logoChat01.ai

Кондитерская продает торты с белковым кремом по це...

作成日: 2025年9月17日

使用モデル GPT-5 by Chat01

質問

Кондитерская продает торты с белковым кремом по цене 370 руб. Себестоимость изготовления торта составляет 200 руб. Если сразу изготавливать большое количество тортов (40 и больше), то их себестоимость снизится до 180 руб. Если торт не продан в течение суток, то его придется выбросить. Результаты продаж за последнее время сведены в таблицу:
Спрос 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Случаев 2 3 5 8 10 11 12 6 2

Python

python
demand = [30,35,40,45,50,55,60,65,70]
cases = [2,3,5,8,10,11,12,6,2]
total_cases = sum(cases)
probs = [c/total_cases for c in cases]
total_cases, probs[:3], sum(probs)

(59, [0.03389830508474576, 0.05084745762711865, 0.0847457627118644], 1.0)

Python

python
import numpy as np
price = 370
def unit_cost(q):
    return 180 if q>=40 else 200
def expected_profit(q):
    rev=0
    for d,p in zip(demand, probs):
        rev += price*min(q,d)*p
    cost = unit_cost(q)*q
    return rev - cost
res = [(q, expected_profit(q)) for q in range(10,81)]
max(res, key=lambda x: x[1])[:5]

(55, 8474.57627118644)

Python

python
[(q, round(expected_profit(q),2)) for q in range(40,71,5)]

[(40, 7380.51),
 (45, 8016.95),
 (50, 8402.54),
 (55, 8474.58),
 (60, 8201.69),
 (65, 7552.54),
 (70, 6715.25)]

Python

python
[(q, expected_profit(q)) for q in range(50,61)]

[(50, 8402.542372881355),
 (51, 8416.949152542376),
 (52, 8431.35593220339),
 (53, 8445.762711864409),
 (54, 8460.169491525423),
 (55, 8474.57627118644),
 (56, 8420.0),
 (57, 8365.42372881356),
 (58, 8310.847457627118),
 (59, 8256.271186440677),
 (60, 8201.694915254237)]

Python

python
import numpy as np
mean_d = sum(d*p for d,p in zip(demand, probs))
mean_d

52.20338983050848

Python

python
def expected_unsold(q):
    # E[(q-D)+]
    s=0
    for d,p in zip(demand, probs):
        s += max(q-d,0)*p
    return s
def stockout_prob(q):
    # P(D>q)
    return sum(p for d,p in zip(demand, probs) if d>q)
expected_uns = expected_unsold(55)
stockout = stockout_prob(55)
expected_uns, stockout

(5.338983050847457, 0.33898305084745767)

思考

Summarizing optimal production quantities

If you produce 55 cakes, you can expect approximately 5.34 unsold cakes per day (waste) and a stockout probability of about 33.9%. I’ll report that the optimal production quantity is 55 cakes, with an expected daily profit of around 8,475 rubles. I'll also provide sensitivity analysis for quantities 50 and 60 and check if producing fewer than 40 might be better.

Thought for 58s

回答

Задача: выбрать объём выпечки qq, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль за день.

Цена: 370 ₽.
Себестоимость: 200 ₽, а если q≥40q\ge 40 — 180 ₽.
Непроданное выбрасывается (ликвидационной стоимости нет).
Плотность спроса задаётся выборкой (всего 59 наблюдений):
30,35,40,45,50,55,60,65,70 шт с частотами 2,3,5,8,10,11,12,6,2.

Модель

Прибыль при спросе DD и выпуске qq:

π(q,D)=370⋅min⁡(q,D)−c(q)⋅q,c(q)={200,q<40180,q≥40\pi(q,D)=370\cdot \min(q,D) - c(q)\cdot q,\quad c(q)=\begin{cases} 200,& q<40\\ 180,& q\ge 40 \end{cases}

Ожидаемая прибыль:

E[π(q,D)]=370⋅E[min⁡(q,D)]−c(q) q,\mathbb E[\pi(q,D)]=370\cdot \mathbb E[\min(q,D)]-c(q)\,q,

где вероятности берём как «случаев/59».

Результат (ключевые qq)

qqОжид. прибыль, ₽
407 381
458 017
508 403
558 475
608 202
657 553
706 715

(Лучшее среди q<40q<40 ≈ 6 442 ₽ — заметно хуже, из-за высокой себестоимости 200 ₽.)

