Коротко: если $F(x)=g\big(t(x)\big)$, то

$$F'(x)=g'\!\big(t(x)\big)\cdot t'(x).$$

Это формула цепочки.

---

Почему так (короткий вывод)

Пусть $t$ дифференцируема в точке $x$, а $g$ — в точке $t(x)$. Тогда при малом приращении $\Delta x$:

$$\Delta t \approx t'(x)\,\Delta x,\qquad \Delta g \approx g'\!\big(t(x)\big)\,\Delta t.$$

Сложив, получаем для композиции:

$$\Delta F=\Delta\big(g\circ t\big)\approx g'\!\big(t(x)\big)\cdot t'(x)\,\Delta x,$$

а значит, в пределе при $\Delta x\to0$:

$$F'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta F}{\Delta x} =g'\!\big(t(x)\big)\,t'(x).$$

(Формально это доказывается через определение производной и непрерывность $t$ и $g'$ в нужных точках.)

---

Условия применимости

• $t$ должна быть дифференцируема в $x$;
• $g$ — дифференцируема в точке $u=t(x)$.

---

Примеры

1. $F(x)=\sin\!\big(x^2\big)$
   Здесь $g(u)=\sin u,\; t(x)=x^2$.

$$F'(x)=\cos\!\big(x^2\big)\cdot 2x=2x\cos(x^2).$$

2. $F(x)=e^{\,\ln(1+x)}$
   $g(u)=e^u,\; t(x)=\ln(1+x)$.

$$F'(x)=e^{\ln(1+x)}\cdot \frac{1}{1+x}=\frac{1+x}{1+x}=1$$

(на отрезке, где $1+x>0$).

3. $F(x)=\sqrt{\,1+\cos x\,}$
   $g(u)=\sqrt u,\; t(x)=1+\cos x$.

$$F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+\cos x}}\cdot(-\sin x) =-\frac{\sin x}{2\sqrt{1+\cos x}}.$$

4. Сложнее: $F(x)=\ln\!\big(\sin(x^3)\big)$
   Три слоя: $x\mapsto x^3\mapsto \sin(\cdot)\mapsto \ln(\cdot)$.

$$F'(x)=\frac{1}{\sin(x^3)}\cdot \cos(x^3)\cdot 3x^2 =3x^2\cot(x^3).$$

---

Обобщение (много слоёв)

Для $F(x)=f_n\!\circ f_{n-1}\!\circ\cdots\circ f_1(x)$:

$$F'(x)=f_n'\!\big(f_{n-1}\!\circ\cdots\circ f_1(x)\big)\cdot f_{n-1}'\!\big(f_{n-2}\!\circ\cdots\circ f_1(x)\big)\cdots f_1'(x).$$

---

Частые ошибки

• Забывают умножить на $t'(x)$ (берут только $g'$).
• Путают порядок: сначала подставляем $t(x)$ в $g'$, затем умножаем на $t'(x)$.
• Игнорируют область определения (например, $\ln(\cdot)$ требует положительный аргумент, корень — неотрицательный и т. п.).

Если хочешь, дам ещё примеры на твой выбор функции $g$ и $t$, или решу конкретную задачу.