Радиус окружности в треугольнике

Analyzing the quadrilateral

I’m thinking through quadrilateral $PQRS$ with intersecting diagonals at $O$. Given conditions are: $PR \perp QS$, $PS \parallel QR$, $QR = 91$, $OS = 12$, and the inradius of $\triangle ORS$ is 5. The task is to find the inradius of $\triangle OPS$.

Piecing together

I’m working through the given elements: $PR \perp QS$, $PS \parallel QR$, $QR = 91$, $OS = 12$, and the inradius of $\triangle ORS$ is 5. The goal is to find the inradius of $\triangle OPS$.

Considering geometric implications

I’m gathering info on the shape possibilities of quadrilateral $PQRS$. With $PS \parallel QR$, it might be a trapezoid or isosceles trapezoid, leading to interesting geometric insights.

Applying geometric principles

I’m using the formula for the incircle radius of a triangle to relate areas and perimeters of $\triangle ORS$ and $\triangle OPS$, considering their geometric properties and reciprocal relations.

Placing the quadrilateral

Hmm, I’m thinking about mapping quadrilateral $PQRS$ on a coordinate plane, setting $O$ at the origin, $R$ on the x-axis, $P$ on the negative x-axis, $Q$ on the positive y-axis, and $S$ on the negative y-axis.

Setting coordinates

Starting with $O$ at $(0,0)$ and $R$ on the positive x-axis as $(r, 0)$. Considering $Q$ at $(0, q)$ and $S$ at $(0, -12)$ to satisfy $OS = 12$.

Analyzing coordinates

I’m positioning $R$ on the x-axis and $P$ on the same line. Using $QR$ length, I’m ensuring $PS$ is parallel to $QR$.

Ensuring parallelism

I’m working through the parallelism of $PS$ and $QR$ by setting the ratio of their vectors equal. This leads to equations $\frac{x_R}{-x_P} = \frac{q}{12}$ to verify.

Confirming parallelism

I’m verifying $PS$ is parallel to $QR$ by ensuring the vector ratio $\frac{x_R}{x_P} = -\frac{q}{12}$ is accurate, consistent with the known lengths.

Calculating triangle dimensions

OK, let's determine the inradius of $\triangle ORS$ with vertices $(0,0)$, $(x_R,0)$, and $(0,-12)$. The sides are $OR = x_R$, $OS = 12$, and $RS = \sqrt{x_R^2 + 144}$.

Calculating inradius

Taking a closer look at $\triangle ORS$, which has an area of $6x_R$, a perimeter of $x_R + 12 + \sqrt{x_R^2 + 144}$, and a semiperimeter to find the inradius.

Solving for $x_R$

Using the inradius formula for $\triangle ORS$, I substituted the known values and tackled the equation to find $x_R$, positioning $R$ at $(35,0)$.

Finding $q$

I’m solving for $q$ by noting the length $QR = 91$ and applying the distance formula to determine $q = \sqrt{7056}$, confirming values for $R$ and $S$.

Determining vector ratios

I’m working through parallel vectors to find $P$'s coordinates by ensuring the ratio $\frac{35}{-x_P} = \frac{-84}{-12}$, aiming to locate $P$ and ultimately the inradius of $\triangle OPS$.

Pinpointing P's coordinates

I set up the ratio $\frac{35}{-x_P} = \frac{-84}{-12}$, which led to $k = 7$. Calculating $x_P$ as $-5$, I confirmed $P(-5,0)$.

Thought about радиус окружности в треугольниках por 1m 30s

Разбор задачи

Дан четырёхугольник $PQRS$ с пересекающимися в точке $O$ диагоналями $PR$ и $QS$, причём:

1. $PR \perp QS$.
2. $PS \parallel QR$.
3. $QR = 91$.
4. $OS = 12$.
5. Радиус вписанной окружности в $\triangle ORS$ равен $5$.

Требуется найти радиус вписанной окружности в $\triangle OPS$.

Шаг 1. Удобная система координат

Чтобы упростить вычисления, разместим точки в декартовой системе координат так, чтобы:

• Точка $O$ была в начале координат $(0,0)$.
• Диагональ $QS$ шла вдоль вертикальной оси $Oy$, то есть $Q$ имеет координаты $(0,q)$, а $S$ имеет координаты $(0,s)$.
• Диагональ $PR$ шла вдоль горизонтальной оси $Ox$, то есть $P$ имеет координаты $(x_P,0)$, а $R$ — $(x_R,0)$.
• Из условия $OS=12$ положим $S = (0,-12)$ (чтобы длина $OS$ действительно была 12).

Таким образом, схема такая:

Ниже найдём неизвестные $x_R$, $x_P$ и $q$.

Шаг 2. Определение $R$ из условия про $\triangle ORS$

В треугольнике $ORS$ вершины:

• $O = (0,0)$,
• $R = (x_R,0)$,
• $S = (0,-12)$.

1. Стороны:

   • $OR = x_R$ (расстояние от $(0,0)$ до $(x_R,0)$),
   • $OS = 12$ (по условию),
   • $RS = \sqrt{(x_R-0)^2 + (0 - (-12))^2} = \sqrt{x_R^2 + 144}.$

2. Радиус вписанной окружности $r_{ORS}$ в прямоугольном треугольнике (угол при $O$ очевидно прямой) известен по формуле

   $$r = \frac{a + b - c}{2},$$

   где $a,b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

   Здесь $a = OR = x_R$, $b = OS = 12$, $c = RS = \sqrt{x_R^2 + 144}$.

   По условию $r_{ORS} = 5$. Тогда

   $$5 \;=\; \frac{x_R + 12 \;-\; \sqrt{x_R^2 + 144}}{2}.$$

   Умножим на 2:

   $$10 \;=\; x_R + 12 \;-\; \sqrt{x_R^2 + 144},$$ $$\sqrt{x_R^2 + 144} \;=\; x_R + 2.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x_R^2 + 144 \;=\; (x_R + 2)^2 = x_R^2 + 4x_R + 4.$$ $$144 \;=\; 4x_R + 4 \quad\Longrightarrow\quad 4x_R = 140 \quad\Longrightarrow\quad x_R = 35.$$

Итого $R = (35,0)$.

Шаг 3. Определение $Q$ из условия $QR=91$

Длина $QR$ между $Q=(0,q)$ и $R=(35,0)$ равна 91:

Значит, $Q = (0,\,84)$.

Шаг 4. Определение $P$ из условия $PS \parallel QR$

• Вектор $QR = R - Q = (35 - 0,\; 0 - 84) = (35,\,-84).$
• Вектор $PS = S - P = \bigl(0 - x_P,\;-12 - 0\bigr) = (-x_P,\;-12).$

Чтобы $PS$ был параллелен $QR$, векторы должны быть пропорциональны:

Сравним вторые координаты:

Сравним первые координаты:

Значит, $P = (-5,\,0)$.

Шаг 5. Треугольник $OPS$

Итак, мы имеем:

• $OP = 5$ (расстояние по оси $Ox$ между точками $(0,0)$ и $(-5,0)$).
• $OS = 12$ (уже знаем).
• $PS = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (0 - (-12))^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.$

Таким образом, $\triangle OPS$ — прямоугольный треугольник со сторонами $5,\,12,\,13$.

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник со сторонами $a, b, c$ равен

Здесь $a=5$, $b=12$, $c=13$. Тогда

Ответ