Оптимальное решение

Выпекать 55 тортов в день.
Ожидаемая прибыль ≈ 8 475 ₽/день (с учётом себестоимости 180 ₽ за штуку).

Дополнительно (для понимания рисков при q=55q=55):

  • Средний спрос ≈ 52.2 торта/день.
  • Вероятность дефицита P(D>55)P(D>55) ≈ 0.339.
  • Ожидаемые списания E[(q−D)+]\mathbb E[(q-D)_+] ≈ 5.34 торта/день.

Если нужно, могу показать детальный расчёт для любого другого qq или построить график «ожидаемая прибыль vs. выпуск».

質問

  1. Построить таблицу выигрышей-потерь.
  2. Определить количество изготовляемых тортов в соответствии с критерием максимума ожидаемой монетарной ценности (EMV).

Python

python
import numpy as np, pandas as pd

price=370
def cost(q):
    return 200 if q<40 else 180

demands=[30,35,40,45,50,55,60,65,70]
freq=[2,3,5,8,10,11,12,6,2]
n=sum(freq)
probs=[f/n for f in freq]
n, probs[:3], sum(probs)

(59, [0.03389830508474576, 0.05084745762711865, 0.0847457627118644], 1.0)

Python

python
def profit(q,d):
    c=200 if q<40 else 180
    sold=min(q,d)
    return price*sold - c*q

qs=[30,35,40,45,50,55,60,65,70]
payoff=pd.DataFrame(index=qs, columns=demands, dtype=float)
for q in qs:
    for d in demands:
        payoff.loc[q,d]=profit(q,d)

payoff.head()[:3]

        30      35      40      45      50      55      60      65      70
30  5100.0  5100.0  5100.0  5100.0  5100.0  5100.0  5100.0  5100.0  5100.0
35  4100.0  5950.0  5950.0  5950.0  5950.0  5950.0  5950.0  5950.0  5950.0
40  3900.0  5750.0  7600.0  7600.0  7600.0  7600.0  7600.0  7600.0  7600.0

Python

python
emv=payoff.dot(np.array(probs))
emv

30    5100.000000
35    5887.288136
40    7380.508475
45    8016.949153
50    8402.542373
55    8474.576271
60    8201.694915
65    7552.542373
70    6715.254237
dtype: float64

Python

python
best_by_demand=payoff.max(axis=0)
regret=best_by_demand - payoff
best_by_demand, regret.head(3)

(30     5100.0
 35     5950.0
 40     7600.0
 45     8550.0
 50     9500.0
 55    10450.0
 60    11400.0
 65    12350.0
 70    13300.0
 dtype: float64,
         30     35      40      45      50      55      60      65      70
 30     0.0  850.0  2500.0  3450.0  4400.0  5350.0  6300.0  7250.0  8200.0
 35  1000.0    0.0  1650.0  2600.0  3550.0  4500.0  5450.0  6400.0  7350.0
 40  1200.0  200.0     0.0   950.0  1900.0  2850.0  3800.0  4750.0  5700.0)

Python

python
eol=regret.dot(np.array(probs))
emv, eol, (best_by_demand*probs).sum()

(30    5100.000000
 35    5887.288136
 40    7380.508475
 45    8016.949153
 50    8402.542373
 55    8474.576271
 60    8201.694915
 65    7552.542373
 70    6715.254237
 dtype: float64,
 30    4762.711864
 35    3975.423729
 40    2482.203390
 45    1845.762712
 50    1460.169492
 55    1388.135593
 60    1661.016949
 65    2310.169492
 70    3147.457627
 dtype: float64,
 9862.71186440678)

思考

Finalizing tables

I’ll create the payoff and regret matrices, including the expected monetary value (EMV) for each quantity and show the calculation for q=55. We’ll combine the profit and loss (выигрыши-потерь) in one table, considering the potential losses for unsold quantities. I'll make sure to explain the reasoning behind the matrices and EMV.

Thought for 44s

回答

Ниже — всё, что нужно.

1) Таблица выигрышей-потерь

Параметры

Цена p=370p=370 ₽. Себестоимость:

  • c=200c=200 ₽ за шт., если q<40q<40;
  • c=180c=180 ₽ за шт., если q≥40q\ge 40.

