“你现在是一位资深的高中数学教师。请帮我收集并整理高中数学【排列组合】中经典的**‘多面手问题’（即...

下面按常见校内考试与竞赛训练风格，整理一套高中数学《排列组合》里很典型的“多面手问题”专项题库。
为避免歧义，除第9题外，均默认 “每人至多承担一项工作”。

一、解题心法

1. 先抓“最特殊的人”或“最稀缺的岗位”
多面手问题里，最常见的突破口就是：

• 按多面手的去向分类；
• 按只能由少数人担任的岗位分类；
• 先安排限制最多的人，再安排普通人。

2. 分类一定要“互斥且完备”
例如“甲去哪个岗位”来分类时，要保证：

• 每种情况不重叠；
• 所有可能都被分到某一类里。
  这能避免重复计算和遗漏。

3. 能分块就分块
很多题其实能拆成两部分：

• 前几项岗位只在一小群人中分配；
• 后几项岗位只在另一小群人中分配。
  这时常用“分步乘法原理”。

4. 有“不能做某岗”时，优先考虑反面法或容斥原理
常见套路：

• 先算“无禁忌”的总数；
• 再减去“不合要求”的情况；
• 若减重了，就用容斥加回来。

5. 综合题要分层处理
遇到“先选人，再分工”“先分组，再定岗位”“有人允许兼职”等题型时，通常按层次做：

• 先确定特殊人或特殊岗位；
• 再做选人；
• 最后做排列或分组。

6. 一个很实用的口诀
先紧后松，先特后普；分类互斥，分步相乘；有禁则减，重叠用容斥。

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二、阶梯题库

基础篇（1个多面手，常规分配）

题1
班级要在甲、乙、丙、丁四人中分别选出班长、副班长、学习委员、体育委员各1人。已知：

• 甲可担任四个职务中的任一职；
• 乙可担任班长、副班长；
• 丙可担任学习委员、体育委员；
• 丁可担任副班长、体育委员。
  求不同安排方法数。

题2
学校活动中需安排主持、摄影、记录、联络、后勤五个岗位，由甲、乙、丙、丁、戊五人担任。已知：

• 甲是多面手，可担任主持、摄影、记录；
• 乙、丙、丁、戊都能担任任一岗位；
• 但乙不能担任后勤。
  求不同安排方法数。

题3
从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中选5人，分别担任主持、摄影、记录、联络、后勤五项不同工作。已知：

• 甲必须参加；
• 甲可担任主持、摄影、记录中的任一项；
• 其余5人都能担任任一岗位。
  求不同安排方法数。

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进阶篇（2个或以上多面手，限制条件增加）

题4
活动中需安排主持、统分、摄影、音响、后勤五个岗位，由甲、乙、丙、丁、戊五人担任。已知：

• 甲、乙都可担任主持、统分、摄影中的任一岗位；
• 丙可担任主持、统分；
• 丁、戊都可担任音响、后勤。
  求不同安排方法数。

题5
六项工作：主持、记录、联络、后勤、宣传、接待，由甲、乙、丙、丁、戊、己六人担任。已知：

• 甲、乙都只能在“主持、记录、联络”这三项中任职；
• 丙不能担任主持；
• 丁不能担任记录；
• 戊、己无特殊限制。
  求不同安排方法数。

题6
六位老师甲、乙、丙、丁、戊、己分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课。已知：

• 甲、乙、丙都可担任语文、数学、英语中的任一门；
• 丁、戊、己都可担任物理、化学、生物中的任一门；
• 但甲不能教英语，乙不能教数学。
  求不同分配方法数。

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挑战篇（结合其他排列组合模型）

题7
某社团要安排：

• 1名主持，
• 1名摄影，
• 其余5人分成宣传组（3人）和后勤组（2人），两个组有区别。

现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7人，且：

• 甲可担任主持、摄影，也可进入宣传组或后勤组；
• 乙、丙只能担任主持或进入宣传组；
• 丁、戊只能担任摄影或进入后勤组；
• 己、庚只能进入宣传组或后勤组，不能担任主持、摄影。
  求不同安排方法数。

