Реши как 8 классник

Ниже — решения по-простому, как для 8 класса, но с хорошей идеей в каждой задаче.

---

1. Когда процесс может идти бесконечно?

Были числа $a$ и $b$.
Если заменить одно из них на среднее арифметическое, то новое число равно

$$\frac{a+b}{2}.$$

Чтобы оно было целым, $a$ и $b$ должны быть одной чётности.

Посмотрим на разность чисел.

Пусть была пара $(a,b)$.
После замены, например, $a$ на $\frac{a+b}{2}$, новая разность:

$$\left|\,b-\frac{a+b}{2}\right|=\left|\frac{b-a}{2}\right|.$$

То есть разность каждый раз делится на 2.

Значит, если процесс идёт бесконечно, то начальная разность должна делиться на 2, на 4, на 8, на 16, ... бесконечно много раз.
Так может быть только у числа $0$.

То есть

$$a-b=0 \quad \Rightarrow \quad a=b.$$

Если $a=b$, то среднее всё время равно этому же числу, и процесс можно продолжать бесконечно.

Ответ: бесконечно долго процесс идёт только при $a=b$.

---

2. Можно ли увеличить все числа на доске в 2 раза?

Операция:

$$a,\; b \longrightarrow \frac a2-\frac b2,\; \frac{3b}{2}+\frac a2.$$

Посмотрим на сумму этих двух чисел:

$$\left(\frac a2-\frac b2\right)+\left(\frac{3b}{2}+\frac a2\right) = a+b.$$

Значит, сумма всех чисел на доске не меняется.

Но если бы удалось увеличить каждое число в 2 раза, то и общая сумма тоже увеличилась бы в 2 раза.

Это невозможно, потому что сумма у нас сохраняется.

Ответ: нельзя.

---

3. Чему равна сумма чисел на Петиной бумажке?

Пусть на доске числа $x,y,z$.
Если Петя уменьшает, например, $z$ на 1, то на бумажку пишет $xy$.

Сравним произведение трёх чисел до и после хода:

• до хода: $xyz$,
• после хода: $xy(z-1)=xyz-xy$.

Значит,

$$xy = xyz - xy(z-1),$$

то есть число, записанное на бумажку, равно уменьшению произведения трёх чисел.

Тогда все записанные числа в сумме дадут:

$$(\text{начальное произведение})-(\text{конечное произведение}).$$

В конце одно из чисел стало нулём, значит конечное произведение равно 0.

Итак, сумма на бумажке равна начальному произведению трёх чисел.

Ответ: если сначала были числа $a,b,c$, то сумма равна

$$abc.$$

---

4. Можно ли из $1,2,3,\dots,100$ получить 100 одинаковых целых чисел?

Операция:

$$a,\;b \longrightarrow \frac{a+b}{2},\; \frac{2}{\frac1a+\frac1b}.$$

Второе число — это гармоническое среднее. Удобно переписать:

$$\frac{2}{\frac1a+\frac1b}=\frac{2ab}{a+b}.$$

Теперь посмотрим на произведение новых чисел:

$$\frac{a+b}{2}\cdot \frac{2ab}{a+b}=ab.$$

Значит, произведение всех чисел на доске сохраняется.

Сначала оно равно

$$1\cdot 2\cdot 3\cdots 100 = 100!.$$

Если в конце получилось 100 одинаковых целых чисел, каждое равно $x$, то

$$x^{100}=100!.$$

Но это невозможно: в разложении числа $100!$ на простые множители число $97$ входит только один раз, а в степени $x^{100}$ степень любого простого числа должна делиться на 100.

Противоречие.

Ответ: нельзя.

---

5. Можно ли через несколько ходов снова получить исходные числа?

Операция:

$$a,\; b \longrightarrow a-\frac b2,\; b+\frac a2.$$

Посмотрим на сумму квадратов этих двух чисел:

$$\left(a-\frac b2\right)^2+\left(b+\frac a2\right)^2.$$

Раскрываем скобки:

$$a^2-ab+\frac{b^2}{4}+b^2+ab+\frac{a^2}{4} = \frac54(a^2+b^2).$$

То есть после каждого хода сумма квадратов умножается на $\frac54$, значит строго увеличивается.

Следовательно, вернуться к исходному набору чисел нельзя: у исходного набора сумма квадратов была бы прежней, а она всё время растёт.

Ответ: нельзя.

---

6. Докажите, что через несколько операций числа станут равными или одно будет вдвое больше другого

Пусть в паре большее число — это $x$, меньшее — $y$.

Тогда, если $x\neq 2y$, возможны два случая:

Случай 1: $x>2y$

Тогда получаем пару

$$x-2y,\; y.$$

Сумма была $x+y$, стала

$$(x-2y)+y=x-y,$$

а это меньше, чем $x+y$.

Случай 2: $y<x<2y$

Тогда получаем пару

$$2y-x,\; y.$$

Сумма стала

$$(2y-x)+y=3y-x.$$

Сравним:

$$x+y-(3y-x)=2x-2y=2(x-y)>0.$$

Значит, и тут сумма уменьшилась.

---

Получается, если числа ещё не равны и не имеют вид $y,2y$, то после операции сумма двух чисел уменьшается.

А сумма — натуральное число, она не может уменьшаться бесконечно.

Значит, процесс обязательно остановится.
Когда он остановится, операция уже невозможна. Это бывает только в двух случаях:

• либо числа равны;
• либо одно вдвое больше другого.

Что и требовалось доказать.

---

7. Почему таких перестановок можно сделать только конечное число раз?

Пусть по кругу стоят числа $x_1,x_2,\dots,x_n$.

Рассмотрим величину

$$S=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\dots+(x_n-x_1)^2.$$

Теперь меняем местами $b$ и $c$ в четвёрке подряд идущих чисел $a,b,c,d$.

Меняются только куски рядом с ними.

До перестановки:

$$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2$$

После перестановки:

$$(a-c)^2+(c-b)^2+(b-d)^2$$

Так как $(c-b)^2=(b-c)^2$, сравним:

$$[(a-c)^2+(b-d)^2]-[(a-b)^2+(c-d)^2].$$

После раскрытия скобок получаем:

$$2(a-d)(b-c).$$

По условию

$$(a-d)(b-c)<0,$$

значит

$$2(a-d)(b-c)<0.$$

То есть после разрешённой перестановки величина $S$ строго уменьшается.

Но числа по кругу просто переставляются местами, а перестановок конечное число.
Значит, и различных значений $S$ тоже конечное число.
А раз $S$ каждый раз строго уменьшается, бесконечно долго это продолжаться не может.

Ответ: таких операций можно сделать только конечное число раз.

---

Если хочешь, я могу ещё оформить это в виде чистого решения в тетрадном стиле, без лишних объяснений.