Прибыль при спросе DD и выпуске qq:

π(q,D)=p⋅min⁡(q,D)−c(q) q.\pi(q,D)=p\cdot \min(q,D)-c(q)\,q.

Спрос (частоты → вероятности, всего 59 наблюдений):

D303540455055606570
случаев235810111262
P(D)P(D)0.03390.05080.08470.13560.16950.18640.20340.10170.0339

(а) Таблица выигрышей (прибылей π(q,D)\pi(q,D), ₽)

Строки — объём выпечки qq, столбцы — спрос DD.

q\D303540455055606570
30510051005100510051005100510051005100
35410059505950595059505950595059505950
40390057507600760076007600760076007600
45375056007450855085508550855085508550
50360054507300840095009500950095009500
553450530071508250935010450104501045010450
603300515070008100920010300114001140011400
653150500068507950905010150112501235012350
703000485067007800890010000111001220013300

(б) Таблица потерь (упущенная выгода, «regret», ₽)

Потеря = (максимальная прибыль в столбце при данном DD) – π(q,D)\pi(q,D).

q\D303540455055606570
3008502500345044005350630072508200
35100001650260035504500545064007350
401200200095019002850380047505700
451350350150010001900285038004750
5015005003001500950190028503800
551650650450300150095019002850
60180080060045030015009501900
6519509507506004503001500950
70210011009007506004503001500

2) Критерий EMV (макс. ожидаемой монетарной ценности)

Ожидаемая прибыль EMV(q)=∑Dπ(q,D) P(D) \mathrm{EMV}(q)=\sum_D \pi(q,D)\,P(D):

qqEMV, ₽
305 100.00
355 887.29
407 380.51
458 016.95
508 402.54
558 474.58
608 201.69
657 552.54
706 715.25

Решение по EMV: выпускать q=55q=55 тортов в день.
Ожидаемая прибыль ≈ 8 474.6 ₽.

Проверка через ожидаемую упущенную выгоду (EOL): минимальна также при q=55q=55 (EOL≈1 388.14 ₽), что согласуется с EMV.

質問

image.pngimage.png

реши эту задачу

Python

python
import math
D=2600
S=800
prices=[350,330,320,300]
breaks=[1,100,400,1000]  # min quantity for each price tier
ranges=[(1,99),(100,399),(400,999),(1000,10**9)]
candidates=[]
for P,(L,U) in zip(prices,ranges):
    h=0.15*P
    Q=math.sqrt(2*D*S/h)
    feasible=L<=Q<=U
    if feasible:
        candidates.append((P,L,U,'EOQ',Q))
    # also consider lower bound if not feasible? For all price tiers, for higher discount tiers, we can order at least L
    candidates.append((P,L,U,'LB',L))
candidates[:10],len(candidates)


([(350, 1, 99, 'LB', 1),
  (330, 100, 399, 'EOQ', 289.89723013579146),
  (330, 100, 399, 'LB', 100),
  (320, 400, 999, 'LB', 400),
  (300, 1000, 1000000000, 'LB', 1000)],
 5)

Python

python
for P,(L,U) in zip(prices,ranges):
    h=0.15*P
    Q=math.sqrt(2*D*S/h)
    print(P,h,Q,L,U)

Python

python
def total_cost(P,Q):
    D=2600;S=800;h=0.15*P
    return D*P + S*D/Q + h*Q/2
for (P,L,U,tag,Q) in candidates:
    print(tag,P,Q,total_cost(P,Q))

Python

python
D=2600; S=800
divisors=[]
for K in range(1,51):
    if D%K==0:
        Q=D//K
        # determine price bracket
        if Q>=1000:
            P=300
        elif Q>=400:
            P=320
        elif Q>=100:
            P=330
        else:
            P=350
        h=0.15*P
        total= D*P + K*S + h*Q/2
        divisors.append((K,Q,P,total))
divisors[:10], len(divisors)


([(1, 2600, 300, 839300.0),
  (2, 1300, 300, 810850.0),
  (4, 650, 320, 850800.0),
  (5, 520, 320, 848480.0),
  (8, 325, 330, 872443.75),
  (10, 260, 330, 872435.0),
  (13, 200, 330, 873350.0),
  (20, 130, 330, 877217.5),
  (25, 104, 330, 880574.0),
  (26, 100, 330, 881275.0)],
 12)

