logoChat01.ai

Реши 3 задачу по геометрии без координат!

作成日: 2026年4月15日

使用モデル GPT-5.4 Thinking by Chat01

質問

IMG_20260415_165219_571.jpg

Реши 3 задачу по геометрии без координат!

Python

python
import sympy as sp
# choose sample b=7,c=5 angle A=60
b=7 # AC
c=5 # AB
a=(b*b+c*c-b*c)**0.5
a


6.244997998398398

Python

python
sqrt3=sp.sqrt(3)
A=sp.Point(0,0)
B=sp.Point(c,0)
C=sp.Point(b/2,b*sqrt3/2)
a=sp.sqrt(b**2+c**2-b*c)
# param point on BC at distance t from B
def point_on_BC_from_B(t):
    return sp.Point(B.x + (C.x-B.x)*t/a, B.y + (C.y-B.y)*t/a)
X=point_on_BC_from_B(c/2)
Y=point_on_BC_from_B(a-b/2)
sp.simplify(X.x), sp.simplify(X.y), sp.simplify(Y.x), sp.simplify(Y.y)


(5 - 5*sqrt(39)/52,
 35*sqrt(13)/52,
 7*sqrt(39)/52 + 7/2,
 -49*sqrt(13)/52 + 7*sqrt(3)/2)

Python

python
[X.evalf() for X in (X,Y,C)]


[Point2D(4.39951942323092, 2.42681335848538),
 Point2D(4.34067280747671, 2.66463912461154),
 Point2D(3.50000000000000, 6.06217782649107)]

Python

python
# compute incenter and excenters
triangle = sp.geometry.Triangle(A,B,C)
I = triangle.incenter
r = triangle.incircle.radius
I, sp.N(I), sp.N(r)


(Point2D(6 - sqrt(39)/2, -sqrt(13)/2 + 2*sqrt(3)),
 Point2D(2.87750100080080, 1.66132597740576),
 1.66132597740576)

Python

python
exc = triangle.excircles
[(e.center.evalf(), e.radius.evalf()) for e in exc]

Python

python
import sympy as sp
b=sp.Integer(7); c=sp.Integer(5); a=sp.sqrt(39)
A=sp.Point(0,0)
B=sp.Point(c,0)
C=sp.Point(b/2,b*sp.sqrt(3)/2)
def bary_point(weights, points=[A,B,C]):
    sx=sum(w*p.x for w,p in zip(weights,points))
    sy=sum(w*p.y for w,p in zip(weights,points))
    s=sum(weights)
    return sp.Point(sp.simplify(sx/s), sp.simplify(sy/s))
Ia=bary_point([-a,b,c])
Ib=bary_point([a,-b,c])
Ic=bary_point([a,b,-c])
Ia.evalf(), Ib.evalf(), Ic.evalf()


(Point2D(9.12249899919920, 5.26687725286975),
 Point2D(-4.12249899919920, 7.14037772076486),
 Point2D(2.12249899919920, -3.67627610562711))

Python

python
s=(a+b+c)/2
area = b*c*sp.sqrt(3)/4
r = sp.simplify(area/s)
ra = sp.simplify(area/(s-a))
rb = sp.simplify(area/(s-b))
rc = sp.simplify(area/(s-c))
sp.N(r), sp.N(ra), sp.N(rb), sp.N(rc)


(1.66132597740576, 5.26687725286975, 7.14037772076486, 3.67627610562711)

Python

python
import sympy as sp, math
# numeric values
b=7.0; c=5.0; a=math.sqrt(b*b+c*c-b*c)
A=(0.0,0.0); B=(c,0.0); C=(b/2,b*math.sqrt(3)/2)
def pt_from_B(t):
    return (B[0]+(C[0]-B[0])*t/a, B[1]+(C[1]-B[1])*t/a)
X=pt_from_B(c/2)
Y=pt_from_B(a-b/2)
X,Y


((4.399519423230923, 2.426813358485377),
 (4.340672807476707, 2.664639124611542))

