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对于我们熟知的巨磁电阻现象来说，其不同情况下的电阻差距来源于两层膜磁矩的平行和反平行，如果它们并非如...

作成日: 2026年2月11日

使用モデル GPT-5.2 Thinking by Chat01

質問

对于我们熟知的巨磁电阻现象来说，其不同情况下的电阻差距来源于两层膜磁矩的平行和反平行，如果它们并非如此，而只是差了一个角度，这个情况下该怎么分析电阻？

思考

Deriving angular dependence for magnetoresistance

For tunneling magnetoresistance (TMR), Julliere's formula is conductance ∝ 1 + P1P2 cos(θ). For giant magnetoresistance (GMR), a similar approach applies with effective polarization. I derived the expression for resistance as R(θ) = R_P + ΔR(1 - cosθ)/2 and checked it fits for θ = 0 and θ = π. However, I should verify if this holds under the diffusive two-current resistor model.

Explaining the GMR model and its analysis

For CPP GMR, the formula involves a cosine term, with a parameter Λ accounting for mixing conductance and spin accumulation. To analyze, we treat the magnetizations m1 and m2 at an angle θ, considering spin-dependent transmission and scattering. Depending on whether we’re in a ballistic or diffusive regime, we apply the appropriate model—Landauer-Büttiker or Valet-Fert—along with spin rotation and boundary conditions to calculate conductance.

Explaining noncollinear spin behavior and conductance

For noncollinear magnetizations, the electron spins from the first layer must be decomposed along the second layer’s magnetization (m2). This results in probability distributions for parallel and antiparallel alignments. Conductance is a weighted average, based on these projections. The resistance formula can be derived as R(θ) = R_P + (ΔR/2)(1 - cosθ), while conductance can be written as G(θ) = G_P cos²(θ/2) + G_AP sin²(θ/2). For metallic GMR, the effective spin asymmetry can replace polarization.

Thought for 36s

回答

在“两层铁磁膜 + 非磁间隔层”的自旋阀里，GMR 的关键变量其实不是“平行/反平行”这两个离散状态，而是两层磁化方向的相对夹角 θ\theta。平行与反平行只是 θ=0,π\theta=0,\pi 的两个端点。把它推广到任意角度，常见有两层“分析精度”的做法：

1) 最常用的近似：sin⁡2(θ/2)\sin^2(\theta/2) 插值（等价于余弦规律）

直观图像：电子在第一层出来时，其自旋大多沿着 m1\mathbf m_1。进入第二层时，第二层的本征“多数/少数”是沿 m2\mathbf m_2 定义的，于是自旋态要投影分解到 m2\mathbf m_2 的基底上：

  • 投影到“与 m2\mathbf m_2 平行”的概率：cos⁡2(θ/2)\cos^2(\theta/2)
  • 投影到“与 m2\mathbf m_2 反平行”的概率：sin⁡2(θ/2)\sin^2(\theta/2)

若再假设：

  • 通过间隔层时相干性基本丢失（常见金属间隔层厚度下成立）
  • 自旋翻转不强（或作为小修正）

那么电阻就会在 RPR_P 与 RAPR_{AP} 之间按权重“插值”。最常写成：

R(θ)=RP+(RAP−RP)sin⁡2θ2R(\theta)=R_P+\bigl(R_{AP}-R_P\bigr)\sin^2\frac{\theta}{2}

利用 sin⁡2(θ/2)=(1−cos⁡θ)/2\sin^2(\theta/2)=(1-\cos\theta)/2，也就是

R(θ)=RP+ΔR2 (1−cos⁡θ),ΔR≡RAP−RPR(\theta)=R_P+\frac{\Delta R}{2}\,(1-\cos\theta),\quad \Delta R\equiv R_{AP}-R_P

它满足端点：

  • θ=0⇒R=RP\theta=0\Rightarrow R=R_P
  • θ=π⇒R=RAP\theta=\pi\Rightarrow R=R_{AP}

小角度下也很直观：

R(θ)≈RP+ΔR4θ2(θ≪1)R(\theta)\approx R_P+\frac{\Delta R}{4}\theta^2\qquad(\theta\ll1)

