logoChat01.ai

Жеребцов надо разместить в конюшнях. В первой коню...

作成日: 2025年12月24日

使用モデル GPT-5.2 Thinking by Chat01

質問

Жеребцов надо разместить в конюшнях. В первой конюшне в ряд располагаются 16 стойл (стойло − огороженное место для одной лошади). Но жеребцов нельзя помещать в соседние стойла. Первого жеребца помещают в любое стойло из 16, второго − в любое стойло, не соседнее с первым, третьего − в любое стойло, не соседнее с первым и вторым, и так далее, пока это возможно. Переводить жеребцов, уже помещённых в стойла, нельзя. Стойла пронумерованы от 1 до 16. Сколько возможно различных наборов номеров занятых стойл в первой конюшне?

Python

python
def f(n):
    dp={0:1,1:1,2:2,3:2}  # define f(0)=1 for recurrence convenience
    for k in range(4,n+1):
        dp[k]=dp[k-2]+dp[k-3]
    return dp[n], dp
f16, dp=f(16)
f16, dp


(86,
 {0: 1,
  1: 1,
  2: 2,
  3: 2,
  4: 3,
  5: 4,
  6: 5,
  7: 7,
  8: 9,
  9: 12,
  10: 16,
  11: 21,
  12: 28,
  13: 37,
  14: 49,
  15: 65,
  16: 86})

Python

python
def is_independent(S):
    S=set(S)
    for v in S:
        if v-1 in S or v+1 in S:
            return False
    return True

def is_maximal(S,n):
    S=set(S)
    if not is_independent(S): 
        return False
    for v in range(1,n+1):
        if v not in S:
            # can we add v?
            if (v-1 not in S) and (v+1 not in S):
                return False
    return True

def brute_count(n):
    cnt=0
    for mask in range(1<<n):
        S=[i+1 for i in range(n) if mask>>i &1]
        if is_maximal(S,n):
            cnt+=1
    return cnt

for n in range(1,11):
    print(n, brute_count(n))
print("n=16", brute_count(16))

思考

def is_independent(S): S=set(S) for v in S: if v-1 in S or v+1 in S: return False return True

def is_maximal(S,n): S=set(S) if not is_independent(S): return False for v in range(1,n+1): if v not in S: # can we add v? if (v-1 not in S) and (v+1 not in S): return False return True

def brute_count(n): cnt=0 for mask in range(1<<n): S=[i+1 for i in range(n) if mask>>i &1] if is_maximal(S,n): cnt+=1 return cnt

for n in range(1,11): print(n, brute_count(n)) print("n=16", brute_count(16))

Thought for 53s

回答

Итоговый набор занятых стойл после остановки процесса — это максимальное (по включению) множество номеров без соседних: добавить ещё одно стойло уже нельзя.

Обозначим через f(n)f(n) число таких возможных итоговых наборов для ряда из nn стойл.

Рассмотрим стойло 1.

  • Если 1 занято, то 2 обязательно свободно, а на стойлах 3,…,n3,\dots,n остаётся та же задача: f(n−2)f(n-2).
  • Если 1 свободно, то для максимальности 2 обязано быть занято (иначе можно было бы поставить жеребца в 1). Тогда 3 свободно, и остаётся задача на стойлах 4,…,n4,\dots,n: f(n−3)f(n-3).

Получаем рекурсию:

f(n)=f(n−2)+f(n−3).f(n)=f(n-2)+f(n-3).

Базы:

  • f(1)=1f(1)=1 (только {1}\{1\}),
  • f(2)=2f(2)=2 ({1}\{1\} или {2}\{2\}),
  • f(3)=2f(3)=2 ({2}\{2\} или {1,3}\{1,3\}).

Дальше считаем:

f(4)=3, f(5)=4, f(6)=5, f(7)=7, f(8)=9, f(9)=12, f(10)=16,f(11)=21, f(12)=28, f(13)=37, f(14)=49, f(15)=65, f(16)=86.\begin{aligned} &f(4)=3,\ f(5)=4,\ f(6)=5,\ f(7)=7,\ f(8)=9,\ f(9)=12,\ f(10)=16,\\ &f(11)=21,\ f(12)=28,\ f(13)=37,\ f(14)=49,\ f(15)=65,\ f(16)=86. \end{aligned}

Ответ: 8686 различных наборов номеров занятых стойл.

質問

Подряд растут 11 деревьев: кедр, сосна, кедр, 7 сосен, кедр. На втором кедре сидят 2 бельчонка, а на любых трёх соседних деревьях сидят вместе 12 бельчат. Сколько бельчат сидит на первом и последнем кедрах вместе?

