logoChat01.ai

Чебурашка и цифры

생성일: 2025년 1월 18일

답변에 사용된 모델 O1 by Chat01

질문

Дано два натуральных числа a и b, такие что a2 + 2ab - 3b2 - 101 = 0. Чему равна сумма a2 + b2?

사고

Revisiting the equation

OK, let me see. We have a quadratic equation in two variables, a and b, and need integer solutions where both are positive. I’m starting by identifying pairs of a and b that satisfy it.

Breaking down the equation

I’m working through rewriting the equation by factoring it into (a - b)(a + 3b) = 101. Since 101 is prime, I’ll explore its possible integer solutions.

Examining valid pairings

I’m digging into the factor pairs of 101. The (1, 101) pair works for positive integers, while the (101, 1) pair doesn’t fit the criteria.

Assessing further

Interestingly enough, neither negative factor pairs nor positive pairs like (101, 1) work for positive integers. Only pairs like (1, 101) seem to fit the criteria.

Thought about решение квадратного уравнения для 14 секунд

답변

Для решения уравнения a2+2ab−3b2=101a^2 + 2ab - 3b^2 = 101 заметим, что левая часть факторизуется так:

a2+2ab−3b2  =  (a+b)2−4b2  =  (a+b−2b)(a+b+2b)  =  (a−b)(a+3b).a^2 + 2ab - 3b^2 \;=\; (a+b)^2 - 4b^2 \;=\; (a+b - 2b)(a+b + 2b) \;=\; (a - b)(a + 3b).

Следовательно, у нас получается уравнение

(a−b) (a+3b)  =  101.(a - b)\,(a + 3b) \;=\; 101.

Поскольку 101101 — простое число, единственные положительные целые разбиения 101=1×101101 = 1 \times 101. Тогда система

{a−b=1,a+3b=101\begin{cases} a - b = 1,\\ a + 3b = 101 \end{cases}

даёт решение. Из первого уравнения a=b+1a = b + 1. Подставляем в второе:

(b+1)+3b=101      ⇒      4b+1=101      ⇒      4b=100      ⇒      b=25,(b+1) + 3b = 101 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; 4b + 1 = 101 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; 4b = 100 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; b = 25, a=b+1=25+1=26.a = b + 1 = 25 + 1 = 26.

Тогда искомая сумма:

a2+b2=262+252=676+625=1301.a^2 + b^2 = 26^2 + 25^2 = 676 + 625 = 1301.

Ответ: 13011301.

이 Q&A 공유하기