这条“余弦规律”在很多自旋阀的线性响应测量里非常好用，尤其是把真实磁结构当作“宏自旋”时。

2) 更细致的做法：先写角度依赖电导，再取倒数（并允许出现“偏离纯余弦”的项）

上面的插值本质上是在“电阻”层面做线性插值。更物理、也更常见的写法是从电导 G(θ)G(\theta) 出发（因为两自旋通道更自然地加在电导上）：

类 Jullière 形式（很常见的经验/半微观写法）

G(θ)=G0(1+P1P2cos⁡θ)G(\theta)=G_0\bigl(1+P_1P_2\cos\theta\bigr)

于是

R(θ)=1G(θ)=1G0(1+P1P2cos⁡θ)R(\theta)=\frac{1}{G(\theta)}=\frac{1}{G_0(1+P_1P_2\cos\theta)}

这里 P1,P2P_1,P_2 是两层的有效自旋极化（对金属 GMR 来说是“有效极化/自旋不对称参数”的等价物；对隧穿 TMR 则更贴合原始 Jullière 图像）。当 P1P2P_1P_2 不大时，对 1/G1/G 展开后就会回到近似的余弦/ sin⁡2(θ/2)\sin^2(\theta/2) 规律。

为什么会偏离“纯余弦”？

在更真实的金属 CPP-GMR 里（尤其界面效应明显时），需要考虑：

  • **自旋累积（spin accumulation）**与扩散
  • 界面混合电导（mixing conductance）：非共线磁化会引入横向自旋流的吸收
  • 间隔层厚度、散射、（弱）自旋翻转等

这时常会得到“仍然以 cos⁡θ\cos\theta 为主，但形状会变钝或变尖”的角度依赖；在磁电路理论/Valet–Fert + 界面边界条件里，结果通常能写成带一个形状参数的形式（示意）：

R(θ)−RPRAP−RP  =  1−cos⁡θ2 (1+Λcos⁡θ)\frac{R(\theta)-R_P}{R_{AP}-R_P}\;=\;\frac{1-\cos\theta}{2\,(1+\Lambda\cos\theta)}

Λ\Lambda（或等价参数）由层电阻、自旋扩散长度、界面混合电导等决定；Λ=0\Lambda=0 时就退化回上面的简单余弦规律。

3) 实际上“该怎么分析”的建议路径

  1. 先定几何与输运机制：CIP 还是 CPP？金属间隔层还是隧穿势垒？（这决定你更该用“电阻插值”还是“电导余弦”。）
  2. 先用最简模型拟合：
    用 R(θ)=RP+ΔR sin⁡2(θ/2)R(\theta)=R_P+\Delta R\,\sin^2(\theta/2) 看是否能覆盖数据主趋势。
  3. 若拟合明显不行再上精细项：
    改用 G(θ)=G0(1+αcos⁡θ)G(\theta)=G_0(1+\alpha\cos\theta) 再取倒数，或引入形状参数 Λ\Lambda（体现界面混合与自旋累积）。
  4. 如果你有材料参数（自旋扩散长度、界面电阻、自旋不对称系数等），就可以用 Valet–Fert（扩散）或 Landauer（弹道）把 α,Λ\alpha,\Lambda 反推出来，实现“从微观到角度电阻”的闭环。

如果你告诉我你关心的是 CIP 还是 CPP、以及你看到的 R(θ)R(\theta) 曲线更像“正弦插值”还是“明显偏钝/偏尖”，我可以把对应的模型写到可直接拟合数据的形式，并说明每个参数该怎么从材料/结构里估算。

質問

我想做的是CIP，我目前想研究的是交错磁体和铁磁体之间能不能形成类似GMR的效果，你可以想象，加入磁场，上面的铁磁层在跟着磁场跑，下面的交错磁体层的Neel矢量不会受到磁场影响(忽略界面交换)，似乎可以建立一个GMR模型。因此，我想先看看两层铁磁性材料是怎么建立GMR的，然后套进交错磁体-铁磁异质结

思考

Crafting a model for altermagnet-based GMR

We've gathered some relevant sources on altermagnetism and TMR. For CIP GMR with altermagnets, it seems less studied, but I can propose a model. I'll start by outlining CIP GMR for FM/NM/FM using Mott and semiclassical models and explore how to adapt this to altermagnets with spin-split bands. The MR will depend on crystallographic orientation.