Python

python
def plan_cost(orders):
    D=2600;S=800
    total_purchase=0
    total_ordering=S*len(orders)
    holding=0
    for Q,P in orders:
        total_purchase+=Q*P
        h=0.15*P
        holding+= h * Q*Q /(2*D)
    return total_purchase+total_ordering+holding

plans=[
    [('two1300',)], # placeholder
]
print(plan_cost([(1000,300),(1000,300),(600,320)]))

思考

Selecting the optimal order size

The plan with two orders of 1300 each gives the lowest cost of 810,850. A mix of smaller orders just worsens costs, so sticking with equal orders of 1300 seems best. For part a, the optimal order size is Q* = 1000 with 3 orders per year, totaling 804,580 annually.

Calculating total costs

For part b, we look at two options: two orders of 130

Thought for 6m 8s

回答

Разберём «военный госпиталь» как EOQ с по-ассортиментными (all-units) скидками.

Дано

  • Годовой спрос D=2600D=2600 комплектов.
  • Постоянные издержки на заказ S=800S=800 руб./заказ.
  • Хранение — i=15%i=15\% от закупочной цены в год ⇒h(P)=0.15P\Rightarrow h(P)=0.15P.
  • Сетка скидок (за размер одного заказа QQ):
интервал QQцена
1…991\ldots 99P0=350P_0=350
100…399100\ldots 399P1=330P_1=330
400…999400\ldots 999P2=320P_2=320
≥1000\ge 1000P3=300P_3=300

a) Оптимальный размер заказа, число заказов и полная годовая стоимость

Для каждого ценового уровня считаем классический EOQ(P)=2DSh(P) \text{EOQ}(P)=\sqrt{\dfrac{2DS}{h(P)}} и проверяем, попадает ли он в соответствующий интервал.
Если не попадает — рассматриваем нижнюю границу интервала (минимум, чтобы получить цену). Полная годовая стоимость:

TC(Q,P)=D P+SDQ+h(P) Q2.TC(Q,P)=D\,P+\frac{SD}{Q}+\frac{h(P)\,Q}{2}.

Расчёты (руб.):

  • P0=350P_0=350, h=52.5h=52.5, EOQ≈281.5∉[1,99]EOQ\approx 281.5\notin[1,99] → не рассматриваем (доминирует уровень P1P_1).
  • P1=330P_1=330, h=49.5h=49.5, EOQ≈289.9∈[100,399]EOQ\approx 289.9\in[100,399]:
    TC(289.9,330)≈872 350TC(289.9,330)\approx 872\,350.
  • P2=320P_2=320, h=48h=48: нужен минимум Q=400Q=400:
    TC(400,320)≈846 800TC(400,320)\approx 846\,800.
  • P3=300P_3=300, h=45h=45: нужен минимум Q=1000Q=1000:
    TC(1000,300)≈804 580TC(1000,300)\approx \mathbf{804\,580}.

Вывод (a): оптимально брать Q\*=1000Q^\*=1000 (получаем цену 300 руб.),
число заказов в среднем D/Q\*=2.6D/Q^\*=2.6 (≈ 3 поставки в год),
минимальная полная годовая стоимость ≈804 580\approx 804\,580 руб.

b) План заказов с целым числом поставок и нулевым остатком в конце года

Требование: ∑Qk=2600\sum Q_k = 2600 и количество заказов — целое.
Поскольку цена 300 руб. действует при Qk≥1000Q_k\ge 1000, выгодно закупать только с этой ценой, а для минимизации складских затрат — равными партиями (суммарные годовые издержки хранения при разных QkQ_k равны 12D∑h(Pk)Qk2\tfrac{1}{2D}\sum h(P_k)Q_k^2, минимум — при равных QkQ_k внутри уровня цены).

Лучший план: 2 заказа по 1300 (оба ≥1000\ge 1000 → цена 300).

Проверка затрат:

  • Закупка: 2600×300=780 0002600\times 300=780\,000.
  • Оформление: 2×800=1 6002\times 800=1\,600.
  • Хранение: h=0.15×300=45h=0.15\times 300=45, годовые =45⋅13002=29 250= \dfrac{45\cdot 1300}{2}=29\,250.

Итого TC=780 000+1 600+29 250=810 850TC=780\,000+1\,600+29\,250=\mathbf{810\,850} руб.

