Relativitätstheorie und Lichtgeschwindigkeit

Hallo! In Ihrer Frage geht es darum, ob ein Objekt schneller als die Lichtgeschwindigkeit werden kann, wenn es sich innerhalb eines nahezu lichtschnellen Objekts bewegt. Konkret bewegt sich Objekt A mit nahezu Lichtgeschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit minus 50 km/h), und innerhalb von A bewegt sich ein Körper B mit 100 km/h in dieselbe Richtung. Sie fragen, ob sich die Geschwindigkeiten einfach addieren und B somit schneller als Lichtgeschwindigkeit wird.

In der klassischen Physik würden sich die Geschwindigkeiten tatsächlich einfach addieren:

$v_{\text{gesamt}} = v_{\text{A}} + v_{\text{B}}$

Das würde bedeuten:

$v_{\text{gesamt}} = (c - 50\,\text{km/h}) + 100\,\text{km/h} = c + 50\,\text{km/h}$

Dies würde eine Geschwindigkeit über Lichtgeschwindigkeit ergeben, was nach den Gesetzen der Physik unmöglich ist.

In der speziellen Relativitätstheorie addieren sich Geschwindigkeiten jedoch nicht linear. Stattdessen wird die relativistische Geschwindigkeitsaddition verwendet:

Berechnung:

1. Umrechnung der Geschwindigkeiten in km/s:

   • $c = 299.792,458\,\text{km/s}$
   • $50\,\text{km/h} = \frac{50}{3600}\,\text{km/s} \approx 0,01389\,\text{km/s}$
   • $100\,\text{km/h} = \frac{100}{3600}\,\text{km/s} \approx 0,02778\,\text{km/s}$

2. Einsetzen in die Formel:

   • $v_{\text{A}} = c - 0,01389\,\text{km/s}$
   • $v_{\text{B}} = 0,02778\,\text{km/s}$

3. Berechnung des Zählers:

   $$v_{\text{A}} + v_{\text{B}} = (c - 0,01389) + 0,02778 = c + 0,01389\,\text{km/s}$$

4. Berechnung des Nenners:

   $$1 + \frac{v_{\text{A}} \cdot v_{\text{B}}}{c^2} \approx 1 + \frac{(c \cdot 0,02778\,\text{km/s})}{c^2} = 1 + \frac{0,02778}{c}$$

   Da $\frac{0,02778}{c}$ sehr klein ist (ungefähr $9{,}263 \times 10^{-8}$), ist der Nenner knapp über 1.

5. Endgültige Berechnung von $v_{\text{gesamt}}$:

   $$v_{\text{gesamt}} = \frac{c + 0,01389\,\text{km/s}}{1 + \frac{0,02778}{c}} \approx c - 0,014\,\text{km/s}$$

Ergebnis:

Der Körper B bewegt sich aus der Sicht eines externen Beobachters mit einer Geschwindigkeit knapp unterhalb der Lichtgeschwindigkeit, nicht darüber. Die spezielle Relativitätstheorie verhindert, dass sich Objekte schneller als Licht bewegen, indem sie sicherstellt, dass Geschwindigkeiten sich so kombinieren, dass die resultierende Geschwindigkeit niemals $c$ überschreitet.

Fazit:

Nein, die Geschwindigkeiten addieren sich nicht einfach, und es ist nicht möglich, dass der Körper B aus externer Sicht schneller als die Lichtgeschwindigkeit ist. Die spezielle Relativitätstheorie gewährleistet, dass die Lichtgeschwindigkeit die maximale Geschwindigkeit im Universum bleibt.

Die Schwelle, ab der die spezielle Relativitätstheorie anstelle der klassischen (Newton'schen) Physik angewendet werden muss, hängt von der Geschwindigkeit der betrachteten Objekte im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit ab.

Klassische Physik (Newton'sche Mechanik):

• Anwendung: Geeignet für Objekte, die sich mit Geschwindigkeiten bewegen, die sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind.
• Begründung: Bei niedrigen Geschwindigkeiten sind die relativistischen Effekte so gering, dass sie für praktische Zwecke vernachlässigt werden können.
• Typischer Bereich: Geschwindigkeiten bis zu etwa 10% der Lichtgeschwindigkeit ($v \leq 0{,}1c$).

Spezielle Relativitätstheorie:

• Anwendung: Erforderlich, wenn Objekte sich mit Geschwindigkeiten bewegen, die einen signifikanten Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit ausmachen.
• Begründung: Bei hohen Geschwindigkeiten werden die relativistischen Effekte deutlich und beeinflussen Messungen und Berechnungen erheblich.
• Typischer Bereich: Geschwindigkeiten ab etwa 10% der Lichtgeschwindigkeit ($v > 0{,}1c$).

Übergang und Schwelle:

• Es gibt keine scharfe Grenze, sondern einen graduellen Übergang. Die Entscheidung, welche Theorie anzuwenden ist, hängt von der erforderlichen Genauigkeit ab.
• Relativistische Effekte wachsen mit dem Quadrat der Geschwindigkeit relativ zur Lichtgeschwindigkeit. Daher werden sie bei höheren Geschwindigkeiten immer wichtiger.
• In Bereichen wie der Teilchenphysik oder Astrophysik müssen relativistische Effekte bereits bei niedrigeren Geschwindigkeiten berücksichtigt werden, da dort hohe Präzision erforderlich ist.

Praktisches Beispiel:

• Alltagsgeschwindigkeiten: Ein Auto, das mit 100 km/h fährt, bewegt sich mit etwa $2{,}78 \times 10^{-8}c$. Hier sind relativistische Effekte völlig vernachlässigbar.
• Satellitennavigation (GPS): Satelliten bewegen sich mit etwa $14.000$ km/h ($\approx 0{,}000013c$). Trotz der geringen Geschwindigkeit im Vergleich zu $c$ müssen hier sowohl spezielle als auch allgemeine relativistische Effekte berücksichtigt werden, um eine hohe Positionsgenauigkeit zu gewährleisten.

Zusammenfassung:

• Klassische Mechanik ist ausreichend für langsame Bewegungen und geringe Genauigkeitsanforderungen.
• Spezielle Relativitätstheorie sollte angewendet werden, wenn hohe Geschwindigkeiten oder Präzision eine Rolle spielen.
• Entscheidungsfaktor: Verhältnis der Bewegungs- oder Messgeschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit und die erforderliche Genauigkeit der Ergebnisse.

Es ist wichtig, die spezifischen Anforderungen der Situation zu betrachten, um zu entscheiden, wann die spezielle Relativitätstheorie anstelle der klassischen Physik angewendet werden sollte.