Exploring altermagnet-based spin-polarized transport

The resistivity formula for an altermagnet acts like this: G(θ)=G0[1+PFMPalt(j^,n)cos⁡θ]G(\theta)=G_0[1+P_{FM}P_{alt}(\hat{j},n)\cos\theta], assuming it yields spin polarization along some axis. However, since altermagnets exhibit alternating spin polarization without net magnetization, polarization may cancel. Still, altermagnets can create a "Néel spin current" under certain conditions.

Modeling MR in altermagnet-FM systems

For magnetoresistance (MR), charge conductivity relies on relative alignment, influenced by scattering at interfaces or spin-dependent transmission between FM and altermagnets. Altermagnets could be modeled as two interpenetrating sublattices with opposite spins and orbital anisotropy, causing varying conductivities along certain directions. The model will depend on effective polarization and Néel vector orientation.

Crafting MR model with steps

I'll break down the process as follows: (i) Mott two-current model; (ii) CIP for thick layers; (iii) angle dependence; (iv) adapting for altermagnets; (v) experimental separation of effects. I'll clarify that CIP MR could include contributions from ordinary AMR, spin Hall, and domain wall MR. To isolate spin-valve-like behavior, we can measure control samples and use symmetry. I'll make sure to reference sources like Camley, Barnas, Dieny, and Núñez for factual support.

Structural approach to CIP model with altermagnet

First, write the classic FM/NM/FM CIP resistance formula and explain it from the Mott two-current and non-collinear projection. Expand on CIP, covering interface scattering by citing relevant studies. For altermagnets, explain core properties and polarization depending on Néel vector and crystal orientation. Use a minimal model for both FM and altermagnet, and write out equations, considering angular dependence and symmetry effects. Lastly, consider ways to distinguish variations like periodicity and sample rotation, then extend to the two-FM case for resistivity transformation.

Constructing conductance and GMR model

Start by defining the sheet conductance per channel, then calculate total conductance and sheet resistance, yielding an angle dependence close to sin^2(θ/2). Note this model assumes uniform current and no interfacial scattering. For altermagnets, account for spin splitting and transport polarization along a given direction. Discuss CIP and CPP differences and introduce effective polarization for altermagnets. Also, explain GMR in the context of spin diffusion and modeling choices, including parameters like spin diffusion length and interface specularity. Provide model assumptions clearly.

Thought for 3m 17s

回答

你这个思路很对：先把“两层铁磁 + 间隔层”的 CIP-GMR 怎么从模型里长出来讲清楚，再把“下面那层”替换成交错磁体（altermagnet）/反铁磁的 Néel 矢量固定层。

下面我按“最小可套用模型 → CIP 特有的修正点 → 套进交错磁体/反铁磁时角度依赖会变成什么样”来写。

1) 两层铁磁材料的 GMR：从 Mott 两电流到任意夹角

1.1 Mott 两电流的核心

在铁磁里可以把输运近似拆成两条几乎独立的自旋通道（↑/↓），各自有不同电阻率/散射率（多数/少数自旋不同）——这就是解释 GMR 的最小骨架。(ScienceDirect)

1.2 “平行/反平行”只是夹角的两个端点

对 F1/N/F2（或 F1/F2）来说，真正的变量是两层磁化夹角 θ\theta。把自旋量子化轴取在 F1 的磁化 m1\mathbf m_1 上，则进入 F2（磁化 m2\mathbf m_2）时，自旋态要在 m2\mathbf m_2 的多数/少数基底里投影：

  • 进入 F2 后“多数态”权重：cos⁡2(θ/2)\cos^2(\theta/2)
  • 进入 F2 后“少数态”权重：sin⁡2(θ/2)\sin^2(\theta/2)

