На числовой прямой даны два отрезка: P = [3;38] ...

質問

На числовой прямой даны два отрезка: P = [3;38] и Q = [21;57] .

Определите максимальную длину отрезка A , что логическое выражение

((x ∈ P ) → ¬ (x ∈ Q )) → ¬ (x ∈ A )
тождественно истинно (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x )?

思考

Analyzing the interval

I’m translating the implication carefully: the outer statement fails only where both $P$ and $Q$ hold, namely $21 \le x \le 38$ . Thus $A$ must avoid all other nonnegative integers; under integer-endpoint conventions, the maximum interval is $[21,38]$ , length $17$ .

Analyzed the interval

Worked for 7s

回答

Разберём выражение:

((x\in P)\to \neg(x\in Q))\to \neg(x\in A)

Импликация $C\to D$ ложна только когда $C=1$ , а $D=0$ .

Сначала рассмотрим внутреннюю импликацию:

(x\in P)\to\neg(x\in Q).

Она ложна, когда одновременно

x\in P \quad\text{и}\quad x\in Q.

То есть на пересечении отрезков:

P\cap Q=[3;38]\cap[21;57]=[21;38].

Чтобы всё исходное выражение было истинно, точки отрезка $A$ должны находиться именно там, где внутренняя импликация ложна. Поэтому максимально:

A=[21;38].

Длина отрезка:

38-21=\boxed{17}.

Ответ: 17.

質問

思考

回答

このQ&Aを共有