题8
从甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛8人中选4人，分别担任队长、答辩、程序、文稿四个不同分工。已知：

• 甲可担任队长、答辩、程序；
• 乙可担任答辩、程序、文稿；
• 其余6人可担任任一分工。
  求不同选人分工方法数。

题9
四名同学甲、乙、丙、丁完成五项不同工作 A、B、C、D、E。允许甲兼职两项，且甲只能从 A、B、C 三项中任选两项兼任；乙、丙、丁各只承担1项，其中：

• 乙不能做 E；
• 丙不能做 D。
  求共有多少种安排方法。

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三、详细解析

题1解析

思路
按多面手甲的去向分类。

计算

1. 甲任班长，则乙只能任副班长，丙任学习委员，丁任体育委员，1种。
2. 甲任副班长，则乙任班长，丙任学习委员，丁任体育委员，1种。
3. 甲任学习委员，则乙任班长，丙任体育委员，丁任副班长，1种。
4. 甲任体育委员，则乙任班长，丙任学习委员，丁任副班长，1种。

所以总数为

$$1+1+1+1=4$$

易错点

• 不要把“丙、丁是否还能互换”想复杂。实际上很多位置一旦定下甲，其他人往往就被“卡死”了。
• 分类时要把甲的4种可能都列全。

答案
4种。

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题2解析

思路
仍然按甲的去向分类。每一类中，再处理“乙不能担任后勤”的限制。

计算
甲只能担任主持、摄影、记录，共3种选择。

对任一种固定选择，例如甲任主持，则剩下4个人去担任另外4个岗位。
如果不考虑限制，共有

$$4!=24$$

种。
其中不合要求的是“乙担任后勤”的情况：先固定乙任后勤，其余3人排其余3岗，有

$$3!=6$$

种。
所以这一类合法安排数为

$$24-6=18$$

甲任摄影时同理，也是18种；甲任记录时也是18种。

所以总数为

$$3\times 18=54$$

易错点

• 不能直接写 $3\times 4!$，因为乙有“不能后勤”的限制。
• 反面法里，减去的是“固定乙做后勤后，其余人任意排剩余3岗”的数，即 $3!$。

答案
54种。

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题3解析

思路
这是“先定多面手岗位，再选人、再排列”的典型题。

计算
甲必须参加，且甲可担任主持、摄影、记录中的任一项，所以甲的岗位有

$$3$$

种选择。

甲岗位定好后，还剩4个岗位，需要从其余5人中选4人来担任，并安排到4个不同岗位上。
方法数为

$$A_5^4=5\times4\times3\times2=120$$

所以总数为

$$3\times A_5^4=3\times120=360$$

易错点

• 不能把6个人对5个岗位直接写成 $A_6^5$，因为甲不是“任意岗位都能做”。
• 也不能忘记“甲必须参加”这一条件。

答案
360种。

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题4解析

思路
先看“主持、统分、摄影”这三个岗位。
其中丙只能做主持或统分，所以摄影一定由甲、乙中的一人担任。

计算

1. 从甲、乙中选1人担任摄影，有

$$2$$

种。

2. 剩下的两人（甲乙中另一人和丙）去担任主持、统分，有

$$2$$

种。

3. 丁、戊去担任音响、后勤，有

$$2!=2$$

种。

所以总数为

$$2\times2\times2=8$$

易错点

• 前三个岗位不能直接写 $3!$，因为丙不能担任摄影。
• 后两个岗位是两个不同人分任两个不同岗，所以是 $2!$。

答案
8种。

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题5解析

思路
