У Васи было пять палочек, длины которых — различны...

Обозначим длины палочек так:
$a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$ — все чётные натуральные.

---

1. Какие треугольники возможны до потери палочки

После того как Вася потерял среднюю палочку $a_3$, из оставшихся $\{a_1,a_2,a_4,a_5\}$ нельзя составить ни одного треугольника.
Значит, любой треугольник, который существовал до потери, обязан содержать палочку $a_3$.
Если бы был треугольник без $a_3$, он остался бы и после потери — против условия.

---

2. Тройка $(a_3,a_4,a_5)$ обязана быть треугольником

Предположим, что $(a_3,a_4,a_5)$ не образуют треугольник.
Тогда (так как это упорядоченные длины) имеем

$$a_5 \ge a_3 + a_4.$$

Но $a_3$ и $a_4$ — две самые длинные палочки кроме $a_5$.
Значит, сумма любых двух палочек, отличных от $a_5$, не больше $a_3+a_4 \le a_5$.
То есть ни с какими двумя другими палочками палочка $a_5$ не может участвовать в треугольнике — против условия задачи (для каждой палочки должна существовать подходящая тройка).

Следовательно, тройка $(a_3,a_4,a_5)$ — треугольник, и потому:

$$\boxed{a_5 < a_3 + a_4} \tag{1}$$

---

3. Неравенства из «отсутствия треугольников» после потери

После удаления $a_3$ среди палочек $\{a_1,a_2,a_4,a_5\}$ ни одна тройка не образует треугольник.

Рассмотрим нужные тройки:

• $(a_1,a_2,a_4)$ не треугольник → самая длинная сторона $a_4$ не меньше суммы двух других:

  $$\boxed{a_4 \ge a_1 + a_2} \tag{2}$$

• $(a_2,a_4,a_5)$ не треугольник → самая длинная сторона $a_5$ не меньше суммы двух других:

  $$\boxed{a_5 \ge a_2 + a_4} \tag{3}$$

Эти двух неравенств достаточно: из них автоматически следует, что и тройки $(a_1,a_2,a_5)$, $(a_1,a_4,a_5)$ тоже не треугольники.

---

4. Покажем, что самая короткая палочка не могла быть длины 2

Предположим, что $a_1 = 2$.

Тогда любые треугольники с палочкой $a_1$ должны содержать ещё и $a_3$ (см. пункт 1). Возможные тройки для палочки $a_1$:
$(a_1,a_2,a_3)$, $(a_1,a_3,a_4)$, $(a_1,a_3,a_5)$.

Проверим их по очереди:

1. Тройка $(a_1,a_2,a_3)$ треугольником быть не может.
   Условие треугольника (самая длинная сторона — $a_3$):

   $$a_3 < a_1 + a_2 = 2 + a_2.$$

   Но $a_3 > a_2$ и оба числа чётные, значит $a_3 \ge a_2 + 2$.
   Тогда одновременно:

   $$a_3 \ge a_2 + 2 \quad\text{и}\quad a_3 < a_2 + 2,$$

   что невозможно. Значит, $(a_1,a_2,a_3)$ не треугольник.

2. Тройка $(a_1,a_3,a_4)$: самая большая сторона $a_4$.
   Для треугольника нужно

   $$a_4 < a_1 + a_3 = 2 + a_3.$$

   Но $a_4 > a_3$ и числа чётные → $a_4 \ge a_3 + 2$.
   Опять противоречие, значит и эта тройка не треугольник.

3. Значит, единственная возможная тройка с палочкой длины 2, которая ещё может быть треугольником, — $(a_1,a_3,a_5)$.
   Для неё (самая длинная сторона $a_5$):

   $$a_5 < a_1 + a_3 = 2 + a_3. \tag{4}$$

С другой стороны, из (3) и того, что $a_4 > a_3$ и чётные длины:

$$a_4 \ge a_3 + 2,$$

поэтому

$$a_5 \ge a_2 + a_4 \ge a_2 + a_3 + 2.$$

Так как $a_2 \ge 4$, то

$$a_5 \ge a_3 + 6.$$

Итак, имеем одновременно:

$$a_5 \ge a_3 + 6 \quad\text{и}\quad a_5 < a_3 + 2,$$

что невозможно.