Python

python
import numpy as np, math
X=np.array(X); Y=np.array(Y)
mid=(X+Y)/2
v=Y-X
d=np.array([-v[1], v[0]]) # direction perp
d=d/np.linalg.norm(d)
I=np.array([2.87750100080080, 1.66132597740576]); r=1.66132597740576
Ia=np.array([9.12249899919920,5.26687725286975]); ra=5.26687725286975
Ib=np.array([-4.12249899919920,7.14037772076486]); rb=7.14037772076486
Ic=np.array([2.12249899919920,-3.67627610562711]); rc=3.67627610562711
def check(E,er):
    arr=[]
    for t in np.linspace(-50,50,20001):
        O=mid+t*d
        R=np.linalg.norm(O-X)
        vals=[]
        for s1 in [1,-1]:
            for s2 in [1,-1]:
                vals.append((abs

Python

python
t=sp.symbols('t', real=True)
mid_sp = sp.Point(*map(sp.nsimplify,mid))
d_sp = sp.Point(*map(sp.nsimplify,d))
O = sp.Point(mid[0] + t*d[0], mid[1] + t*d[1])
R = sp.sqrt((O.x-X[0])**2 + (O.y-X[1])**2)
eqI = sp.expand((sp.sqrt((O.x-I[0])**2 + (O.y-I[1])**2)-R)**2 - r**2)
eqA = sp.expand((sp.sqrt((O.x-Ia[0])**2 + (O.y-Ia[1])**2)-R)**2 - ra**2)
# nsolve combinations on polynomial-like but with sqrts
for guess in [-20,-10,-5,-2,-1,0,1,2,5,10,20]:
    try:
        root=sp.nsolve([eqI,eqA],[t],[guess], tol=1e-14, maxsteps=100)
        print("guess",guess,root)
    except Exception as e:
        pass

Python

python
def solve_t(E,er):
    eqE = sp.expand((sp.sqrt((O.x-E[0])**2 + (O.y-E[1])**2)-R)**2 - er**2)
    roots=set()
    for guess in [-10,-5,-2,-1,-.5,0,.5,1,2,5,10]:
        try:
            root=float(sp.nsolve([eqI,eqE],[t],[guess], tol=1e-16, maxsteps=100)[0])
            if abs(root)<1e6:
                roots.add(round(root,12))
        except Exception as e:
            pass
    return roots
for E,er,name in [(Ia,ra,'a'),(Ib,rb,'b'),(Ic,rc,'c')]:
    print(name, solve_t(E,er))

Python

python
tval=-0.0707248301631137
O_num=mid+tval*d
R_num=np.linalg.norm(O_num-X)
O_num,R_num


(array([4.4387505, 2.5627138]), np.float64(0.14144966032623316))

Python

python
np.linalg.norm(X-Y)


np.float64(0.24499799839839853)

Python

python
def distpt(P,Q): return float(np.linalg.norm(np.array(P)-np.array(Q)))
for P,name in [(I,'I'),(Ia,'Ia')]:
    print(name, distpt(O_num,P), "difference", distpt(O_num,P)-R_num)
# collinearity
def area2(P,Q,R):
    P=np.array(P);Q=np.array(Q);R=np.array(R)
    return np.cross(Q-P,R-P)
print("collinearity I O Ia", area2(I,O_num,Ia))

Python

python
# distance to A
distpt(X,A), distpt(Y,A)


(5.024459596047045, 5.093303651460247)

Python

python
def power(P,Center,r):
    P=np.array(P);Center=np.array(Center)
    return np.dot(P-Center,P-Center)-r*r
for P,name in [(X,'X'),(Y,'Y')]:
    print(name, power(P,I,r), power(P,Ia,ra))

Python

python
distpt(I,Ia), r+ra, ra-r


(7.211102550927981, 6.9282032302755105, 3.60555127546399)

Python

python
a=float(sp.sqrt(39)); b=7;c=5
BH=a*c/(b+c); BD=(a-b+c)/2; BE=(a+b-c)/2
BH,BD,BE,(BD+BE)/2


(2.6020824993326657, 2.122498999199199, 4.122498999199199, 3.122498999199199)

Python

python
# compute AH
AH = b*c*math.sqrt(3)/(b+c) # angle bisector length formula? Actually maybe yes from area; let's check.
AH