甲、乙都只能在“主持、记录、联络”三项中选，所以先看这三项中哪一项留给普通成员去做。这就是“按特殊岗位分类”。

计算

情况1：主持留给普通成员

那么甲、乙必须担任记录、联络，二人分配有

$$2$$

种。

此时剩下4人丙、丁、戊、己去担任：主持、后勤、宣传、接待。
其中丙不能担任主持。
若不考虑限制，共

$$4!=24$$

种；
丙担任主持的不合法情况有

$$3!=6$$

种。
所以这一类有

$$2\times(24-6)=2\times18=36$$

种。

情况2：记录留给普通成员

同理，甲、乙分配主持、联络有2种。
剩下4人去做记录、后勤、宣传、接待，其中丁不能担任记录。
合法数为

$$2\times(24-6)=36$$

情况3：联络留给普通成员

甲、乙分配主持、记录有2种。
剩下4人去做联络、后勤、宣传、接待。
此时丙“不能主持”、丁“不能记录”都不再 relevant，因此没有额外限制。
这一类有

$$2\times4!=2\times24=48$$

种。

总数为

$$36+36+48=120$$

易错点

• 丙“不能主持”只在“主持留给普通成员”时才起作用。
• 丁“不能记录”只在“记录留给普通成员”时才起作用。
• 不要把两个限制在所有情况里都一股脑减掉。

答案
120种。

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题6解析

思路
这题天然分成两个“块”：

• 第一块：甲、乙、丙分配语文、数学、英语；
• 第二块：丁、戊、己分配物理、化学、生物。

第二块没有限制，第一块有两个禁配，用容斥原理。

计算

先不看禁配条件：

• 甲、乙、丙分配语文、数学、英语，有

$$3!=6$$

种；

• 丁、戊、己分配物理、化学、生物，有

$$3!=6$$

种。

所以总数为

$$6\times6=36$$

设事件：

• $E_1$：甲教英语；
• $E_2$：乙教数学。

则：

1. $E_1$ 发生时，乙、丙分配语文、数学，有 $2!=2$ 种；第二块仍有6种。
   所以

$$|E_1|=2\times6=12$$

2. $E_2$ 发生时，甲、丙分配语文、英语，也有

$$|E_2|=2\times6=12$$

3. $E_1\cap E_2$ 发生时，甲教英语，乙教数学，则丙只能教语文；第二块仍有6种。
   所以

$$|E_1\cap E_2|=1\times6=6$$

由容斥原理，合法方法数为

$$36-12-12+6=18$$

易错点

• 容斥只发生在“语数英”这一块上，但最终别忘了再乘“物化生”这一块的 $3!$。
• 同时满足两个禁配时，要加回来一次。

答案
18种。

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题7解析

思路
这是“多面手 + 分组分配”综合题。
最稳妥的方法：按甲的去向分类。

甲有4类去向：

1. 甲任主持；
2. 甲任摄影；
3. 甲进宣传组；
4. 甲进后勤组。

组内无顺序，所以进组时只看“进哪一组”，不看“组内第几个位置”。

计算

情况1：甲任主持

摄影只能由丁、戊担任，有

$$2$$

种。

剩下5人中：

• 乙、丙只能去宣传组；
• 另一个没当摄影的丁或戊只能去后勤组；
• 己、庚可进任一组。

宣传组要3人，所以必须是“乙、丙 + 己庚中的1人”，有

$$2$$

种。
后勤组随之确定。

因此这一类有

$$2\times2=4$$

种。

情况2：甲任摄影

主持只能由乙、丙担任，有

$$2$$

种。

剩下5人中：

• 另一个乙或丙只能进宣传组；
• 丁、戊都只能进后勤组；
• 己、庚只能补到宣传组。

所以分组其实已经唯一确定。
因此这一类有

$$2$$

种。

情况3：甲进宣传组

主持由乙、丙选1人，有

$$2$$

种；
摄影由丁、戊选1人，有

$$2$$

种。

此时宣传组还缺2人。
剩下的人中：

• 另一个乙或丙必须进宣传组；
