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豪斯多夫距离度量证明

생성일: 2024년 12월 18일

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질문

同一样本空间中的集合X与Z之间的距离可以通过豪斯多夫距离计算，试证明豪斯多夫距离满足距离度量的四条基本性质

사고

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답변

豪斯多夫距离（Hausdorff距离）是衡量两个集合在度量空间中相似程度的一种方法。为了证明豪斯多夫距离满足距离度量的四条基本性质，我们首先给出豪斯多夫距离的定义，然后逐一验证这四条性质。

豪斯多夫距离的定义

设 (M,d)(M, d) 是一个度量空间，XX 和 ZZ 是 MM 中的两个非空子集。豪斯多夫距离 h(X,Z)h(X, Z) 定义为：

h(X,Z)=max⁡{sup⁡x∈Xinf⁡z∈Zd(x,z), sup⁡z∈Zinf⁡x∈Xd(z,x)}h(X, Z) = \max\left\{ \sup_{x \in X} \inf_{z \in Z} d(x, z), \ \sup_{z \in Z} \inf_{x \in X} d(z, x) \right\}

这里：

  • sup⁡\sup 表示上确界（最小上界）。
  • inf⁡\inf 表示下确界（最大下界）。

简而言之，豪斯多夫距离衡量的是两个集合中最远的点对之间的距离。

豪斯多夫距离满足的四条基本性质

我们需要证明豪斯多夫距离 h(X,Z)h(X, Z) 满足度量空间的四条基本性质：

  1. 非负性（Non-negativity）：

    h(X,Z)≥0h(X, Z) \geq 0

    证明： 对于任意 x∈Xx \in X 和 z∈Zz \in Z，有 d(x,z)≥0d(x, z) \geq 0（因为 dd 是度量）。因此，inf⁡z∈Zd(x,z)≥0\inf_{z \in Z} d(x, z) \geq 0，进而 sup⁡x∈Xinf⁡z∈Zd(x,z)≥0\sup_{x \in X} \inf_{z \in Z} d(x, z) \geq 0。同理，sup⁡z∈Zinf⁡x∈Xd(z,x)≥0\sup_{z \in Z} \inf_{x \in X} d(z, x) \geq 0。所以：

    h(X,Z)=max⁡{sup⁡x∈Xinf⁡z∈Zd(x,z), sup⁡z∈Zinf⁡x∈Xd(z,x)}≥0h(X, Z) = \max\left\{ \sup_{x \in X} \inf_{z \in Z} d(x, z), \ \sup_{z \in Z} \inf_{x \in X} d(z, x) \right\} \geq 0

  2. 自反性（Identity of Indiscernibles）：

    h(X,Z)=0当且仅当X=Zh(X, Z) = 0 \quad \text{当且仅当} \quad X = Z

    证明：

    • 若 X=ZX = Z，则对于任意 x∈Xx \in X，inf⁡z∈Zd(x,z)=d(x,x)=0\inf_{z \in Z} d(x, z) = d(x, x) = 0，所以 sup⁡x∈Xinf⁡z∈Zd(x,z)=0\sup_{x \in X} \inf_{z \in Z} d(x, z) = 0。同理，sup⁡z∈Zinf⁡x∈Xd(z,x)=0\sup_{z \in Z} \inf_{x \in X} d(z, x) = 0。因此，h(X,Z)=max⁡{0,0}=0h(X, Z) = \max\{0, 0\} = 0。

    • 反之，若 h(X,Z)=0h(X, Z) = 0，则 sup⁡x∈Xinf⁡z∈Zd(x,z)=0\sup_{x \in X} \inf_{z \in Z} d(x, z) = 0 且 sup⁡z∈Zinf⁡x∈Xd(z,x)=0\sup_{z \in Z} \inf_{x \in X} d(z, x) = 0。这意味着对于任意 x∈Xx \in X，存在 z∈Zz \in Z 使得 d(x,z)=0d(x, z) = 0，即 x=zx = z，故 X⊆ZX \subseteq Z。同理，Z⊆XZ \subseteq X，因此 X=ZX = Z。

  3. 对称性（Symmetry）：

    h(X,Z)=h(Z,X)h(X, Z) = h(Z, X)