5.0518148554092255

Python

python
a=math.sqrt(39); b=7;c=5
BH=a*c/(b+c)
HX=BH-c/2
HY=(a-b/2)-BH
HI = math.sqrt((BH-BD)*(BE-BH)) if True else None
# actually power at H to incircle gives HI^2-r^2 = HD^2.
BD=(a-b+c)/2
HI=math.sqrt((BH-BD)**2 + ( (b+c-a)/(2*math.sqrt(3)) )**2 )
HX,HY,HI


(0.10208249933266567, 0.14291549906573264, 1.7291629005977054)

Python

python
# compute O on AI with OI=a/(2sqrt3)
OI=a/(2*math.sqrt(3))
# need direction along AI from I to A? Distance AI maybe? formula angle bisector length:
AI=math.sqrt(b*c*(1-a*a/(b+c)**2))
AI


5.0518148554092255

Python

python
# compute H coordinates
from sympy.geometry import Line
H = Line(A, I).intersection(Line(B,C))[0]
H.evalf()


Point2D(4.37500000000000, 2.52590742770461)

Python

python
import numpy as np, math
def angle(u,v):
    return math.degrees(math.acos(np.dot(u,v)/(np.linalg.norm(u)*np.linalg.norm(v))))
print(angle(X-O_num, I-O_num), angle(Y-O_num, I-O_num), angle(X-O_num, Ia-O_num))

Python

python
import sympy as sp
a=sp.sqrt(39); b=sp.Integer(7); c=sp.Integer(5)
expr = c/2 + a - b/2 - 2*a*c/(b+c)
sp.simplify(expr)


-1 + sqrt(39)/6

Python

python
distpt(O_num,B), c/2, distpt(O_num,C), b/2


(2.623452496692555, 5/2, 3.6231893410089406, 7/2)

Python

python
# compute some angles
A_np=np.array(A, dtype=float); B_np=np.array(B, dtype=float); C_np=np.array(C, dtype=float)
def ang(P,Q,R):
    P=np.array(P);Q=np.array(Q);R=np.array(R)
    return angle(P-Q,R-Q)
print("AOX",ang(A,O_num,X), "BOX", ang(B,O_num,X), "COY", ang(C,O_num,Y))

Python

python
import math, numpy as np
I=np.array([2.87750100080080,1.66132597740576])
np.linalg.norm(I)


np.float64(3.3226519548115188)

Python

python
a,b,c=sp.symbols('a b c', positive=True)
mx=sp.symbols('mx')
expr = (b**2*(c/2) + c**2*(a-c/2))/a - (c/2)*(a-c/2)
sp.expand(expr)


-a*c/2 + 5*c**2/4 + b**2*c/(2*a) - c**3/(2*a)

Python

python
expr2 = sp.expand(expr.subs(b**2,a**2-c**2+b*c))
sp.factor(expr2)


c**2*(5*a + 2*b - 4*c)/(4*a)

Python

python
print(ang(X,O_num,Y))

Python

python
# equilateral apexes on XY
Xv=np.array(X);Yv=np.array(Y)
m=(Xv+Yv)/2
vec=Yv-Xv
# rotate vec/2 by +/- 90*? apex = m +/- sqrt(3)/2 * perp? Actually equilateral on segment XY
perp=np.array([-(vec[1]), vec[0]])
perp=perp/np.linalg.norm(perp)
Z1=m + math.sqrt(3)/2*np.linalg.norm(vec)*perp
Z2=m - math.sqrt(3)/2*np.linalg.norm(vec)*perp
Z1,Z2, I, O_num


(array([4.16413296, 2.49476358]),
 array([4.57605927, 2.59668891]),
 array([2.877501  , 1.66132598]),
 array([4.4387505, 2.5627138]))

Python

python
print(ang(X,A,Y))

Python

python
for P,name in [(I,'I'),(Ia,'Ia'),(A,'A')]:
    print(name, ang(X,P,Y))

Python

python
import numpy as np, math
def rot(P,deg):
    th=math.radians(deg)
    R=np.array([[math.cos(th), -math.sin(th)], [math.sin(th), math.cos(th)]])
    return R.dot(np.array(P))
for deg in [60,-60]:
    print("rot X",deg, rot(X,deg))
    print("rot Y",deg, rot(Y,deg))

Python

python
a=float(sp.sqrt(39)); b=7;c=5
XD=(b-a)/2
YD=(a-c)/2
XE=(2*c-a-b)/2
YE=(a-2*b+c)/2
XD*YD, XE*YE


