 拥挤度计算(公式(14))：与标准 NSGA-II 相似，用来维持种群多样性；
• 非支配排序 & 精英策略：在满足资源环境约束的同时，选出一系列非支配解。
• 求解流程：
  1. 编码（给定海外游客数 a2、国内游客 a1、居民数 b3 等作为初始变量）；
  2. 计算适应度（即三大目标函数：收入、就业率、容纳人数）并检查环境约束；
  3. 排序并采用精英策略保留优秀解；
  4. 迭代直至满足停止条件（收敛或代数上限），输出一组 Pareto 最优解。

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二、通俗易懂的原理与应用流程说明

综合以上文本，整个应用流程可以分为以下几步：

1. 确定指标与目标：

   • 首先，作者根据核心利益主体（政府、居民、企业、游客）的角度，列举了自然环境（绿地、水面、公园等）、社会环境（居民满意度、从业人员配比等）和经济环境（道路容量、餐饮接待能力、公交数量等）这三大类指标。
   • 在此基础上，提出了三个关键目标：
     1. 经济收入最大化；
     2. 居民与游客的总人数、就业率最大化；
     3. 同时要满足资源与环境的可持续承载（约束）。

2. 构建数学模型：

   • 将上述目标函数用公式(9)~(12) 表示：收入与游客数的关系，就业率与居民数/游客数的关系，以及容纳能力（人口规模）的上限。
   • 再用公式(13) 对环境资源进行约束，如水资源总量、垃圾处理限度、道路通行能力等。

3. 用改进的 NSGA-II 来求解：

   1. 初始化：
      • 用实数编码的方式，将决策变量（例如国内游客数量 $a_1$、国际游客数量 $a_2$、居民相关变量）随机生成一批初始解。
      • 并按文中介绍的方式，设定自适应交叉概率、变异概率以及差分进化算子，这些都属于“改进”部分。
   2. 计算适应度：
      • 对每个个体，分别计算经济收益、就业率、可容纳人口等，并检查是否满足资源环境约束（如不满足则判为不可行）。
   3. 非支配排序 + 拥挤度：
      • 对可行解进行快速非支配排序，找出哪几层 Pareto 前沿；
      • 用拥挤度（crowding distance）公式 (14) 去衡量同一层级的个体差异，以保证多样性。
   4. 精英策略保留 + 交叉变异：
      • 保留排名高、拥挤度好的个体，并根据自适应概率进行交叉、变异，产生下一代解。
      • 同时考虑改进策略（公式(7) 与 (8)）来确保高质量基因、增加多样性。
   5. 重复迭代：
      • 不断更新种群，直到达到预设代数或收敛标准。
      • 最终输出一系列Pareto 最优解，每个解对应一组不同的“游客数量、居民就业、资源使用”搭配方案。

4. 决策者选取方案：

   • 最后，这些 Pareto 解都在“经济-社会-环境”三者之间进行平衡（可能有人群容量更大、但收入略低，也可能有收入最高、但游客增加有限）。
   • 当地政府、旅游企业等可根据偏好（比如更注重环保、或更注重经济收入）在这一条 Pareto 前沿上挑选最合适的方案。

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小结

• 核心原理：将“城市旅游可持续发展”视为一个多目标优化问题，利用改进 NSGA-II 的进化思想（交叉、变异、非支配排序、拥挤度等），反复迭代从而找到一系列均衡解。
• 优势：
  • 避免了只看单一目标（比如只追求收入最大化而忽视环境）的局限；
  • 改进策略提升算法对大规模、多约束问题的搜索能力。
• 实用性：地方政府可借助此模型，结合实际数据（如预估游客增长、环境保护标准），用进化算法自动“计算”出若干可行方案并作决策对比。

通过这种方式，改进后的 NSGA-II 就被实际应用到“城市旅游环境承载力”的多目标优化问题中，帮助平衡经济发展与资源环境保护，实现可持续旅游。

下面分成两部分进行回答。第一部分先用通俗易懂的话来解释一下图 4（“Congestion distance map”）大概在做什么，如果它是在进行数据分析，又是如何帮助我们理解解的分布状况。第二部分则根据我们从文献片段中获得的信息，尽可能完整地列出该论文中的所有主要公式，并给出对应的 LaTeX 书写形式（有些公式的具体形态可能在原文中未完全展示，这里仅整理我们已知的部分）。

