Решение дифференциального уравнения

Breaking down the equation

I’m working through the differential equation $y' = \frac{x + 2y + 1}{2x + 4y}$, simplifying the right side to $\frac{1 + \frac{2y + 1}{x}}{2 \left(1 + \frac{x}{4y}\right)}$.

Breaking it down

I’m splitting the fraction $\frac{dy}{dx}$ into simpler parts: $\frac{1}{2}$ and $\frac{1}{2(x + 2y)}$, confirming that $\frac{x + 2y + 1}{x + 2y}$ simplifies correctly.

Revisiting the equation

I’m trying another way by setting $v = x + 2y$. Then, $dv/dx = 1 + 2(dy/dx)$, aiming to simplify the differential equation through substitution.

Reassessing the approach

Revisiting the derivative calculation, I’m adjusting my strategy to ensure the differential equation is accurately restructured by correctly combining terms. This method is gradually becoming more accurate.

Separating variables

OK, let's see. I’m breaking down the equation by isolating variables and using substitution to simplify integration, aiming to find the solution more effectively.

Breaking down the integral

I’ve split the integrand using polynomial long division, making the integral easier. This approach simplifies $\int \frac{v \, dv}{2v + 1}$ into a more manageable form.

Determining the integral

I’ve pieced together the integral $\int \frac{v \, dv}{2v + 1}$ to find $\frac12 v - \frac14 \ln|2v+1| + C$, expressible in terms of $x$ and $y$.

Rewriting and clarifying

I’m focusing on isolating $y$ and logarithmic terms, rewriting constants for clarity. This approach simplifies the equation into a more standardized form, progressing towards the solution.

Finalizing the solution

I’ve confirmed that the general solution for the differential equation is $\boxed{4y - 2x - \ln|2x + 4y + 1| = C}$, remaining implicitly expressed due to the complexity of isolating $y$ explicitly.

Thought about homogeneous differential equation для 28 секунд

Ниже приведено разбор решения дифференциального уравнения

$$y' \;=\; \frac{x + 2y + 1}{2x + 4y}.$$

---

Шаг 1. Упростим правую часть

Обратим внимание, что в знаменателе стоит $2x + 4y$, то есть $2(x + 2y)$. Тогда:

$$y' \;=\; \frac{x + 2y + 1}{2(x + 2y)} \;=\; \tfrac12 \,\frac{x + 2y + 1}{x + 2y}.$$

Далее заметим, что

$$\frac{x + 2y + 1}{x + 2y} \;=\; 1 \;+\; \frac{1}{\,x + 2y\,}.$$

Отсюда

$$y' \;=\; \tfrac12 \Bigl(1 + \frac{1}{x + 2y}\Bigr) \;=\; \tfrac12 + \frac{1}{2(x + 2y)}.$$

---

Шаг 2. Ввод новой переменной

Для удобства можно ввести новую функцию

$$v(x) \;=\; x \;+\; 2y.$$

Тогда нам понадобится найти $\frac{dv}{dx}$.

$$v \;=\; x + 2y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dx} \;=\; 1 \;+\; 2\,\frac{dy}{dx}.$$

Но $\tfrac{dy}{dx} = y'$, и по условию

$$y' \;=\; \frac{v + 1}{2\,v}.$$

Значит,

$$2\,y' \;=\; \frac{v + 1}{v}.$$

Тогда

$$\frac{dv}{dx} \;=\; 1 \;+\; 2\,y' \;=\; 1 \;+\; \frac{v + 1}{v} \;=\; 1 \;+\; \frac{v}{v} + \frac{1}{v} \;=\; \frac{2v + 1}{\,v\,}.$$

Итак, у нас получилось дифференциальное уравнение для $v$:

$$\frac{dv}{dx} \;=\; 2 + \frac{1}{v} \;=\; \frac{2v + 1}{v}.$$

---

Шаг 3. Разделение переменных и интегрирование

Перепишем в виде, пригодном для интегрирования:

$$\frac{dv}{dx} \;=\; \frac{2v + 1}{\,v\,} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v\,dv}{2v + 1} \;=\; dx.$$

Интегрируем обе части:

$$\int \frac{v\,dv}{2v + 1} \;=\; \int dx.$$

Упрощение подынтегрального выражения

Рассмотрим

$$\frac{v}{2v + 1}.$$

Можно сделать «неполное деление» (или заметить стандартный трюк):

$$\frac{v}{2v + 1} \;=\; \frac12 \cdot \frac{2v}{2v + 1} \;=\; \frac12 \left( \frac{2v + 1 - 1}{\,2v + 1\,} \right) \;=\; \frac12 \Bigl( 1 \;-\; \frac{1}{\,2v + 1\,} \Bigr).$$

Тогда

$$\int \frac{v\,dv}{2v + 1} \;=\; \int \left( \frac12 - \frac{1}{2(2v + 1)} \right) dv \;=\; \int \frac12\,dv \;-\; \int \frac{1}{2}\,\frac{dv}{2v + 1}.$$

• Первая часть даёт $\tfrac12\,v$.
• Вторая часть: $$\int \frac{dv}{2v + 1} \;=\; \frac12\,\ln|\,2v + 1\,|.$$ Следовательно, умножая на $\tfrac{1}{2}$, получаем $\tfrac{1}{4}\ln|\,2v + 1\,|$.

Итоговый результат:

$$\int \frac{v\,dv}{2v + 1} \;=\; \tfrac12\,v \;-\; \tfrac14\,\ln\!\bigl|\,2v + 1\,\bigr| \;+\; C.$$

Значит,

$$\tfrac12\,v \;-\; \tfrac14\,\ln\!\bigl|\,2v + 1\,\bigr| \;=\; x \;+\; C.$$

---

Шаг 4. Возвращаемся к исходным переменным

Напомним, что $v = x + 2y$. Подставим обратно:

$$\tfrac12\,(x + 2y) \;-\; \tfrac14 \ln\!\bigl|\,2(x + 2y) + 1\,\bigr| \;=\; x + C.$$

Упростим:

$$\tfrac12\,x + y \;-\; \tfrac14 \ln\!\bigl|\,2x + 4y + 1\,\bigr| \;=\; x + C.$$

Сгруппируем:

$$y \;-\; \tfrac12\,x \;-\; \tfrac14 \ln\!\bigl|\,2x + 4y + 1\,\bigr| \;=\; C.$$

Это уже общее решение в неявном виде. Иногда его записывают, умножая всё уравнение на 4 (чтобы убрать дробные коэффициенты), и переобозначая константу:

$$4y - 2x \;-\; \ln\!\bigl|\,2x + 4y + 1\,\bigr| \;=\; C_1.$$

Где $C_1 = 4\,C$.

Обычно дальше решение так и оставляют в неявном виде, поскольку явно выразить $y$ через $x$ не удаётся элементарными функциями без логарифма.

---

Итог

Общее решение дифференциального уравнения

$$y' \;=\; \frac{x + 2y + 1}{2x + 4y}$$

можно записать в виде:

$$y \;-\; \frac12\,x \;-\; \frac14 \,\ln\!\bigl|\,2x + 4y + 1\,\bigr| \;=\; C,$$

или эквивалентно

$$4y - 2x \;-\; \ln\!\bigl|\,2x + 4y + 1\,\bigr| \;=\; C_1.$$

Это и есть общее решение (в неявном виде).