于是你可以把 F2 对于“沿 m1\mathbf m_1 的 ↑通道”的有效电阻率写成“多数/少数的加权平均”：

ρ2,↑(θ)=ρ2,majcos⁡2θ2+ρ2,minsin⁡2θ2\rho_{2,\uparrow}(\theta)=\rho_{2,\text{maj}}\cos^2\frac{\theta}{2}+\rho_{2,\text{min}}\sin^2\frac{\theta}{2} ρ2,↓(θ)=ρ2,majsin⁡2θ2+ρ2,mincos⁡2θ2\rho_{2,\downarrow}(\theta)=\rho_{2,\text{maj}}\sin^2\frac{\theta}{2}+\rho_{2,\text{min}}\cos^2\frac{\theta}{2}

然后在最简的 CIP“并联导电”近似里（把每层当作一条薄片电导并联起来），每个自旋通道的面电导是

G↑(θ)=∑itiρi,↑(θ),G↓(θ)=∑itiρi,↓(θ)G_{\uparrow}(\theta)=\sum_i \frac{t_i}{\rho_{i,\uparrow}(\theta)},\qquad G_{\downarrow}(\theta)=\sum_i \frac{t_i}{\rho_{i,\downarrow}(\theta)}

总电导 G=G↑+G↓G=G_{\uparrow}+G_{\downarrow}，面电阻 R□=1/GR_{\square}=1/G。

在“自旋记忆还在、且角度混合主要来自投影”这个层级下，最后你会得到常用的角度规律（经验上也非常常见）：

R(θ)≈RP+(RAP−RP)sin⁡2θ2=RP+ΔR2(1−cos⁡θ)R(\theta)\approx R_P+\bigl(R_{AP}-R_P\bigr)\sin^2\frac{\theta}{2} =R_P+\frac{\Delta R}{2}(1-\cos\theta)

平行/反平行就是 θ=0,π\theta=0,\pi 两点。

2) 你关心的 CIP：为什么要特别小心、以及经典做法怎么处理

CIP 的关键点是：电流沿膜面流，所以 GMR 很大一部分来自“电子在层间来回采样 + 界面自旋依赖散射”，而不是简单的“串联电阻”。经典的 Camley–Barnas 就是用 Boltzmann 方程 + 自旋依赖界面散射算 CIP-GMR，结论之一是：效应大小强烈依赖于层厚与平均自由程的比值以及界面散射的不对称性。(American Physical Society)

所以你用上面那套“最小并联模型”时，可以把它当成：

  • 先抓住角度依赖的“骨架”（通常是 cos⁡θ\cos\theta 或 sin⁡2(θ/2)\sin^2(\theta/2)）
  • 再把 CIP 的真实幅度、厚度依赖、界面粗糙/镜面率等，塞进“有效参数”（等效 ρmaj/min\rho_{\text{maj/min}}、等效界面电阻、等效自旋扩散长度）里

这一步的好处是：你后面换成“交错磁体-铁磁”时，角度依赖会被对称性强约束（下面讲），而 CIP 的复杂性更多体现在“系数多大、怎么随厚度变”。

3) 把下面那层换成“交错磁体/反铁磁”：角度项会长什么样？

你说的“交错磁体”在近年的语境里通常就是 altermagnet：** 共线、补偿、无净磁矩**，但能带出现类似铁磁的自旋劈裂/自旋输运特征。(American Physical Society)
一些工作也在异质结里讨论了它的自旋选择输运（甚至 TMR 很大）。(arXiv)

3.1 先说一个“对称性铁律”：反铁磁/交错磁的 Néel 矢量有 n≡−n\mathbf n\equiv-\mathbf n

如果你下面那层的序参量是 Néel 矢量 n\mathbf n，而体系在没有外加“选定子晶格”的机制时通常满足 n\mathbf n 与 −n-\mathbf n 物理等价，那么电阻作为标量量，不能含有线性的 m⋅n\mathbf m\cdot\mathbf n 项，最低阶只能是

(m⋅n)2=cos⁡2θ(\mathbf m\cdot\mathbf n)^2=\cos^2\theta

因此“最小角度依赖”会变成 π\pi 周期的形式，例如：

R(θ)≈R0+ΔR sin⁡2θ(或等价的 R0+ΔR (1−cos⁡2θ))R(\theta)\approx R_0+\Delta R\,\sin^2\theta \quad(\text{或等价的 }R_0+\Delta R\,(1-\cos^2\theta))

