Равносторонний треугольник 1004

Разбор задачи

Пусть сторона исходного равностороннего треугольника равна $a$. Он разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых $1003$ имеют сторону $1$, а один имеет сторону, скажем, $x$. Все треугольники непременно укладываются без наложений внутрь большого треугольника.

1. Площадь большого треугольника.
   Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна

   $$S_{\text{большой}} \;=\; \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.$$

2. Суммарная площадь малых треугольников.
   Из 1004 треугольников:

   • $1003$ треугольника со стороной 1, каждый имеет площадь $\tfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \tfrac{\sqrt{3}}{4}$. Суммарная площадь этих $1003$ треугольников: $$1003 \;\times\; \frac{\sqrt{3}}{4}.$$
   • $1$ треугольник со стороной $x$, площадь которого $$\frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2.$$

   Итого суммарная площадь всех малых треугольников:

   $$S_{\text{малые}} \;=\; 1003 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \;+\; \frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2 \;=\; \frac{\sqrt{3}}{4}\,\bigl(1003 + x^2\bigr).$$

3. Условие равенства площадей.
   Разбиение целиком заполняет большой треугольник, значит

   $$S_{\text{большой}} \;=\; S_{\text{малые}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 \;=\; \frac{\sqrt{3}}{4}\,\bigl(1003 + x^2\bigr).$$

   Откуда получаем

   $$a^2 \;=\; 1003 + x^2 \;\;\Longrightarrow\;\; a^2 \;-\; x^2 \;=\; 1003.$$

   Перепишем как

   $$(a - x)\,(a + x) \;=\; 1003.$$

4. Факторизация числа $1003$.
   Заметим, что $1003 = 17 \times 59$. Положительные разложения $1003$ на два множителя таковы:

   $$1003 = 1 \times 1003 \quad\text{или}\quad 1003 = 17 \times 59.$$

   Пусть

   $$a - x = d_1, \quad a + x = d_2, \quad d_1 < d_2,\; d_1 \cdot d_2 = 1003.$$

   Тогда

   $$\begin{cases} 2a = d_1 + d_2,\\ 2x = d_2 - d_1. \end{cases}$$
   • Случай 1. $d_1 = 1,\; d_2 = 1003.$ $$2a = 1 + 1003 = 1004 \;\;\Longrightarrow\;\; a = 502, \quad 2x = 1003 - 1 = 1002 \;\;\Longrightarrow\;\; x = 501.$$
   • Случай 2. $d_1 = 17,\; d_2 = 59.$ $$2a = 17 + 59 = 76 \;\;\Longrightarrow\;\; a = 38, \quad 2x = 59 - 17 = 42 \;\;\Longrightarrow\;\; x = 21.$$

То есть с точки зрения площади (а значит и потенциальной возможности разбиения) подходят ровно два набора $(a,x)$:

Остаётся проверить, что такое разбиение действительно существует в каждом случае (подтверждение обычно даётся в решении задач такого типа с помощью схемы «крупный треугольник со стороной $x$ + «ободок» шириной $a - x$, разбиваемый на равно¬сторонние единичные треугольники»).

В результате получаем два допустимых значения стороны исходного треугольника:

По условию, если значений несколько, нужно указать их сумму. Следовательно,

Разберём задачу по шагам.

1. Исходные данные

1. Всего участников акции — 288 000 человек.

2. Каждый девятый (то есть $\tfrac{1}{9}$ от общего числа) сразу вводит промокод правильно. Значит:

   $$\text{Сразу верно} = \frac{288000}{9} = 32000.$$

3. Остальные $288000 - 32000 = 256000$ человек вводят промокод неправильно с первой попытки.

4. Из этих 256 000 ошибшихся:

   • 10 % (то есть 25 600) сразу обращаются в техподдержку;
   • остальные 90 % (то есть 230 400) пробуют ввести промокод ещё раз.

5. Во второй раз (по условию) те, кто пробует снова, случайно выбирают, где ставить букву «О» или цифру «0», а также «З» или «3».

   • Из текста задачи (и из реального промокода вида «G O G O G O 3 0») видно, что в коде пять «неоднозначных» символов:
     • три буквы O (каждая может быть перепутана с 0),
     • одна цифра 3 (может быть перепутана с буквой З),
     • одна цифра 0 (может быть перепутана с буквой O).
   • Всего получается $5$ позиций, в каждой из которых есть 2 варианта ввода (правильный или неправильный).
   • Вероятность угадать все 5 позиций верно (если человек тыкает наугад) равна $$\left(\tfrac{1}{2}\right)^5 \;=\;\tfrac{1}{32}.$$

6. Значит, из 230 400 человек, которые делают вторую попытку, верно введут промокод:

   $$230400 \;\times\;\frac{1}{32} \;=\; 7200.$$

   Остальные $230400 - 7200 = 223200$ снова ошибутся.

7. Из тех, кто во второй раз тоже ошибся (223 200 человек):

   • 68 % обращаются в техподдержку, то есть $0{,}68 \times 223200 = 151776$ человек;
   • остальные $223200 - 151776 = 71424$ вовсе отказываются от покупки.

2. Кто в итоге ввёл промокод правильно без обращения в техподдержку?

1. Те, кто сразу ввёл верно: 32 000 человек (им техподдержка не нужна).

2. Те, кто с первой попытки ошибся, но не пошёл в техподдержку и зато угадал со второй: 7 200 человек.

   Обратите внимание, что эти 7 200 — как раз из тех 230 400, кто пошёл на вторую попытку (а не обратился в поддержку после первой неудачи).

Таким образом, без техподдержки и правильно промокод ввели:

3. Искомый процент

Из общего числа 288 000 это составляет

Задача просит дать ответ «с точностью до трёх знаков после запятой», значит итоговый результат: