格子點計算

Mapping the area

I’m analyzing the region enclosed by y = log2(x), the x-axis, and x = 61/2. This area spans from 1 to 61/2 on the x-axis, with y ranging from 0 to log2(x).

Adjusting my thinking

Note that for x in (0,1), log2(x) is negative, so the region above the x-axis and below log2(x) only starts from x = 1 onwards.

Breaking down the grid

I’m focusing on the interior grid points by noting 1 < a < 61/2 and 0 < b < log2(a). This results in a range of valid x coordinates from 2 to 30.

Shifting my approach

Focusing on integer y values where 1 <= b <= floor(log2(a))-1 ensures y is strictly less than log2(a), providing valid y coordinates for each integer x within the specified range.

Considering integer constraints

OK, let's think this through: I'm counting integers b such that b < log2(a). If log2(a) equals an integer, b ranges from 1 to that integer - 1; otherwise, b ranges just up to floor(log2(a)).

Mapping valid b values

I’m gathering info on valid b values for each a by checking if log2(a) is an integer. If it isn't, b ranges from 1 to floor(log2(a)).

Investigating integer b values

I'm digging into how valid b values for each a are determined by floor(log2(a)), checking if a is a power of 2, and counting solutions accordingly.

Identifying power of 2 intervals

Now I’m pinpointing integral intervals for a, specifically acceptable values like 2, 4, 8, and 16, to ensure b < log2(a). Each interval yields a specific number of valid solutions for b.

Mapping out valid solutions

I’m counting valid solutions for each a: for 3 to 16, I’m tallying integer b values that satisfy b < log2(a), which totals 29 solutions across all intervals.

Discovering solutions

I’m adding the valid integer b values for each non-power of 2 a, noting that as a approaches 30, the number of solutions increases, starting from 3 solutions for a=16.

Figuring out solutions

OK, let me see. For each a between 17 and 30, excluding powers of 2, I’m figuring out 4 valid integer b solutions. This approach gives a total of 56 solutions.

Analyzing partial sums

I’m piecing together the partial sums for each integer a, including 3 to 16 and 17 to 30, to reach a total of 34 valid integer solutions for b.

Thought about grid points in region for 27 seconds

題意是要找出「在下列三道邊界之間且不含邊界的有界區域中，有多少整數格點」：

1. $y = \log_2 x$
2. $y = 0$（$x$ 軸）
3. 直線 $x = \tfrac{61}{2}$

由於 $\log_2 x$ 在 $0<x<1$ 時為負值，和 $y=0$ 之間不會形成「上方有空間」的區域，因此真正形成有界區域的 $x$-範圍是從 $x=1$ 開始，一直到 $x=\tfrac{61}{2}$（約 30.5）。

我們要找的是「嚴格位於區域內」的整數點 $(a,b)$，也就是：

• $1 < a < 30.5$，因此 $a$ 為 2,3,4, \dots, 30 這些整數。
• $0 < b < \log_2(a)$，因此對固定的整數 $a$，整數 $b$ 要滿足 $1 \le b < \log_2(a)$。