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第一部分：图 4 的含义与原理（通俗易懂版）

1. 图示背景：多目标优化与 Pareto 前沿

• 在多目标优化（如 NSGA‐II）中，我们常常需要在两个或更多目标（图中以 $F_1, F_2$ 表示）之间找到尽可能“好的”解。
• 每个小圆点代表种群中的“一个解”，它有两个目标函数值 $(F_1, F_2)$。如果用三目标、四目标，其实就很难直接画在二维图里，这里用二维方便演示。

2. “Congestion distance”（拥挤度距离）的概念

• 为了在非支配排序的同一层里挑出更分散、更多样化的解，算法会计算一个“拥挤度”或“拥挤距离”。
• 简而言之：如果一个解周围“邻居”少，或者离其他解比较远，就说明它的拥挤度更大，也就更值得保留，以保持解在目标空间的多样性。

3. 图 4 的内容

• 图中标了一个解 $i$（绿色圆点），它的“左邻”是 $i - 1$，右邻是 $i + 1$，分别用黄色圆点表示。
• 通过比较这三个解在 $F_1$ 和 $F_2$ 上的数值差距，能算出解 $i$ 的拥挤度（在一些资料或代码里也会直接称作“拥挤距离”）。
• 深层含义：如果解 $i$ 与左邻、右邻在目标值上相差很大，则 $i$ 的拥挤距离越大，说明它在整个 Pareto 前沿上更有“代表性”，也不容易跟别的解撞在一起。算法在保留解时，会优先保留拥挤距离大的，保证最终保留的一组解“既优又分散”。

4. 如果这是在做数据分析，它做了什么？

• 可以把每个解想象成“数据点”，它有两个属性（目标函数值 $F_1$ 和 $F_2$）。
• 图 4 就是在二维平面上可视化了这些数据点，以便说明“拥挤度计算”如何进行：
  1. 排好顺序，如从左到右、从下到上；
  2. 找到相邻的两个解，计算当前解与相邻解之间在每个目标上的差值；
  3. 把这些差值综合起来，就得到一个拥挤度。
• 用途：帮助算法识别哪些点在当前 Pareto 前沿上更分散，从而在下一轮进化中更可能被保留下来。

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第二部分：论文中主要公式及其 LaTeX 代码

以下公式是根据文献片段中出现的编号进行整理，力求将已见到的主要数学表达式都列出来，并标示出它们在原文中的编号。由于我们并没有论文全文的全部页面，若有缺失或在某些公式里尚未给出具体参数定义，敬请谅解。

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1. 自适应交叉概率与变异概率（改进 NSGA-II 的早期公式）

(1) 自适应交叉概率（线性衰减形式）

$$P_{o}(g) = P_{o_{\max}} - \bigl(P_{o_{\max}} - P_{o_{\min}}\bigr)\times \frac{g}{\text{gen}} \tag{1}$$

latex
\begin{equation}
P_{o}(g) 
= P_{o_{\max}} - \bigl(P_{o_{\max}} - P_{o_{\min}}\bigr)\times \frac{g}{\text{gen}}
\tag{1}
\end{equation}

• 其中
  • $g$ 为当前迭代代数，$\text{gen}$ 是总迭代代数；
  • $P_{o_{\max}}$ 与 $P_{o_{\min}}$ 分别是交叉概率的最大、最小值。