(0.2349939951951946, 2.2349939951951945)

Python

python
# angle between OX and BC direction
BC_dir=C_np-B_np
print(angle(O_num-X, BC_dir), angle(O_num-Y, -BC_dir))

Python

python
# test cyclic ABOX
def circle_from3(P,Q,R):
    return sp.Circle(sp.Point(*P), sp.Point(*Q), sp.Point(*R))
circ = circle_from3(A,B,O_num)
float(circ.distance(sp.Point(*X)))

Python

python
# use determinant maybe
import numpy as np, math
A_np=np.array(A,float); B_np=np.array(B,float)
def is_cyclic(P,Q,R,S):
    # compute oriented angles
    return ang(P,Q,R)+ang(P,S,R)
print(ang(A,B,O_num)+ang(A,X,O_num), ang(A,O_num,B)+ang(A,X,B))

Python

python
print("∠BAO",ang(B,A,O_num),"∠BXO",ang(B,X,O_num))
print("∠BOA",ang(B,O_num,A),"∠BXA",ang(B,X,A))

Python

python
print("∠OAB",ang(O_num,A,B),"∠OXB",ang(O_num,X,B))
print("∠OAC",ang(O_num,A,C),"∠OYC",ang(O_num,Y,C))

Python

python
# check if O on circumcircle ABX and ACY
circ1=sp.Circle(sp.Point(*A), sp.Point(*B), sp.Point(*X))
circ2=sp.Circle(sp.Point(*A), sp.Point(*C), sp.Point(*Y))
def power_to_circle(P,circle):
    center=np.array(circle.center.evalf(), dtype=float)
    rad=float(circle.radius.evalf())
    P=np.array(P, dtype=float)
    return np.linalg.norm(P-center)**2-rad**2
print(power_to_circle(O_num,circ1), power_to_circle(O_num,circ2))
print(circ1.center.evalf(),circ1.radius.evalf())
print(circ2.center.evalf(),circ2.radius.evalf())

Python

python
for expr,name in [((B,O_num,X),'BOX'),((B,A,Y),'BAY'),((C,O_num,Y),'COY'),((C,A,X),'CAX'),((X,O_num,A),'XOA'),((B,C,A),'BCA')]:
    P,Q,R=expr
    print(name, ang(P,Q,R))

Python

python
print("XOA",ang(X,O_num,A),"C", ang(B,C,A))
print("AOY",ang(A,O_num,Y),"B", ang(A,B,C))

Python

python
# foot N from O to BC
Bpt=np.array(B,float); Cpt=np.array(C,float); Opt=O_num
v=Cpt-Bpt
t=np.dot(Opt-Bpt,v)/np.dot(v,v)
N=Bpt+t*v
BN=t*np.linalg.norm(v); CN=(1-t)*np.linalg.norm(v)
BN, CN, (c/2 + (a-b/2))/2, N


(np.float64(2.6224989991991987),
 np.float64(3.622498999199199),
 2.622498999199199,
 array([4.37009612, 2.54572624]))

Python

python
# angle between AI and BC
AIvec=I-A_np
BCvec=C_np-B_np
print(angle(AIvec,BCvec))

Python

python
a,b,c=sp.symbols('a b c', positive=True)
expr = sp.sqrt(3)*b*c/(b+c) - (b+c-a)/sp.sqrt(3)
# use a^2 relation maybe factor
expr_sub = sp.together(expr).subs(3*b*c,(a+b+c)*(b+c-a))
sp.factor(sp.simplify(expr_sub))


-sqrt(3)*a*(a - b - c)/(3*(b + c))

Python

python
a,b,c=sp.symbols('a b c', positive=True)
BH = a*c/(b+c)
HN = (b-c)*(b+c-2*a)/(4*(b+c))
expr = sp.simplify(BH + HN - (2*a + c - b)/4)
sp.factor(expr)


-(b - c)*(2*a - b - c)/(2*(b + c))

Python

python
a,b,c=sp.symbols('a b c', positive=True)
BN_expr = a*c/(b+c) + (2*a-b-c)*(b-c)/(4*(b+c))
sp.factor(sp.simplify(BN_expr - (2*a + c - b)/4))


0

Python

python
# angle BHA
H=np.array([4.375,2.52590742770461])
print(ang(B_np,H,A_np), ang(A_np,H,Cpt))

思考

angle BHA

H=np.array([4.375,2.52590742770461]) print(ang(B_np,H,A_np), ang(A_np,H,Cpt))

Thought for 30m 23s

回答

Обозначим

a=BC,b=CA,c=AB.a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB.