    证明： 从豪斯多夫距离的定义可以看出，h(X,Z)h(X, Z) 包含了两个部分：sup⁡x∈Xinf⁡z∈Zd(x,z)\sup_{x \in X} \inf_{z \in Z} d(x, z) 和 sup⁡z∈Zinf⁡x∈Xd(z,x)\sup_{z \in Z} \inf_{x \in X} d(z, x)。交换 XX 和 ZZ 后，这两部分互换。因此：

    h(Z,X)=max⁡{sup⁡z∈Zinf⁡x∈Xd(z,x), sup⁡x∈Xinf⁡z∈Zd(x,z)}=h(X,Z)h(Z, X) = \max\left\{ \sup_{z \in Z} \inf_{x \in X} d(z, x), \ \sup_{x \in X} \inf_{z \in Z} d(x, z) \right\} = h(X, Z)

  4. 三角不等式（Triangle Inequality）：

    h(X,Y)≤h(X,Z)+h(Z,Y)h(X, Y) \leq h(X, Z) + h(Z, Y)

    证明： 设 h(X,Z)=max⁡{A,B}h(X, Z) = \max\{A, B\}，其中 A=sup⁡x∈Xinf⁡z∈Zd(x,z)A = \sup_{x \in X} \inf_{z \in Z} d(x, z)，B=sup⁡z∈Zinf⁡x∈Xd(z,x)B = \sup_{z \in Z} \inf_{x \in X} d(z, x)；同理，h(Z,Y)=max⁡{C,D}h(Z, Y) = \max\{C, D\}，其中 C=sup⁡z∈Zinf⁡y∈Yd(z,y)C = \sup_{z \in Z} \inf_{y \in Y} d(z, y)，D=sup⁡y∈Yinf⁡z∈Zd(y,z)D = \sup_{y \in Y} \inf_{z \in Z} d(y, z)。

    要证明 h(X,Y)≤h(X,Z)+h(Z,Y)h(X, Y) \leq h(X, Z) + h(Z, Y)，我们需要证明：

    sup⁡x∈Xinf⁡y∈Yd(x,y)≤h(X,Z)+h(Z,Y)\sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x, y) \leq h(X, Z) + h(Z, Y)

    和

    sup⁡y∈Yinf⁡x∈Xd(y,x)≤h(X,Z)+h(Z,Y)\sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(y, x) \leq h(X, Z) + h(Z, Y)

    以第一个不等式为例，对于任意 x∈Xx \in X，存在 z∈Zz \in Z 使得 d(x,z)≤A+ϵd(x, z) \leq A + \epsilon（对任意 ϵ>0\epsilon > 0），且存在 y∈Yy \in Y 使得 d(z,y)≤C+ϵd(z, y) \leq C + \epsilon。根据度量的三角不等式：

    d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)≤(A+ϵ)+(C+ϵ)=A+C+2ϵd(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) \leq (A + \epsilon) + (C + \epsilon) = A + C + 2\epsilon

    由于 ϵ\epsilon 可以任意小，因此：

    inf⁡y∈Yd(x,y)≤A+C\inf_{y \in Y} d(x, y) \leq A + C

    取上确界：

    sup⁡x∈Xinf⁡y∈Yd(x,y)≤A+C≤max⁡{A,B}+max⁡{C,D}=h(X,Z)+h(Z,Y)\sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x, y) \leq A + C \leq \max\{A, B\} + \max\{C, D\} = h(X, Z) + h(Z, Y)

    同理，可以证明：

    sup⁡y∈Yinf⁡x∈Xd(y,x)≤h(X,Z)+h(Z,Y)\sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(y, x) \leq h(X, Z) + h(Z, Y)

    因此：

    h(X,Y)=max⁡{sup⁡x∈Xinf⁡y∈Yd(x,y), sup⁡y∈Yinf⁡x∈Xd(y,x)}≤h(X,Z)+h(Z,Y)h(X, Y) = \max\left\{ \sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x, y), \ \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(y, x) \right\} \leq h(X, Z) + h(Z, Y)

综上所述，豪斯多夫距离满足距离度量的四条基本性质，即非负性、自反性、对称性和三角不等式。因此，豪斯多夫距离是一个有效的度量。

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