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(2) 自适应交叉概率（基于群体适应度的改进）

$$P_{o} = \begin{cases} P_{o_{\min}} - \dfrac{f_{\max} - f_{\text{avg}}}{f_{\max} - f_{\min}} \times \bigl(P_{o_{\max}} - P_{o_{\min}}\bigr), & \text{if } f_{\min} \neq f_{\text{avg}}\\ P_{o_{\max}}, & \text{if } f_{\min} = f_{\text{avg}} \end{cases} \tag{2}$$

latex
\begin{equation}
P_{o} 
= 
\begin{cases}
P_{o_{\min}} 
- \dfrac{f_{\max} - f_{\text{avg}}}{\,f_{\max} - f_{\min}\,}
\,\bigl(P_{o_{\max}} - P_{o_{\min}}\bigr),
& \text{if } f_{\min} \neq f_{\text{avg}},\$$8pt]
P_{o_{\max}}, 
& \text{if } f_{\min} = f_{\text{avg}},
\end{cases}
\tag{2}
\end{equation}

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(3) 自适应变异概率（线性衰减形式）

[ P_{v}(g) = P_{v_{\max}}

• (P_{v_{\max}} - P_{v_{\min}}) \times \frac{g}{\text{gen}} \tag{3}

$$$$

latex
\begin{equation}
P_{v}(g) 
= P_{v_{\max}} 
- \bigl(P_{v_{\max}} - P_{v_{\min}}\bigr)
\times \frac{g}{\text{gen}}
\tag{3}
\end{equation}

• 类似 (1)，但针对变异概率。

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(4) 自适应变异概率（基于群体适应度的改进）

$$P_{v} = \begin{cases} P_{v_{\min}} - \dfrac{f_{\max} - f_{\text{avg}}}{f_{\max} - f_{\min}} \times \bigl(P_{v_{\max}} - P_{v_{\min}}\bigr), & \text{else}\\ P_{v_{\max}}, & f_{\min} = f_{\text{avg}} \end{cases} \tag{4}$$

latex
\begin{equation}
P_{v} 
= 
\begin{cases}
P_{v_{\min}}
- \dfrac{f_{\max} - f_{\text{avg}}}{\,f_{\max} - f_{\min}\,}
\,\bigl(P_{v_{\max}} - P_{v_{\min}}\bigr),
& \text{else},\$$8pt]
P_{v_{\max}}, 
& f_{\min} = f_{\text{avg}},
\end{cases}
\tag{4}
\end{equation}

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2. 差分进化（DE）算子与交叉算子

(5) 差分进化更新公式

[ x_i(1+g) = \bigl(x_r(g) - x_{r_2}(g)\bigr) \times F

• x_{\text{best}}(g) \tag{5}

$$$$

latex
\begin{equation}
x_i(1+g) 
= \bigl(x_r(g) - x_{r_2}(g)\bigr)\times F 
+ x_{\text{best}}(g)
\tag{5}
\end{equation}

• 其中 $F$ 为缩放因子，$x_{\text{best}}(g)$ 是当前代的最优个体。

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(6) 原交叉算子

$$\begin{cases} X_A^{t+1} = (1 - \alpha)\,X_B^t + \alpha\,X_A^t,\\ X_B^{t+1} = (1 - \alpha)\,X_A^t + \alpha\,X_B^t \end{cases} \tag{6}$$

latex
\begin{equation}
\begin{cases}
X_A^{t+1} = (1 - \alpha)\,X_B^t + \alpha\,X_A^t,\$$6pt]
X_B^{t+1} = (1 - \alpha)\,X_A^t + \alpha\,X_B^t
\end{cases}
\tag{6}
\end{equation}

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(7) 动态交叉因子 $\alpha$

[ \alpha = \frac{\text{rankA}}{\text{rankB} + \text{rankA}} \tag{7}

$$$$

latex
\begin{equation}
\alpha 
= \frac{\text{rankA}}{\text{rankB} + \text{rankA}}
\tag{7}
\end{equation}

• 其中 $\text{rankA}$, $\text{rankB}$ 为个体 A, B 的非支配排序层级。

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(8) 改进精英策略的分层保留公式

$$N_i = \frac{2(1 + M - i)\,(N - N_1)}{(M - 1)\,(2 + M)} \tag{8}$$

latex
\begin{equation}
N_i 
= \frac{2\bigl(1 + M - i\bigr)\,\bigl(N - N_1\bigr)}
       {\bigl(M - 1\bigr)\,\bigl(2 + M\bigr)}
\tag{8}
\end{equation}