Следовательно, предположение $a_1 = 2$ неверно.
Значит,

$$\boxed{a_1 \ge 4}.$$

---

5. Если $a_1 \ge 6$, верхняя палочка получается слишком длинной

Пусть $a_1 \ge 6$. Тогда (минимально)
$a_2 \ge 8,\; a_3 \ge 10,\; a_4 \ge 12$.

Из (2): $a_4 \ge a_1 + a_2 \ge 6 + 8 = 14$.
Тогда из (3): $a_5 \ge a_2 + a_4 \ge 8 + 14 = 22$.

То есть при $a_1 \ge 6$ обязательно

$$a_5 \ge 22.$$

Но мы хотим найти наименьшую возможную длину $a_5$, поэтому остаётся единственный разумный вариант:

$$\boxed{a_1 = 4}.$$

---

6. Пусть $a_1 = 4$; найдём остальные минимально

Чётные возрастающие длины →

$$a_2 \ge 6,\quad a_3 \ge 8,\quad a_4 \ge 10.$$

Из (2): $a_4 \ge a_1 + a_2 = 4 + a_2$.
При минимальном $a_2 = 6$ это даёт $a_4 \ge 10$, что как раз совпадает с минимально возможным по порядку.

Чтобы минимизировать $a_5$, выгодно брать минимально возможные $a_2,a_3,a_4$, совместимые с условиями.

---

7. Треугольник $(a_1,a_2,a_3)$: быть или не быть?

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $(a_1,a_2,a_3)$ — не треугольник

Тогда

$$a_3 \ge a_1 + a_2 = 4 + a_2.$$

При $a_2 \ge 6$: $a_3 \ge 10$, а следовательно $a_4 \ge 12$.

Тогда из (3):

$$a_5 \ge a_2 + a_4 \ge 6 + 12 = 18.$$

То есть в этом случае $a_5 \ge 18$, а мы позже найдём конфигурацию с $a_5 = 16$.
Поэтому минимальное решение не может относиться к этому случаю.

---

Случай 2: $(a_1,a_2,a_3)$ — треугольник

Тогда:

$$a_3 < a_1 + a_2 = 10,$$

а также $a_3 > a_2$ и все длины чётные →

$$a_2 \ge 6,\quad a_3 \ge 8.$$

Чётные числа между 6 и 10 — это только 8, значит

$$\boxed{a_2 = 6,\ a_3 = 8}.$$

Теперь найдём $a_4$:

• по порядку и чётности $a_4 \ge 10$;
• по (2) $a_4 \ge a_1 + a_2 = 4 + 6 = 10$.

Значит, минимально возможное:

$$\boxed{a_4 = 10}.$$

---

8. Оценим $a_5$

Из (3):

$$a_5 \ge a_2 + a_4 = 6 + 10 = 16.$$

Из (1) (треугольник $(a_3,a_4,a_5)$):

$$a_5 < a_3 + a_4 = 8 + 10 = 18.$$

Так как $a_5$ — чётное натуральное, из

$$16 \le a_5 < 18$$

получаем

$$\boxed{a_5 = 16}.$$

То есть единственный кандидат на минимальное значение — 16.

---

9. Проверка набора $4,6,8,10,16$

Палочки: $4,6,8,10,16$.

До потери (все 5 палочек):

Треугольники (проверка суммы двух меньших сторон):

• $(4,6,8)$: $4+6=10>8$ — треугольник.
• $(4,8,10)$: $4+8=12>10$ — треугольник.
• $(6,8,10)$: $6+8=14>10$ — треугольник.
• $(8,10,16)$: $8+10=18>16$ — треугольник.

Каждая палочка участвует хотя бы в одном треугольнике:

• 4 — в $(4,6,8)$, $(4,8,10)$,
• 6 — в $(4,6,8)$, $(6,8,10)$,
• 8 — сразу в нескольких,
• 10 — в $(4,8,10)$, $(6,8,10)$, $(8,10,16)$,
• 16 — в $(8,10,16)$.

После потери средней палочки (длины 8): остаются 4,6,10,16.

Все тройки:

• $(4,6,10)$: $4+6=10$ — ровно, треугольника нет.
• $(4,6,16)$: $4+6=10<16$ — нет.
• $(4,10,16)$: $4+10=14<16$ — нет.
• $(6,10,16)$: $6+10=16$ — опять ровно, нет.

Треугольников действительно нет.

Все условия задачи выполнены.

---

Ответ: наименьшая возможная длина самой длинной палочки равна

$$\boxed{16}.$$