В окружность вписаны три различных остроугольных т...

作成日: 2025年11月4日

質問

В окружность вписаны три различных остроугольных треугольника (общих вершин у треугольников нет). Докажите, что можно выбрать по одной вершине из каждого треугольника так, чтобы три выбранные точки образовали треугольник, у которого все углы не превышают 90°.

思考

Exploring obtuse triangles in circles

I’m thinking about whether a triangle inscribed in a circle is obtuse when one of its arcs is greater than a semicircle. The answer seems to be yes, since an inscribed angle greater than 90° corresponds to an arc larger than 180°. So, for an obtuse triangle, one of its sides must subtend an arc > 180°.

Non-obtuse triangles and arcs

A non-obtuse triangle happens when each side subtends an arc ≤ 180°, or when the vertices lie within a semicircle. The angle formed by two points on the circle corresponding to a chord reaches its max when the third point is at the midpoint of the arc, leading to an angle ≤ 90°.

Acute triangles and semicircles

I’m thinking through the geometry of acute triangles inscribed in a circle. Does there always exist an open semicircle containing all three vertices? If the triangle is acute, the circumcenter lies inside, but that doesn’t necessarily mean its vertices all fit within a semicircle. I’m not sure yet.

Forming non-obtuse triangles

I’m considering how to form a non-obtuse triangle by picking one vertex from each of three acute triangles. Each triangle’s vertices don’t necessarily fit into any semicircle, like an equilateral triangle, but I could explore using antipodal points or diameters. There might be a way to partition the circle into three disjoint sets of points.

Choosing vertices for non-obtuse triangles

I’m exploring how to select three points from different sets such that the resulting triangle is non-obtuse. The condition for a non-obtuse triangle is that no angle exceeds 90°, which happens if no vertex lies on the minor arc between the other two. This leads me to think about antipodal points and arcs.

Non-obtuse triangle selection

I’m exploring how to select points from three sets such that the resulting triangle has all angles ≤ 90°. A triangle is acute if no side is contained in a semicircle. I’m testing this idea with examples like equilateral triangles and considering specific geometric properties like semicircle containment and Thales' Theorem.

Assessing triangle properties

I’m working through triangle properties on a circle, analyzing how vertices and their antipodal points relate. For acute triangles, the antipodal points alternate around the circle. If we pick points from three triangles such that their antipodal points are not within each other’s arcs, it helps form non-obtuse triangles.

Analyzing acute triangles probabilistically

I’m thinking about how to choose vertices from three acute triangles and ensure the resulting triangle is non-obtuse. The challenge is ensuring no two points lie on the minor arc defined by the other two. By counting possible configurations and using probability, I hope to find a way to guarantee a non-obtuse triangle.

Constructing a non-obtuse triangle

I’m experimenting with how to select points to form a non-obtuse triangle. Using the concept of splitting the circle into arcs, I can determine when the angle at a vertex would be obtuse. If points from different triangles lie within specific arcs, it will ensure an acute angle. I’m developing an explicit construction for this.

Ensuring non-obtuse angles in a triangle

I’m exploring the conditions needed for a non-obtuse triangle. The key observation is to ensure that for any selected vertex, the points from other triangles do not lie within the minor arc opposite that vertex. This guarantees angles ≤ 90°. I’m attempting to develop a proof using the circle and partitions.

Characterizing obtuse triangles

To determine when an angle at vertex A is obtuse, we need to check if both other points, B and C, lie in the same open semicircle centered at A. If both do, the angle at A will be obtuse. If they don't, the angle will be 90° or less. This method simplifies the problem greatly!

Selecting appropriate points

I’m trying to figure out how to select points such that no two points from different sets fall within the same semicircle. If any pair falls in the same semicircle, that creates an obtuse angle. I’m utilizing a geometric method with semicircles and considering acute triangles along with a circular approach for organizing the points.

Determining valid configurations

I'm trying to figure out a way to select points, avoid obtuse triangles, and ensure each color class has at least one vertex on each side of a specific diameter. The key idea is to rotate the diameter, adjust counts, and track behavior as it moves. I'm working out how to get configurations where no angle exceeds 90°, but it's a bit tricky.

Refining point selection

I’ll try choosing the isolated vertex from the color in L and then pick two from R, ensuring the minor arc between them doesn’t include the isolated point. This ensures non-obtuse angles at the isolated point and the points in R. I need to consider rotating the diameter slightly to guarantee valid selection. It’s tricky, but I’m aiming for the right configuration.