• 其中 $M$ 为最大非支配层数，$N$ 为种群规模，$i$ 为层数，$N_1$ 为第一层个体数。

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3. 多目标优化部分（文中只见到部分提及）

在文献中，还提到从 (9) 到 (12) 用来表示经济收入、社会就业、容纳人数等目标函数，以及部分资源约束。我们在片段里未见到具体的 (9)～(11) 公式主体，这里仅列示已出现的片段：

• (12) 提及 $x3$ 是可容纳的主体数量，但并未给出完整公式。原文大意是“$z3$（或 $x3$）代表要容纳的主体数量”。
• (13) 则给出一个环境约束的示意：

$$\sum_{j=1}^{n} \Bigl(\frac{1}{\lambda_{ij}}\cdot x_{ij} \cdot a_{ij}\Bigr) \,\geq\, \bigl[\theta_i (1 - e_i) + e_i\bigr] \cdot D_i \cdot h_i \tag{13}$$

latex
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{n}
\Bigl(\frac{1}{\lambda_{ij}}\cdot x_{ij}\cdot a_{ij}\Bigr)
\,\geq\, 
\bigl[\theta_i \,(1 - e_i) + e_i\bigr] 
\;\cdot D_i \;\cdot h_i 
\tag{13}
\end{equation}

• 其中
  • $a_{ij}$ 表示人均资源用量；
  • $\lambda_{ij}$ 表示居民和游客的满意度；
  • $x_{ij}$ 表示第 $j$ 类游客数量；
  • $e_i$ 是实际资源利用率；
  • $\theta_i$ 是资源使用程度；
  • $D_i$ 是某种资源总量；
  • $h_i$ 是资源更新/周转率。

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4. 拥挤度 (Congestion Distance) 与个体比较

(14) 拥挤度距离公式

$$P[i]_{\text{dis tan ce}} = \sum_{n=1}^{r} \bigl( f_n[i+1]\cdot P \;-\; f_n[i-1]\cdot P \bigr) \tag{14}$$

latex
\begin{equation}
P[i]_{\text{dis tan ce}} 
= \sum_{n=1}^{r} 
\Bigl(
f_n[i+1]\cdot P - f_n[i-1]\cdot P
\Bigr)
\tag{14}
\end{equation}

• 注：文中提到 $n$ 是目标函数的数量，$r$ 是子目标个数（如果细分的话），$f_n[i+1]$ 和 $f_n[i-1]$ 分别代表解 $i$ 在目标 $n$ 上相邻个体的函数值。
• 这个公式与标准 NSGA-II 中的拥挤度计算类似，可能只是换了符号。

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(15) 个体间的偏序支配关系

$$i \succ j \quad \text{if}\quad \bigl(i_{rank} = j_{rank}\;\text{or}\; i_{rank} < j_{rank}\bigr) \;\text{and}\; P[i]_{\text{dis tan ce}} > P[j]_{\text{dis tan ce}} \tag{15}$$

latex
\begin{equation}
i \succ j 
\quad \text{if}\quad
\bigl(i_{\text{rank}} = j_{\text{rank}}\;\text{or}\; i_{\text{rank}} < j_{\text{rank}}\bigr)
\;\wedge\;
P[i]_{\text{dis tan ce}} \;>\; P[j]_{\text{dis tan ce}}
\tag{15}
\end{equation}

• 若两者处于同一非支配层，则拥挤度大的优先；若层级不同，则层级更低（即更优）者优先。

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(16) 文中只说“the expression of the affiliation function under the tourism environment constraint is shown in equation (16)”，但我们并没有见到它的具体形式，故暂无法列出。

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总结

1. 图 4 说明了如何在多目标优化中，对解在目标空间的分布进行“拥挤度”计算。可以看作是一种“数据分析”的可视化：在两个目标轴上观测解之间距离，以区分解的稀疏和密集程度。
2. 公式清单则涵盖了该论文关于改进 NSGA-II 的主要数学表达式，包括：
   • 自适应交叉/变异概率 (1)～(4)，
   • 差分进化与交叉算子 (5)～(7)，
   • 改进精英策略 (8)，
   • 环境承载力约束 (13)，
   • 拥挤度计算 (14) 和支配关系 (15)，
   • 以及部分尚未完全展示的目标函数 (9)～(12) 等。