这和两铁磁自旋阀的   R(θ)∝(1−cos⁡θ)  \;R(\theta)\propto(1-\cos\theta)\;（2π2\pi 周期）是非常关键的区别：
FM/FM：cos⁡θ\cos\theta；AFM(or 交错磁)/FM：更自然的是 cos⁡2θ\cos^2\theta。

这条“角度项是 cos⁡θ\cos\theta 还是 cos⁡2θ\cos^2\theta”在实验上也很好用：看周期与对称性就能初筛机制。

3.2 什么时候你仍然可能得到“类 GMR 的 cos⁡θ\cos\theta”？

如果界面或结构打破了子晶格等价性，线性项就“被允许”了，比如：

  • 不补偿/终止面导致某个子晶格在界面占优
  • 界面强杂化只偏向某类原子位点
  • 交错磁体本身的“有效输运自旋极化”在你选定的电流方向上不为零（这在 altermagnet 里是有可能发生的，且对晶体取向很敏感）(AIP Publishing)

这时你就可以把交错磁体当成“一个没有净磁矩、但有方向相关有效极化 Palt(j^,n)P_\text{alt}(\hat{\mathbf j},\mathbf n) 的磁性导体”，然后直接套回自旋阀的骨架：

G(θ)≈G0(1+PFM Paltcos⁡θ)G(\theta)\approx G_0\bigl(1+P_\text{FM}\,P_\text{alt}\cos\theta\bigr)

或在电阻层面近似成 R(θ)∼1−cos⁡θR(\theta)\sim 1-\cos\theta 的形状。

3.3 你要做的“先学 FM/FM 再套进去”的最实用落地方式

我建议你把模型拆成两块：

(A) 角度骨架（由投影/对称性决定）

  • FM/FM：  R(θ)=RP+ΔRsin⁡2(θ/2)\;R(\theta)=R_P+\Delta R\sin^2(\theta/2)
  • AFM(or altermagnet)/FM（n≡−n\mathbf n\equiv-\mathbf n 且界面补偿）：  R(θ)=R0+ΔRsin⁡2θ\;R(\theta)=R_0+\Delta R\sin^2\theta

(B) “CIP 系数”怎么来（由界面散射 + 平均自由程/层厚决定）
把 Camley–Barnas 这类半经典结果压缩成几个有效参数：界面自旋不对称散射、层厚/平均自由程比、（可选）自旋扩散长度等。(American Physical Society)

4) 给你一个很具体的“下一步怎么判别你想要的效应”的清单

你后面做 FM/交错磁体的 CIP 测量时，建议优先看这三条“指纹”：

  1. 角度周期：
  • 看到 2π2\pi 周期、∼(1−cos⁡θ)\sim(1-\cos\theta) → 更像 FM/FM-GMR 骨架
  • 看到 π\pi 周期、∼sin⁡2θ\sim\sin^2\theta → 更像 Néel 型（n≡−n\mathbf n\equiv-\mathbf n）骨架

  1. 样品旋转（晶向）敏感性（altermagnet 常常很强）：同样的 n\mathbf n 与 j\mathbf j 相对晶轴转动，ΔR\Delta R 可能大变甚至变号。(American Physical Society)

  2. 对照样品剥离 AMR 背景：CIP 里 FM 自己的 AMR 很容易“看起来像角度电阻”。做 FM 单层、交错磁体单层（或加一层不磁的对照）能把“自旋阀项”更干净地扣出来。

如果你愿意，我可以按你具体设想的堆叠（比如 FM / spacer / altermagnet 还是直接 FM/altermagnet，以及交错磁体是金属还是半导体）把上面的“角度骨架 + CIP 系数”写成一套可拟合的 R(θ)R(\theta) 公式：

  • 只用 3–5 个拟合参数（R0,ΔRR_0,\Delta R + 一个“CIP 形状/界面强度参数” + 可选 AMR 项），
  • 并告诉你哪些参数在厚度扫描里应该怎么标度变化（从而检验是不是你要的 GMR-like 机制）。

質問

常见Co薄膜的电导率大概多大？

質問

对于Co薄膜来说，一般实验上测到的电导率大概多大？

Python

python
import numpy as np
def sigma_from_microohm_cm(r):
    # r in microohm*cm
    rho = r*1e-8 # ohm*m
    return 1/rho
for r in [6,9.8,15,20,99,276]:
    print(r, sigma_from_microohm_cm(r))

思考

Considering optimal approach for resistivity data

I’m deciding whether to use a PDF that contains numeric resistivity, but I realize there are instructions to take screenshots for PDFs. The document is 34 pages long, and the resistivity table is early on, but maybe it’s better to avoid the PDF by using easily accessible sources like ChemRxiv or Springer. I’ll stick with those for now to save effort.

