logoChat01.ai

Нахождение стороны треугольника

생성일: 2025년 1월 10일

답변에 사용된 모델 OpenAI 01 by OpenAI01

질문

треугольник DEF, где Сторона DE = √6 ∠E = 45° ∠F = 120° Требуется найти длину стороны DF.

사고

Determining angles

I’m thinking through angle D in triangle DEF, knowing angles E and F. Angle D is 15°.

Mapping out the triangles

I’m considering triangle DEF's side lengths and angles, focusing on side DF.

Gathering details

I’m working with the law of sines to find DF, knowing DE and angles F and E. This helps me understanding the triangle's sides and angles more clearly.

Calculating DF

I’m evaluating DF using DE, sin(45°), and sin(120°). After simplifying, DF comes out to a neat expression involving square roots.

Breaking down the expression

I’m simplifying the fraction (√2/2) / (√3/2), then multiplying by √6 to express DF as √4, which further simplifies to 2.

Revisiting the process

I’m rechecking the steps to ensure accurate multiplication and simplification of terms, leading to a clear expression for DF. Each calculation confirms the results are spot on.

Thought about треугольник DEF für 12 Sekunden

답변

Чтобы найти длину стороны DFDF, удобнее всего воспользоваться законом синусов:

DEsin⁡∠F  =  DFsin⁡∠E  =  EFsin⁡∠D.\frac{DE}{\sin \angle F} \;=\; \frac{DF}{\sin \angle E} \;=\; \frac{EF}{\sin \angle D}.

Нам известно:

  • DE=6DE = \sqrt{6}
  • ∠E=45∘\angle E = 45^\circ
  • ∠F=120∘\angle F = 120^\circ

Сначала найдём третью вершину треугольника ∠D\angle D:

∠D=180∘−(∠E+∠F)=180∘−(45∘+120∘)=15∘.\angle D = 180^\circ - (\angle E + \angle F) = 180^\circ - (45^\circ + 120^\circ) = 15^\circ.

Но для нахождения DFDF достаточно воспользоваться частью закона синусов с известными сторонами и углами:

DEsin⁡(∠F)=DFsin⁡(∠E)⟹DF=DE⋅sin⁡(∠E)sin⁡(∠F).\frac{DE}{\sin(\angle F)} = \frac{DF}{\sin(\angle E)} \quad\Longrightarrow\quad DF = DE \cdot \frac{\sin(\angle E)}{\sin(\angle F)}.

Подставляем значения:

DF=6  ⋅  sin⁡(45∘)sin⁡(120∘)=6  ⋅  2232=6  ⋅  2/23/2.DF = \sqrt{6} \;\cdot\; \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(120^\circ)} = \sqrt{6} \;\cdot\; \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{6} \;\cdot\; \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2}.

Заметим, что деление на 32\frac{\sqrt{3}}{2} эквивалентно умножению на 23\frac{2}{\sqrt{3}}, поэтому:

DF=6  ×  22  ×  23=(6×22)  ×  23.DF = \sqrt{6} \;\times\; \frac{\sqrt{2}}{2} \;\times\; \frac{2}{\sqrt{3}} = \Bigl(\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) \;\times\; \frac{2}{\sqrt{3}}.

Рассмотрим отдельно множитель 6×22\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2}:

6×22=6⋅22=122=232=3.\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.

Таким образом,

DF=3×23=2.DF = \sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2.

Ответ: DF=2DF = 2.

이 Q&A 공유하기