以上即是图的直观解释和论文公式的汇总及其 LaTeX 代码。希望能帮助你从整体上理解论文中“拥挤度计算”以及“改进 NSGA-II”在可持续旅游环境承载力模型中的应用。

下面以通俗易懂的方式，结合我们已有的数据与“改进 NSGA-II”算法的思路，告诉你如何在“旅游业开发”和“环境保护”之间取得一个平衡的最优解。

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1. 首先，明确我们手里都有什么数据？

1. 当地居民人口数（Local Population）
   • 这代表社会层面的因素：人口越多，就业需求、公共资源压力都越大。
2. 每年来访游客数量（Annual Tourists）
   • 这是经济层面的因素：通常游客越多，旅游收入越高，但对环境的压力也越大。
3. 当地每年通过旅游所创造的总收入（Tourism Revenue）
   • 经济收益的直接量化指标。我们希望它越大越好，但往往和环境压力相冲突。
4. 当地每年用于保护与优化环境的支出（Environment Protection Cost）
   • 这代表对环境的投入，是环境层面正向作用的一个量化体现，但也会占用一部分收入或公共资金。
5. 当地环境的“美好程度”或“恶劣程度”（Environment Quality Index）
   • 我们用一个数值（比如 0~100 或者其他范围）来表示环境质量。数值越高，说明环境状况越好，越能持续吸引游客。但如果过度开发，环境质量会下降；同时如果我们投入过多成本在保护上，也意味着可用来发展经济的资金会受影响。

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2. 该怎么把这些数据放到算法里去？

（1）确定决策变量

• 最核心的问题是：“我们可以控制或决策些什么？”
• 例如：
  1. 年度游客配额（多少游客可进入本地区？）
  2. 环境保护预算分配（我们投入多少资金到生态修复、公共环保设施？）
  3. 旅游项目规模（增加多少新景点、酒店房间或游轮停泊次数？）

这些可控的“量”就是决策变量。模型要“寻找这些变量的组合”，使得在经济收益和环境保护等目标之间取得最佳平衡。

（2）定义目标函数（要优化的东西）

一般会有多目标，最常见的有：

1. 最大化经济收益

   • 可以设为“旅游收入减去环境保护支出”的净收益，或直接就是旅游收入。
   • 记做 $f_1$: “Economic Benefit”。

2. 最小化环境损害/最大化环境质量

   • 可以将“环境质量”当作一个要最大化的目标；或者把“环境污染/损害”当作要最小化的目标。
   • 记做 $f_2$: “Environment Quality” （取最大） 或者 “Pollution” （取最小）。

3. 社会方面的指标（可选）

   • 若需要考虑就业、居民满意度，可另设目标，比如“最大化就业率”或“最大化当地居民满意度”。
   • 记做 $f_3$: “Social Welfare”。

对一个地区来说，最典型的“双目标”或“三目标”都可以，这里为了简单，就用“经济 & 环境”两个核心目标来举例说明。

（3）设定约束条件

• 承载力约束：比如某些自然资源上限、水资源供应、垃圾处理能力等。
• 社会约束：比如本地交通容量、城市设施极限、人均可支配财政预算等。
• 环境底线：环境质量不能低于某个临界值，否则会影响长期发展。

这些约束会限制“决策变量”不能无边界扩张（比如游客不能无限制增长，否则环境就崩溃）。

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3. 用改进的 NSGA-II 来求解

（1）在算法里怎么用到这些数据？

1. 初始化种群：

   • 随机生成若干组“解”（也可以叫做“个体”）。
   • 每个解包含了上面提到的决策变量，比如：
     • 年度游客配额 = x 万人、
     • 环保预算比例 = y%、
     • 新建景点数 = z 等等。
   • 这些解都是一些“可能的方案”。