Strategizing vertex selection

I’m considering how to select a vertex from each triangle such that the angles are non-obtuse. For each triangle, I’ll try to find vertices that are sufficiently spaced out (around 120° apart) to ensure the angles stay ≤ 90°. This involves partitioning the circle and selecting points carefully with respect to each triangle’s arcs. It’s complex but may work with some refinement!

Ensuring valid triangle selection

I’m ensuring that the angles at all three vertices are non-obtuse. Initially, I ensure no two vertices of one triangle fall within any semicircle of another triangle. From there, I select vertices such that angles are ≤ 90°, using geometric properties of arc intersections. This setup guarantees the triangle will be acute. Now, I finalize details on step-by-step vertex selection and consider boundary cases.

Thought for 8m 26s

回答

Рассмотрим окружность с центром $O$ . Для точки $X$ на окружности обозначим через

S(X)

открытую полуокружность длиной $180^\circ$ , «центрированную» в $X$ (то есть множество точек окружности, угловое расстояние от которых до $X$ меньше $90^\circ$ ).

Ключевое наблюдение

Для любых трёх точек $X,Y,Z$ на окружности

\angle YXZ>90^\circ \quad\Longleftrightarrow\quad Y,Z\in S(X).

Действительно, $\angle YXZ=\tfrac12 \widehat{YZ}$ , где $\widehat{YZ}$ — дуга, НЕ содержащая $X$ . Угол $>90^\circ$ тогда и только тогда, когда $X$ лежит на меньшей дуге между $Y$ и $Z$ , что эквивалентно тому, что $Y$ и $Z$ обе попадают в «окно» длиной $180^\circ$ вокруг $X$ , то есть в $S(X)$ .

Ещё один факт (классический): если три точки лежат в одной полуокружности, то середняя (по дуге) образует угол $\ge 90^\circ$ ; следовательно, вершины остроугольного треугольника не могут целиком помещаться в одну полуокружность.

Построение выбора

Пусть даны три остроугольных треугольника $A_1A_2A_3$ , $B_1B_2B_3$ , $C_1C_2C_3$ на окружности (вершины попарно различны).

Возьмём произвольно вершину $B$ из треугольника $B_1B_2B_3$ . Так как треугольник $A_1A_2A_3$ остроугольный, его три вершины не могут лежать в одной полуокружности. Значит, в полуокружности $S(B)$ лежат не более двух вершин из $\{A_1,A_2,A_3\}$ . Следовательно, существует вершина $A$ из $\{A_1,A_2,A_3\}$ , которая не принадлежит $S(B)$ , то есть дуговое расстояние от $A$ до $B$ не менее $90^\circ$ .

Тогда, по ключевому наблюдению, угол при $A$ в треугольнике $ABC$ не может быть тупым (ведь для тупого угла и $B$ , и $C$ должны лежать в $S(A)$ , а $B\notin S(A)$ ). Аналогично, угол при $B$ тоже не может быть тупым, так как $A\notin S(B)$ . Итак, два угла (при $A$ и при $B$ ) уже $\le 90^\circ$ , независимо от выбора $C$ .
Рассмотрим пересечение двух полуокружностей $S(A)\cap S(B)$ . Центры этих полуокружностей отстоят не менее чем на $90^\circ$ , поэтому

\text{длина дуги }S(A)\cap S(B)\le 90^\circ.

Треугольник $C_1C_2C_3$ остроугольный, следовательно, его вершины не могут все лежать внутри какой-либо дуги длиной $\le 180^\circ$ (в частности, тем более в дуге длиной $\le 90^\circ$ ). Значит, существует вершина $C$ из $\{C_1,C_2,C_3\}$ , которая не принадлежит $S(A)\cap S(B)$ .

Это означает, что хотя бы одно из включений $C\in S(A)$ или $C\in S(B)$ не выполняется; следовательно, по ключевому наблюдению, угол при $C$ тоже $\le 90^\circ$ .

Итак, выбрав таким образом $A\in\{A_i\}$ , $B\in\{B_j\}$ , $C\in\{C_k\}$ , мы получили треугольник $ABC$ , у которого все три угла не превосходят $90^\circ$ .

Что и требовалось доказать. ✅

質問

思考