Рассмотрим предел последовательности:

$$e^{J_n}, \quad \text{где} \quad J_n = \int_0^{+\infty} \frac{1}{x} \left( e^{-3^n x^n} - e^{-9^n x^n} \right) dx$$

---

Шаг 1: Замена переменной

Пусть $t = x^n$, тогда:

• $x = t^{1/n}$
• $dx = \frac{1}{n} t^{1/n - 1} dt$

Теперь перепишем интеграл $J_n$:

$$J_n = \int_0^{+\infty} \frac{1}{x} \left( e^{-3^n x^n} - e^{-9^n x^n} \right) dx = \int_0^{+\infty} \frac{1}{t^{1/n}} \left( e^{-3^n t} - e^{-9^n t} \right) \cdot \frac{1}{n} t^{1/n - 1} dt$$

Сократим $t$-зависимые множители:

$$J_n = \frac{1}{n} \int_0^{+\infty} \frac{1}{t} \left( e^{-3^n t} - e^{-9^n t} \right) dt$$

---

Шаг 2: Вычисление предела

Обозначим:

$$I_n = \int_0^{+\infty} \frac{1}{t} \left( e^{-3^n t} - e^{-9^n t} \right) dt$$

Сделаем замену: $u = 3^n t$, тогда $du = 3^n dt$, $t = \frac{u}{3^n}$

$$I_n = \int_0^{+\infty} \frac{1}{t} \left( e^{-3^n t} - e^{-9^n t} \right) dt = \int_0^{+\infty} \left( \frac{1}{t} e^{-3^n t} - \frac{1}{t} e^{-9^n t} \right) dt$$

Рассмотрим:

• $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a t}}{t} dt = -\ln a + \text{const}$ — это сингулярный логарифмический интеграл, и он сходится в виде разности.

Используем известный интеграл:

$$\int_0^{+\infty} \frac{1 - e^{-a t}}{t} dt = \ln a \quad (a > 0)$$

Применим это к нашей разности:

$$I_n = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-3^n t} - e^{-9^n t}}{t} dt = \ln\left( \frac{9^n}{3^n} \right) = \ln(3^n) = n \ln 3$$

Тогда:

$$J_n = \frac{1}{n} \cdot n \ln 3 = \ln 3$$

---

Шаг 3: Финальный предел

$$e^{J_n} \to e^{\ln 3} = 3$$

---

✅ Ответ:

$$\boxed{\lim_{n \to \infty} e^{J_n} = 3}$$