2. 计算目标函数值：

   • 对于每个解，根据我们已有的数据（当地人口、以往的游客量、环境质量指数、旅游收入、环保支出等）和设定的决策变量，去估算：
     1. 该方案下的经济收益（$f_1$)
     2. 该方案下的环境质量（$f_2$)
   • 同时检查是否满足各种约束。若不满足，判为不可行解，算法会自动舍弃或惩罚。

3. 非支配排序 & 拥挤度：

   • 改进 NSGA-II 会先把解分到不同的“非支配层”里：越靠前的层说明这个方案在“经济”和“环境”两方面都不比别人差。
   • 在同一层里，通过“拥挤度”来判断哪些解更分散、更有代表性，尽量保留那些离得比较远的点。

4. 交叉与变异：

   • 为了让方案不断进化，算法会根据“自适应交叉概率”和“自适应变异概率”等机制把两个优秀方案“杂交”出新方案，或者对某些变量随机微调，类似基因突变。
   • 这样可探索更多可能性，也能避免过早陷入局部最优。

5. 精英策略保留：

   • 一些排名高（非支配层好、拥挤度大）的方案会被保留下来进入下一代。
   • 循环迭代若干代数（直到收敛或达到预设代数）。

（2）输出结果：一系列 Pareto 最优解

• 经过数十代、数百代的进化，算法会输出一个Pareto 前沿，上面每个点都是一个“可行方案”：
  • 有的方案“经济收益”较高，但“环境质量”可能只能维持在中等水平；
  • 有的方案“环境质量”很高，但“经济收益”相对低一点；
  • 也许还能找到兼顾两者相对平衡的中间方案……

（3）从方案中做选择

• 最后，决策者（如政府部门、旅游局、环保机构）可根据自己的偏好或政治目标，从这些最优解中挑选一个或几个来实施。
• 比如如果长期看重生态保护，就选择“环境质量值更高”的解；如果短期要刺激经济，就选“经济收益更高”的解；或选择一个适中的平衡点。

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4. 通俗小结

1. 把你有的数据（人口、游客量、收入、环保支出、环境质量）先抽象为“参数”：它们描述了当前地区的“初始状况”。
2. 定义你能控制的东西（游客上限、环保投入比例等），设置好想要的优化目标（如收入最大、污染最小）。
3. 将这些目标和约束交给“改进 NSGA-II”：算法会自动迭代、进化，生成越来越优的方案，在“经济”与“环境”之间找到各种可能的“最佳平衡点”。
4. 最终产出一批备选方案：每个方案对应一套游客限制、环境投入的策略，可在最优前沿上反映不同的经济/环境权衡。
5. 你根据实际偏好来挑选实施：从而在可持续发展和经济回报之间做到更科学、更透明的折中。

一句话概括：我们先把问题“公式化”，再由改进 NSGA-II 这个“多目标进化算法”帮忙，在众多方案中找出一条“最优边界线”，让我们在“开发旅游”与“环境保护”之间拥有多种可行的平衡选择，并最终做出明智决策。

下面用一个通俗化、举例的方式，演示如何把“环境投入”“旅游改造投入”“游客上限”这三个决策变量和“居民满意度”“就业率”“旅游收入”“环境质量”这四个结果指标之间的关系，抽象成数学模型，进而使用诸如“改进 NSGA-II”这样的多目标优化算法来进行规划。

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1. 先列出决策变量与结果指标

1. 决策变量

   • $x_1$：环境保护和维护所投入的支出（单位：万元）
   • $x_2$：对旅游业进行改造升级的投入（单位：万元）
   • $x_3$：游客接待的最大数量（单位：万人 / 年）

2. 结果指标（产出/状态变量）

   • $S$：当地居民的生活满意度
   • $L$：当地居民的就业率
   • $R$：该地区每年的旅游业收入（万元）
   • $Q$：环境“美好程度”的数值（如 0~100 或者其它量表）