Focusing on typical conductivity values

It looks like we don't need to dig for extra citations on comprehensive compilations. The existing sources should suffice. I'll stick with what’s already cited and avoid the need to take screenshots. I’ll provide a concise answer in Chinese, estimating typical resistivity values and converting them to conductivity.

Summarizing resistivity and conductivity values

I’ll summarize typical resistivity and conductivity values for cobalt films, referencing the relevant sources. Bulk Co resistivity is around 6 µΩ·cm, sputtered films can have 9.8 µΩ·cm at high substrate temperatures, and ALD films range from 15–20 µΩ·cm. I'll infer a typical value range for thin, sputtered films, avoiding uncited numbers.

Summarizing typical Co thin film values

User asked for typical values for Co films. I’d say that in most labs, resistivity is around 10–20 µΩ·cm with conductivity ranging from 5e6 to 1e7 S/m. If the process isn't optimized, the resistivity could be higher. I’ll also include a simple conductivity conversion formula.

Thought for 3m 4s

回答

实验里 Co 薄膜通常更常报的是电阻率 ρ\rho，电导率就是 σ=1/ρ\sigma=1/\rho。给你一个“常见量级 + 为什么会飘得很大”的答案（默认室温附近）：

  • 块材 Co 的电阻率大约 ρ≈6×10−8 Ω⋅m=6 μΩ⋅cm\rho \approx 6\times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}=6\ \mu\Omega\cdot\text{cm}，对应
    σ≈1.7×107 S/m\sigma \approx 1.7\times 10^{7}\ \text{S/m}。 (webelements.com)

  • 工艺比较“干净/致密”的金属 Co 薄膜（几十 nm 量级），常能做到 ρ∼10\rho \sim 10–20 μΩ⋅cm20\ \mu\Omega\cdot\text{cm}：

    • 例：磁控溅射 10–55 nm 的工作里，42 nm 的最小值到 ρ=9.8 μΩ⋅cm⇒σ≈1.0×107 S/m\rho=9.8\ \mu\Omega\cdot\text{cm}\Rightarrow \sigma\approx 1.0\times10^{7}\ \text{S/m}。 (Springer)
    • 例：ALD 约 22 nm 报 ρ=15\rho=15–20 μΩ⋅cm⇒σ≈(5.0–6.7)×106 S/m20\ \mu\Omega\cdot\text{cm}\Rightarrow \sigma\approx(5.0\text{–}6.7)\times10^{6}\ \text{S/m}。 (ChemRxiv)

  • 如果薄膜更“脏/多孔/非晶/很薄导致尺寸散射强”，ρ\rho 会大幅上升到 102 μΩ⋅cm10^2\ \mu\Omega\cdot\text{cm} 甚至更高：
    例如一项溅射 Co 薄膜随形貌从非晶到多晶变化，ρ\rho 报到 9999–276 μΩ⋅cm276\ \mu\Omega\cdot\text{cm}，对应
    σ≈(3.6×105–1.0×106) S/m\sigma\approx (3.6\times10^{5}\text{–}1.0\times10^{6})\ \text{S/m}。 (Springer)

所以一句话： 实验上 Co 薄膜的 σ\sigma 往往在 10610^{6}–107 S/m10^{7}\ \text{S/m} 这个区间里跑；做得很致密时接近 107 S/m10^{7}\ \text{S/m}，极端“差/超薄/高缺陷”时可能掉到 10510^{5}–106 S/m10^{6}\ \text{S/m}。

如果你告诉我你大概的 **厚度范围（比如 2–5 nm 还是 20–50 nm）**和 沉积方法（溅射/蒸发/ALD），我可以把这个范围再收窄到更贴近你做 CIP 自旋阀时会用到的“典型值”。

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