Тогда по условию

BX=c2,CY=b2,BX=\frac c2,\qquad CY=\frac b2,

а из ∠A=60∘\angle A=60^\circ по теореме косинусов

a2=b2+c2−bc.a^2=b^2+c^2-bc.

Без ограничения общности будем считать b>cb>c (иначе просто поменяем местами BB и CC, а вместе с ними и X,YX,Y).

1. Вписанная и AA-вневписанная окружности

Пусть ω\omega — вписанная окружность, ωa\omega_a — вневписанная окружность, касающаяся стороны BCBC, а их центры — II и IaI_a.

Площадь треугольника:

S=bcsin⁡60∘2=34bc.S=\frac{bc\sin60^\circ}{2}=\frac{\sqrt3}{4}bc.

Полупериметр:

s=a+b+c2.s=\frac{a+b+c}{2}.

Тогда радиусы равны

r=Sa,точнее r=Ss,ra=Ss−a.r=\frac Sa,\quad\text{точнее }r=\frac{S}{s},\qquad r_a=\frac{S}{s-a}.

Но

(a+b+c)(b+c−a)=(b+c)2−a2=3bc,(a+b+c)(b+c-a)=(b+c)^2-a^2=3bc,

поэтому

r=3 bc2(a+b+c)=b+c−a23,r=\frac{\sqrt3\,bc}{2(a+b+c)}=\frac{b+c-a}{2\sqrt3}, ra=3 bc2(b+c−a)=a+b+c23.r_a=\frac{\sqrt3\,bc}{2(b+c-a)}=\frac{a+b+c}{2\sqrt3}.

Так как II и IaI_a лежат на биссектрисе AIAI, имеем

AI=2r,AIa=2ra.AI=2r,\qquad AI_a=2r_a.

2. Построим нужную окружность

Возьмём на луче AIAI точку OO так, что

OI=a23.OI=\frac{a}{2\sqrt3}.

Положим

ρ=2a−b−c23.\rho=\frac{2a-b-c}{2\sqrt3}.

Заметим, что ρ>0\rho>0, потому что

4a2−(b+c)2=3(b−c)2>0⇒2a>b+c.4a^2-(b+c)^2=3(b-c)^2>0 \quad\Rightarrow\quad 2a>b+c.

Теперь

OI−r=a−(b+c−a)23=2a−b−c23=ρ.OI-r=\frac{a-(b+c-a)}{2\sqrt3}=\frac{2a-b-c}{2\sqrt3}=\rho.

Кроме того,

IIa=AIa−AI=2(ra−r)=2a3,II_a=AI_a-AI=2(r_a-r)=\frac{2a}{\sqrt3},

значит

OIa=IIa−OI=2a3−a23=3a23.OI_a=II_a-OI=\frac{2a}{\sqrt3}-\frac{a}{2\sqrt3} =\frac{3a}{2\sqrt3}.

Тогда

OIa−ra=3a−(a+b+c)23=2a−b−c23=ρ.OI_a-r_a=\frac{3a-(a+b+c)}{2\sqrt3} =\frac{2a-b-c}{2\sqrt3}=\rho.

Следовательно, окружность σ\sigma с центром OO и радиусом ρ\rho касается и ω\omega, и ωa\omega_a.

Осталось доказать, что она проходит через XX и YY.

3. Опустим из OO перпендикуляр на BCBC

Пусть

H=AI∩BC,ON⊥BC,N∈BC.H=AI\cap BC,\qquad ON\perp BC,\quad N\in BC.

Вычислим OHOH

По теореме о биссектрисе

BH=acb+c.BH=\frac{ac}{b+c}.

Длина биссектрисы:

AH=2bccos⁡30∘b+c=3 bcb+c.AH=\frac{2bc\cos30^\circ}{b+c}=\frac{\sqrt3\,bc}{b+c}.