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2. 如何“从决策变量到结果指标”：建立假设关系

现实中，这些关系往往比较复杂，包含社会、经济、生态等方面的交互。但为了说明原理，我们可以先做一些合理的简化和假设，用简单的函数来体现变化趋势。

注意：这些函数形式不一定就是线性的，也可能是非线性的（如对数函数、指数函数、阈值效应等）。在实际研究中，需要根据调研数据或文献回归来估计系数。这里仅作示例。

（1）示例：居民满意度 $S$

• 合理直觉：

  1. 当环境投入 $x_1$ 增加，对城市环境改善有积极影响，居民满意度会上升。
  2. 当游客数 $x_3$ 太多，拥堵和噪音会降低满意度。
  3. 对旅游业的投入 $x_2$ 可能改善公共设施，也会有正面作用，但太大的旅游改造也可能带来施工期打扰，或生活成本上升，所以可能有一个“增益—饱和”或“拐点”效果。

• 一个可能的“线性”简化表达（仅作示例）：

  $$S = a_1 \cdot x_1 \;-\; b_1 \cdot x_3 \;+\; c_1 \cdot x_2 \;+\; \beta_0$$

  其中 $a_1, b_1, c_1$ 都是正/负系数，$\beta_0$ 是基准满意度。

（2）示例：居民就业率 $L$

• 合理直觉：

  1. 旅游改造投入 $x_2$ 能拉动服务业、餐饮业等，增加就业机会。
  2. 游客数量 $x_3$ 越多，也需要更多劳动力服务。
  3. 环境投入 $x_1$ 对就业的直接拉动可能不如旅游投入明显，但环保项目也能创造一部分岗位。

• 可能的简化表达：

  $$L = a_2 \cdot x_2 \;+\; b_2 \cdot x_3 \;+\; c_2 \cdot x_1$$

  通常，为了把 $L$ 控制在 0~1 或 0%~100% 区间，可能需做一些归一化或比例换算。

（3）示例：旅游业年收入 $R$

• 合理直觉：

  1. 游客数量 $x_3$ 越多，收入基本越高；
  2. 旅游改造投入 $x_2$ 可能提升景点品质、吸引高消费游客；
  3. 环境投入 $x_1$ 有时也能提升长远竞争力（环境好、口碑好），但短期内也会占用资金——故有些研究会在公式里体现“先投入、后回报”的延迟。这里简单从正面处理：好环境会吸引更多游客或提高客单价。

• 可能的简化表达：

  $$R = a_3 \cdot x_3 \;+\; b_3 \cdot x_2 \;+\; c_3 \cdot x_1 \;-\; \text{some cost term}$$

  或者把“环境投入”部分当作支出，从收入里扣除。如果要更精细，还能分“总收入”与“净收益”。

（4）示例：环境质量 $Q$

• 合理直觉：

  1. 环境投入 $x_1$ 能明显改善生态，故 $Q$ 与 $x_1$ 成正相关。
  2. 游客数 $x_3$ 过多会加重环境负担，产生负面效应。
  3. 旅游改造投入 $x_2$ 如果是绿色改造（建设环保型酒店、低碳交通等），对 $Q$ 可能有正面贡献，否则大规模开发也有负面冲击。可以先简化成微弱的正相关或中性影响。

• 可能的简化表达：

  $$Q = a_4 \cdot x_1 \;-\; b_4 \cdot x_3 \;+\; c_4 \cdot x_2 \;+\; \beta_4$$

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3. 构建多目标 + 约束

（1）要优化哪些目标？

1. 目标 1：最大化居民满意度 $S$
2. 目标 2：最大化就业率 $L$
3. 目标 3：最大化年度旅游收入 $R$
4. 目标 4：最大化环境质量 $Q$

在实际场景中，你也可以只选其中 2~3 个主要目标，比如“收入最大”“环境最好”“居民满意度最高”等，作为多目标进行折中。

（2）必要的约束

1. 预算约束 $$x_1 + x_2 \;\leq\; B$$ 表示“环境投入 + 旅游改造”不可超过总预算 $B$（万元）。
2. 游客承载力约束 $$x_3 \;\leq\; M_{\max}$$ 表示一年能接待的游客上限不能超过某个生态/设施承载力 $M_{\max}$。
3. 环境质量底线（可选） $$Q \;\geq\; Q_{\min}$$ 表示“环境质量”不能低于某条红线。
4. 决策变量非负 $$x_1, x_2, x_3 \;\geq\; 0$$