逐一計算方法

令 $\lfloor \log_2(a)\rfloor = k$。

• 如果 $a$ 正好是 2 的冪，即 $a=2^k$，則 $\log_2(a)=k$ 為整數，故

  $$b < k \quad\Longrightarrow\quad b = 1,2,\dots,(k-1)$$

  共有 $k-1$ 個可行的 $b$。

• 如果 $a$ 不是 2 的冪，則 $\lfloor \log_2(a)\rfloor = k$ 表示

  $$k \;\le\; \log_2(a) \;<\; k+1,$$

  又因為 $b$ 要嚴格小於 $\log_2(a)$，可行的最大整數 $b$ 為 $k$，
  因此

  $$b = 1,2,\dots,k$$

  共有 $k$ 個可行的 $b$。

實際帶入 $a = 2,3,\dots,30$

• 2 的冪：2, 4, 8, 16（在 30 以內的次方）。
• 其餘的 $a$ 都不是 2 的冪。

以下列出各 $a$ 值所對應之可行 $b$ 數量，然後加總：

1. $a=2$（$2^1$)：$\log_2(2) = 1$
   可行 $b < 1$ 但又必須是正整數，無解 → 0 個
2. $a=3$（非 2 的冪，$\lfloor \log_2(3)\rfloor=1$)
   可行 $b=1$ → 1 個
3. $a=4$（$2^2$)：$\log_2(4) = 2$
   $b < 2$，可行 $b=1$ → 1 個
4. $a=5,6,7$（$\lfloor \log_2(a)\rfloor=2$)
   各有 $b=1,2$ → 各 2 個
5. $a=8$（$2^3$)：$\log_2(8) = 3$
   $b < 3$，可行 $b=1,2$ → 2 個
6. $a=9,\dots,15$（$\lfloor \log_2(a)\rfloor=3$)
   各有 $b=1,2,3$ → 各 3 個
7. $a=16$（$2^4$)：$\log_2(16) = 4$
   $b < 4$，可行 $b=1,2,3$ → 3 個
8. $a=17,\dots,30$（$\lfloor \log_2(a)\rfloor=4$，且都不是 2 的冪）
   各有 $b=1,2,3,4$ → 各 4 個

將它們分批加總：

• $a=2$ → 0
• $a=3$ → 1
• $a=4$ → 1
• $a=5,6,7$ → 各 2 個，共 $3\times 2=6$
• $a=8$ → 2
• $a=9,\dots,15$ → 各 3 個，共 $7\times 3=21$
• $a=16$ → 3
• $a=17,\dots,30$ → 各 4 個，共 $14\times 4=56$

依序累加：

最終結果為 90。對照選項即為第 (3) 項。

Calculating distances

I’m working out distances from point A to three planes, each being 6. Using the plane equation, I identify normal vectors for each.

Equating distances

OK, let me see. By setting the given distance to 6, I’m piecing together equations like |4b + 3c - 2| = 30 and others for planes F2 and F3.

Understanding absolute values

I’m mapping out that |a + 2b + 2c + 2| = 18 and considering the signs of terms like 4b + 3c - 2.

Evaluating negative possibilities

Taking a closer look at the negative side, I align equations: 4b + 3c = -28 and 3b + 4c = -35, ensuring they fit the 6-distance requirement.

Solving the system

I’m solving 4b + 3c = -28 and 3b + 4c = -35 to find b and c. This solution beautifully aligns with the distance requirement of 6.

Thought about geometry and distance calculation for 15 seconds

解析：

題目給定空間中一點 $A(a,b,c)$（其中 $a, b, c < 0$），且已知它到以下三個平面的距離皆為 6：

1. $F_1: 4y + 3z = 2$.
2. $F_2: 3y + 4z = -5$.
3. $F_3: x + 2y + 2z = -2$.

我們想求 $a + b + c$。

1. 距離公式

一點 $\bigl(x_0,y_0,z_0\bigr)$ 到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距離為

以下將三平面轉寫成「$=\!0$」形式，並帶入 $(a,b,c)$ 的距離條件各為 6。

2. 平面 $F_1 : 4y + 3z = 2$

改寫為

其法向量為 $\langle 0,4,3\rangle$，長度 $\sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = 5$。

到此平面的距離為 6，故

由於 $b, c < 0$，大概率使得 $4b + 3c -2$ 為負，因此令

3. 平面 $F_2 : 3y + 4z = -5$

改寫為

其法向量為 $\langle 0,3,4\rangle$，長度 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。

到此平面的距離為 6，故

同樣因 $b,c < 0$，很可能

4. 解聯立方程 (1) 與 (2)

以消去法求解：

• 先把 (1) 乘 3 得 $12b + 9c = -84$.
• 再把 (2) 乘 4 得 $12b + 16c = -140$.
• 兩式相減得 $7c = -56 \implies c = -8$.
• 將 $c=-8$ 代回 (1) 或 (2) 皆可，取 (1)：
  $4b + 3(-8) = -28 \implies 4b - 24 = -28 \implies 4b = -4 \implies b = -1$.

因此

5. 平面 $F_3 : x + 2y + 2z = -2$

改寫為

其法向量為 $\langle 1,2,2\rangle$，長度 $\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$。

到此平面的距離為 6，故

將 $b=-1$ 與 $c=-8$ 代入得到

因此 $a - 16 = \pm 18$. 因為題意指出 $a < 0$，故取

6. 代入並求 $a + b + c$

得到

三者皆確實小於 0。

最後

答案： $\boxed{-11}$。