این سوال امتحانی مکانیک مواد (مقاومت مصالح ) را دق...

صورت مسئله یک میله دایره‌ای از برنج زرد تحت کشش محوری است. شکل خاصی لازم ندارد؛ فقط کافی است میله را به‌صورت یک عضو مستقیم تحت نیروی کششی $P=4\,\text{kN}$ در نظر بگیریم.

داده‌ها:

$$P=4\,\text{kN}=4000\,\text{N}$$ $$E=105\,\text{GPa}=105000\,\text{MPa}=105000\,\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}$$ $$\sigma_{\text{allow}}=180\,\text{MPa}=180\,\frac{\text{N}}{\text{mm}^2}$$ $$\delta_{\max}=3\,\text{mm}$$

---

بخش الف: کوچک‌ترین قطر مجاز میله

تنش محوری میله برابر است با:

$$\sigma=\frac{P}{A}$$

برای اینکه میله ایمن باشد:

$$\sigma \leq \sigma_{\text{allow}}$$

پس:

$$\frac{P}{A} \leq \sigma_{\text{allow}}$$

بنابراین حداقل سطح مقطع لازم:

$$A_{\min}=\frac{P}{\sigma_{\text{allow}}}$$

جایگذاری می‌کنیم:

$$A_{\min}=\frac{4000}{180}$$ $$A_{\min}=22.22\,\text{mm}^2$$

چون میله دایره‌ای است:

$$A=\frac{\pi d^2}{4}$$

پس:

$$d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}$$ $$d_{\min}=\sqrt{\frac{4(22.22)}{\pi}}$$ $$d_{\min}=5.32\,\text{mm}$$

بنابراین:

$$\boxed{d_{\min}=5.32\,\text{mm}}$$

در عمل اگر بخواهیم قطر استاندارد انتخاب کنیم، باید قطر کمی بزرگ‌تر از این مقدار انتخاب شود.

---

بخش ب: حداکثر طول مربوط به این قطر

تغییر طول میله تحت کشش محوری از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$\delta=\frac{PL}{AE}$$

شرط مسئله این است که:

$$\delta \leq 3\,\text{mm}$$

برای حداکثر طول، مقدار تغییر طول را برابر حد مجاز می‌گیریم:

$$\delta_{\max}=\frac{PL_{\max}}{AE}$$

پس:

$$L_{\max}=\frac{\delta_{\max}AE}{P}$$

در اینجا از همان سطح مقطع حداقل بخش الف استفاده می‌کنیم:

$$A=22.22\,\text{mm}^2$$

پس:

$$L_{\max}=\frac{(3)(22.22)(105000)}{4000}$$ $$L_{\max}=1750\,\text{mm}$$

یا:

$$L_{\max}=1.75\,\text{m}$$

بنابراین:

$$\boxed{L_{\max}=1750\,\text{mm}=1.75\,\text{m}}$$

---

جواب نهایی

$$\boxed{d_{\min}=5.32\,\text{mm}}$$ $$\boxed{L_{\max}=1.75\,\text{m}}$$

این یعنی اگر میله قطر حداقل $5.32\,\text{mm}$ داشته باشد، طول آن نباید از $1.75\,\text{m}$ بیشتر شود تا هم شرط تنش مجاز و هم شرط تغییر طول مجاز برقرار بماند.