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4. 将模型交给改进 NSGA-II 进行求解

1. 初始化种群

   • 生成一批随机解，每个解是 $(x_1, x_2, x_3)$。
   • 例如：$(10, 20, 30)$ 表示“10 万元用于环境、20 万元用于旅游改造、接待 30 万游客/年”。

2. 计算目标函数

   • 对每个解，根据前面定义的函数（如 $S, L, R, Q$）计算出对应的数值，并检查是否满足预算、承载力、环境红线等约束。

3. 非支配排序 + 拥挤度评估

   • 在“满意度—就业率—收入—环境质量”多个目标之间进行比较，把更优（或者说“非支配”）的解分到前面层次；
   • 用拥挤度（crowding distance）让解在高维目标空间保持分散。

4. 交叉变异

   • 改进的 NSGA-II 会用自适应概率对这批解进行交叉、变异。例如把 $(x_1, x_2, x_3)$ 跟另一个优质解混合，或者微调其数值，生成新方案。

5. 代际进化

   • 重复上述过程若干代，算法会逐渐逼近最优的多目标前沿，直到达到收敛或迭代上限。

6. 输出 Pareto 最优解

   • 最终得到一组“在多个目标上都表现不错”的解，你会看到：
     • 有的解 $x_3$ 较大（游客量大），收入高但环境质量稍低；
     • 有的解比较均衡；
     • 有的解重视环境投入（$x_1$ 很高），环境质量与满意度都好，但收入略低。

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5. 举个更具体的小示例

假设我们写下下面这些非常简化的假函数（只为举例）：

$$\begin{aligned} S &= 0.1\,x_1 + 0.02\,x_2 - 0.05\,x_3 + 60, \\ L &= 0.01\,x_2 + 0.02\,x_3 + 50, \\ R &= 0.8\,x_2 + 1.5\,x_3 - 0.1\,x_1, \\ Q &= 1.2\,x_1 - 0.3\,x_3 + 0.05\,x_2 + 70, \end{aligned}$$

并设置约束：

$$x_1 + x_2 \leq 200, \quad x_3 \leq 100, \quad x_1, x_2, x_3 \geq 0.$$

• 这里 $x_1, x_2, x_3$ 都是决策变量。
• 四个目标要“同时最大化”($S, L, R, Q$)。

让改进 NSGA-II 来搜索后，你也许会得到几种代表性解：

1. 方案 A：$x_1=50,\, x_2=150,\, x_3=80$
   • 收入$R$非常高，就业$L$也不错，但因为游客量较大，环境$Q$偏中等，满意度$S$也只能一般。
2. 方案 B：$x_1=120,\, x_2=80,\, x_3=60$
   • 相对平衡，环境质量不错，收入也还行，居民满意度和就业率都维持较好水平。
3. 方案 C：$x_1=180,\, x_2=20,\, x_3=40$
   • 强调环境，游客数不太多，收入一般，但环境和居民满意度很高。

具体选择哪个方案，就要看你的偏好和实际规划目标。

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6. 小结

1. 先用简化或回归模型，把“决策变量”如何影响到“结果指标”的数学关系大致表达出来。
2. 确立多目标（最大化收入、最大化满意度、最大化环境质量、最大化就业率等），以及约束条件（预算、承载力等）。
3. 借助改进 NSGA-II 这样的多目标进化算法，自动搜索一批“非支配解”，输出“在多目标上都相对优秀”的可选方案。
4. 最终，从Pareto前沿上挑选最适合自己需求的方案——比如你要“以环境为先”，或是“经济优先”，或是“兼顾平衡”等，都能找到对应的最优组合。

这样，就完成了对“用于维护环境支出”“用于旅游改造支出”“控制游客数量”等决策变量的规划过程，并在“居民满意度”“就业率”“旅游收入”“环境质量”之间取得可视化与量化的平衡。