• 己、庚中选1人进宣传组，有

$$2$$

种。

所以这一类有

$$2\times2\times2=8$$

种。

情况4：甲进后勤组

主持由乙、丙选1人，有

$$2$$

种；
摄影由丁、戊选1人，有

$$2$$

种。

此时宣传组3人只能是：

• 另一个乙或丙；
• 己；
• 庚。

因此分组唯一确定。
这一类有

$$2\times2=4$$

种。

总数为

$$4+2+8+4=18$$

易错点

• 宣传组、后勤组是有区别的，不能最后再除以2。
• 组内无顺序，所以“甲在宣传组”不能再乘3。
• 一定要看清“只能担任主持或进入宣传组”这类条件，意味着这个人没有第三种去向。

答案
18种。

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题8解析

思路
这是“选人 + 分工”的综合题。
最自然的分类方式：看甲、乙是否入选。

分四类：

1. 甲乙都不入选；
2. 只有甲入选；
3. 只有乙入选；
4. 甲乙都入选。

计算

情况1：甲乙都不入选

从其余6人中选4人并分配四个不同岗位，方法数为

$$A_6^4=6\times5\times4\times3=360$$

情况2：只有甲入选

甲可担任队长、答辩、程序，共

$$3$$

种选择。

其余3个岗位由其余6人中选3人并排列，方法数为

$$A_6^3=6\times5\times4=120$$

所以这一类有

$$3\times120=360$$

种。

情况3：只有乙入选

同理，乙可担任答辩、程序、文稿，共3种。
其余安排数也是 $A_6^3=120$。
所以这一类有

$$3\times120=360$$

种。

情况4：甲乙都入选

先给甲、乙分配两个不同岗位。

甲可选：队长、答辩、程序。
分类看甲：

• 若甲任队长，则乙可任答辩、程序、文稿，共3种；
• 若甲任答辩，则乙可任程序、文稿，共2种；
• 若甲任程序，则乙可任答辩、文稿，共2种。

所以甲乙的合法分工共有

$$3+2+2=7$$

种。

剩下两个岗位由其余6人中选2人并排列，有

$$A_6^2=6\times5=30$$

种。

因此这一类有

$$7\times30=210$$

种。

总数为

$$360+360+360+210=1290$$

易错点

• “甲乙都入选”时，不能想当然写成 $A_4^2$，因为两人的可选岗位集合不同。
• “选人 + 分工”要分层：先看特殊人是否入选，再做排列。

答案
1290种。

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题9解析

思路
这是“允许兼职”的变式题。
最关键的一步：先确定甲兼任哪两项工作，再安排乙、丙、丁。

计算

甲只能从 A、B、C 三项中任选两项兼任，因此甲兼任方案有

$$\binom{3}{2}=3$$

种。

对甲的一种固定兼任方案，剩下3项工作一定是：

• A、B、C 中剩下的1项，记作 $X$；
• 以及 D、E 两项。

这3项由乙、丙、丁三人分别承担。

若不看限制，共有

$$3!=6$$

种。

设：

• $F_1$：乙做 E；
• $F_2$：丙做 D。

则：

$$|F_1|=2,\qquad |F_2|=2,\qquad |F_1\cap F_2|=1$$

所以合法数为

$$6-2-2+1=3$$

而甲的兼任方案有3种，所以总数为

$$3\times3=9$$

易错点

• 甲兼任两项工作时，“兼任 A 和 B”与“兼任 B 和 A”不是两种，不能乘 $2!$。
• 容斥里两个坏事件都要减，但重叠部分要加回来。

答案
9种。

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这套题覆盖了多面手问题最常见的几个出题方向：
单人多面手、双人多面手、禁配限制、分块处理、分组分配、选人再分工、允许兼职。
拿来做专题讲解、分层训练或考前刷题都很合适。