思考

Solving the squirrel puzzle

I need to solve a puzzle with 11 trees, alternating between cedar and pine. There are squirrels on every set of three consecutive trees totaling 12 squirrels, and we know the number of squirrels on the

Thought for 6s

回答

Обозначим через xix_i число бельчат на ii-м дереве (i=1,…,11i=1,\dots,11).

Дано: на любых трёх соседних деревьях вместе 12 бельчат, то есть для i=1,…,9i=1,\dots,9

xi+xi+1+xi+2=12,x_i+x_{i+1}+x_{i+2}=12,

и на втором кедре (это 3-е дерево) x3=2x_3=2.

Вычтем два соседних равенства:

(xi+xi+1+xi+2)−(xi+1+xi+2+xi+3)=0⇒xi=xi+3.(x_i+x_{i+1}+x_{i+2})-(x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3})=0 \Rightarrow x_i=x_{i+3}.

Значит, последовательность периодична с периодом 3:

x1=x4=x7=x10,x2=x5=x8=x11,x3=x6=x9.x_1=x_4=x_7=x_{10},\quad x_2=x_5=x_8=x_{11},\quad x_3=x_6=x_9.

Из x3=2x_3=2 получаем x6=2x_6=2 и x9=2x_9=2.

Теперь используем сумму для первых трёх деревьев:

x1+x2+x3=12⇒x1+x2+2=12⇒x1+x2=10.x_1+x_2+x_3=12 \Rightarrow x_1+x_2+2=12 \Rightarrow x_1+x_2=10.

Первый кедр — это дерево 1 (x1x_1), последний кедр — дерево 11, а x11=x2x_{11}=x_2.
Значит, на первом и последнем кедрах вместе:

x1+x11=x1+x2=10.x_1+x_{11}=x_1+x_2=10.

Ответ: 10.

質問

Площадка имеет форму квадрата ABCD, сторона квадрата равна 8 метрам. В вершине A сидит бельчонок. Он бежит к стороне BC (любым путём). Достигнув сторону BC в некоторой точке M (M∈BC), бельчонок замечает, что на стороне CD лежит шишка, на расстоянии четверти стороны от точки D. Бельчонок бежит к этой шишке. Найдите наименьшую возможную длину пути, пройденного бельчонком от точки A до шишки. В ответ запишите квадрат полученной величины.

思考

Setting up coordinates for shortest path problem

Alright, the goal is to find the shortest path from A to a pinecone point on line CD, passing through point M on segment BC. I'll place the square ABCD with vertices at A(0,0), B(8,0), C(8,8), and D(0,8). The line BC is the vertical line x=8, and CD is the horizontal line y=8.

Minimizing path length from A to P

I’ve placed the pinecone point P at (2,8) on line CD, and I want to minimize the total path from A to P via M. M lies on line BC with coordinates (8,t). I’m using a reflection method to simplify this and reflect P across x=8. This gives P' at (14,8). Now, I’ll evaluate the shortest path from A to P' and check if the intersection falls within the BC segment.

Thought for 10s

回答

Расположим квадрат на координатной плоскости: A(0,0),  B(8,0),  C(8,8),  D(0,8)A(0,0),\; B(8,0),\; C(8,8),\; D(0,8).

Шишка лежит на CDCD на расстоянии 14⋅8=2\frac14\cdot 8=2 от DD, значит её точка P(2,8)P(2,8).

Бельчонок бежит из AA к стороне BCBC в точку M∈BCM\in BC, затем из MM к PP. Кратчайший путь при фиксированном MM — это ломаная AM+MPAM+MP, и нужно минимизировать ∣AM∣+∣MP∣|AM|+|MP| по M∈BCM\in BC (где BCBC — прямая x=8x=8).

Отразим точку PP относительно прямой x=8x=8. Получим P′(14,8)P'(14,8) (потому что 22 на 66 левее 88, значит станет на 66 правее: 8+6=148+6=14).

Тогда для любой точки MM на прямой x=8x=8:

∣MP∣=∣MP′∣,|MP| = |MP'|,

а значит минимизация ∣AM∣+∣MP∣|AM|+|MP| равносильна минимизации ∣AM∣+∣MP′∣|AM|+|MP'|, которая достигается на прямой AP′AP' (по принципу отражения), если точка пересечения с x=8x=8 попадает на отрезок BCBC.

Проверим: прямая через A(0,0)A(0,0) и P′(14,8)P'(14,8) имеет вид y=814x=47xy=\frac{8}{14}x=\frac{4}{7}x. При x=8x=8 получаем y=327∈[0,8]y=\frac{32}{7}\in[0,8], значит всё корректно.

Тогда минимальная длина пути равна ∣AP′∣|AP'|:

∣AP′∣2=142+82=196+64=260.|AP'|^2 = 14^2+8^2 = 196+64 = 260.

Требуется квадрат длины, значит ответ: 260.

このQ&Aを共有