А потому

IH=AH−AI=3 bcb+c−b+c−a3=a(b+c−a)3(b+c).IH=AH-AI =\frac{\sqrt3\,bc}{b+c}-\frac{b+c-a}{\sqrt3} =\frac{a(b+c-a)}{\sqrt3(b+c)}.

Значит

OH=IH−OI=a(b+c−a)3(b+c)−a23=a(2a−b−c)23(b+c).OH=IH-OI =\frac{a(b+c-a)}{\sqrt3(b+c)}-\frac{a}{2\sqrt3} =\frac{a(2a-b-c)}{2\sqrt3(b+c)}.

4. Вычислим ONON и BNBN

Обозначим

φ=∠BHA.\varphi=\angle BHA.

В треугольнике ABHABH по теореме синусов:

ABsin⁡φ=BHsin⁡30∘,\frac{AB}{\sin\varphi}=\frac{BH}{\sin30^\circ},

то есть

sin⁡φ=AB⋅sin⁡30∘BH=c/2ac/(b+c)=b+c2a.\sin\varphi=\frac{AB\cdot \sin30^\circ}{BH} =\frac{c/2}{ac/(b+c)}=\frac{b+c}{2a}.

Тогда

cos⁡φ=1−sin⁡2φ=1−(b+c)24a2=3(b−c)2a,\cos\varphi =\sqrt{1-\sin^2\varphi} =\sqrt{1-\frac{(b+c)^2}{4a^2}} =\frac{\sqrt3(b-c)}{2a},

поскольку b>cb>c.

Из прямоугольного треугольника OHNOHN:

ON=OHsin⁡φ=a(2a−b−c)23(b+c)⋅b+c2a=2a−b−c43=ρ2.ON=OH\sin\varphi =\frac{a(2a-b-c)}{2\sqrt3(b+c)}\cdot \frac{b+c}{2a} =\frac{2a-b-c}{4\sqrt3} =\frac{\rho}{2}.

И

HN=OHcos⁡φ=a(2a−b−c)23(b+c)⋅3(b−c)2a=(2a−b−c)(b−c)4(b+c).HN=OH\cos\varphi =\frac{a(2a-b-c)}{2\sqrt3(b+c)}\cdot \frac{\sqrt3(b-c)}{2a} =\frac{(2a-b-c)(b-c)}{4(b+c)}.

Поэтому

BN=BH+HN=acb+c+(2a−b−c)(b−c)4(b+c)=2a+c−b4.BN=BH+HN =\frac{ac}{b+c}+\frac{(2a-b-c)(b-c)}{4(b+c)} =\frac{2a+c-b}{4}.

5. Точка NN — середина XYXY

Так как

BX=c2,BY=BC−CY=a−b2,BX=\frac c2,\qquad BY=BC-CY=a-\frac b2,

получаем

NX=BN−BX=2a+c−b4−c2=2a−b−c4,NX=BN-BX =\frac{2a+c-b}{4}-\frac c2 =\frac{2a-b-c}{4}, NY=BY−BN=(a−b2)−2a+c−b4=2a−b−c4.NY=BY-BN =\left(a-\frac b2\right)-\frac{2a+c-b}{4} =\frac{2a-b-c}{4}.

Значит,

NX=NY,NX=NY,

то есть NN — середина XYXY.

Кроме того,

NX=2a−b−c4=3 ρ2.NX=\frac{2a-b-c}{4}=\frac{\sqrt3\,\rho}{2}.

Теперь в прямоугольном треугольнике ONXONX:

OX2=ON2+NX2=(ρ2)2+(3 ρ2)2=ρ2.OX^2=ON^2+NX^2 =\left(\frac{\rho}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3\,\rho}{2}\right)^2 =\rho^2.

Следовательно,

OX=ρ.OX=\rho.

Точно так же

OY=ρ.OY=\rho.

Итак, точки XX и YY лежат на окружности σ\sigma.

Итог

Построенная окружность σ\sigma

  • касается вписанной окружности ω\omega,
  • касается AA-вневписанной окружности ωa\omega_a,
  • проходит через точки XX и YY.

Что и требовалось доказать.

Если хочешь, я могу ещё написать более короткое “олимпиадное” решение на 10–12 строк без промежуточных вычислений.

このQ&Aを共有