已知${a>1}$且${\frac{1}{\log _{8} a}-\frac{1}{\log _{...

作成日: 2026年9月8日

質問

已知 ${a>1}$ 且 ${\frac{1}{\log _{8} a}-\frac{1}{\log _{a} 4}=-\frac{5}{2}}$ ，则 ${a=}$

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由换底公式：

\frac1{\log_8 a}=\log_a 8,\qquad \frac1{\log_a4}=\log_4a

设

x=\log_2 a

因为 $a>1$ ，所以 $x>0$ 。

则

\log_a8=\frac{3}{x},\qquad \log_4a=\frac{x}{2}

代入原式：

\frac3x-\frac x2=-\frac52

两边乘 $2x$ ：

6-x^2=-5x

x^2-5x-6=0

(x-6)(x+1)=0

由于 $x>0$ ，故 $x=6$ 。

所以

a=2^6=\boxed{64}