logoChat01.ai

Вектор `veca+3vecb` перпендикулярен вектору `7veca...

作成日: 2025年9月21日

使用モデル GPT-5 by Chat01

質問

Вектор veca+3vecb перпендикулярен вектору 7veca-5vecb, а вектор veca-4vecb перпендикулярен вектору 7veca-2vecb. Найти угол между векторами veca и vecb.

Python

python
A,B,x= sp.symbols('A B x', real=True)
solutions = sp.solve([sp.Eq(7*A + 16*x -15*B,0), sp.Eq(7*A -30*x +8*B,0)],[A,B])
solutions


{A: 2*x, B: 2*x}

思考

Calculating cosθ

I figured out that A = 2x and B = 2x, so x must be positive. From that, I found x = A/2 = B/

Thought for 15s

回答

Решим через скалярные произведения. Обозначим
A=a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2A=\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2, B=b⃗⋅b⃗=∣b⃗∣2B=\vec b\cdot\vec b=|\vec b|^2, x=a⃗⋅b⃗x=\vec a\cdot\vec b.

Из перпендикулярности имеем:

(a⃗+3b⃗)⋅(7a⃗−5b⃗)=0⇒7A+16x−15B=0,(\vec a+3\vec b)\cdot(7\vec a-5\vec b)=0 \Rightarrow 7A+16x-15B=0, (a⃗−4b⃗)⋅(7a⃗−2b⃗)=0⇒7A−30x+8B=0.(\vec a-4\vec b)\cdot(7\vec a-2\vec b)=0 \Rightarrow 7A-30x+8B=0.

Решая систему:

{7A+16x−15B=07A−30x+8B=0⟹A=2x,  B=2x.\begin{cases} 7A+16x-15B=0\\ 7A-30x+8B=0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad A=2x,\; B=2x.

Так как A>0A>0 и B>0B>0, следует x>0x>0. Тогда

cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=xAB=x(2x)(2x)=x2x=12.\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} =\frac{x}{\sqrt{AB}} =\frac{x}{\sqrt{(2x)(2x)}}=\frac{x}{2x}=\frac12.

Следовательно, угол между a⃗\vec a и b⃗\vec b:

θ=60∘.\boxed{\theta=60^\circ}.

このQ&Aを共有