Для сравнения, вариант «1000+1000+600» (две партии по 1000 по 300 руб. и одна 600 по 320 руб.) даёт ≈815 031\approx 815\,031 руб. — хуже из-за более высокой закупочной цены и больших складских.

Ответ

  • (a) Q\*=1000Q^\*=1000 шт., цена 300 руб., EMTC ≈804 580\approx \mathbf{804\,580} руб./год, среднее число поставок ≈2.6\approx 2.6.
  • (b) С учётом целочисленных поставок и нулевого остатка: 2 заказа по 1300 шт. (оба по 300 руб.); полная годовая стоимость ≈810 850\approx \mathbf{810\,850} руб.

質問

image.pngimage.png

реши эту задачу

Python

python
D=255*52
S=26
H=0.93
Q=(2*D*S/H)**0.5
D,S,H,Q


(13260, 26, 0.93, 861.0571147367111)

Python

python
import math
z=70/104
Phi=0.5*(1+math.erf(z/math.sqrt(2)))
Phi


0.7495508228047897

Python

python
import math
def z_from_p(p):
    lo,hi=-10,10
    for _ in range(80):
        mid=(lo+hi)/2
        if 0.5*(1+math.erf(mid/math.sqrt(2)))<p:
            lo=mid
        else:
            hi=mid
    return (lo+hi)/2
for p in [0.994,0.965,0.91,0.75]:
    print(p, z_from_p(p))

思考

import math def z_from_p(p): lo,hi=-10,10 for _ in range(80): mid=(lo+hi)/2 if 0.5*(1+math.erf(mid/math.sqrt(2)))<p: lo=mid else: hi=mid return (lo+hi)/2 for p in [0.994,0.965,0.91,0.75]: print(p, z_from_p(p))

Thought for 1m 35s

回答

Ниже — расчёт по классической модели (EOQ + точка заказа с нормальным спросом).

Дано

  • Средний недельный спрос dнед=255d_{\text{нед}}=255, σнед=52\sigma_{\text{нед}}=52.
  • Время поставки L=4L=4 недели → спрос за срок поставки:
    μL=dнедL=1020\mu_L= d_{\text{нед}}L=1020,  σL=σнедL=104\ \sigma_L=\sigma_{\text{нед}}\sqrt{L}=104.
  • Затраты на заказ S=26S=26 $.
  • Годовые удельные затраты хранения H=0.93H=0.93 $/ед.
  • Годовой спрос D=52⋅255=13 260D = 52\cdot 255 = 13\,260 ед.

a) EOQ, минимизирующий годовые издержки

Q∗=2DSH=2⋅13,260⋅260.93≈861 ед.Q^*=\sqrt{\frac{2DS}{H}} =\sqrt{\frac{2\cdot 13{,}260\cdot 26}{0.93}}\approx \mathbf{861}\ \text{ед.}

Дополнительно:

  • число заказов в год N=D/Q∗≈15.4N=D/Q^*\approx 15.4;
  • средний цикл между заказами ≈52/N≈3.4\approx 52/N \approx 3.4 недели.

b) Точка заказа при уровне обслуживания P1=99.4%P_1=99.4\%

Для циклового уровня обслуживания:

R=μL+zP1 σL,z0.994≈2.512.R = \mu_L + z_{P_1}\,\sigma_L,\qquad z_{0.994}\approx 2.512. R≈1020+2.512⋅104≈1282 ед.R \approx 1020 + 2.512\cdot 104 \approx \mathbf{1282}\ \text{ед.}

(безопасный резерв SSP1=zσL≈261SS_{P_1}= z\sigma_L \approx \mathbf{261} ед.)

c) Стоимость обеспечения уровня P1P_1 и насколько она больше, чем при P2=96.5%P_2=96.5\%

Затраты, зависящие только от уровня сервиса, — это годовые затраты на поддержание страхового запаса:

CSS(P)=H⋅SS=H⋅zP σL.C_{\text{SS}}(P)=H\cdot SS=H\cdot z_P\,\sigma_L .
  • z0.994≈2.512z_{0.994}\approx 2.512:
    SSP1≈261SS_{P_1}\approx 261 → CSS(P1)≈0.93⋅261≈241.8 C_{\text{SS}}(P_1)\approx 0.93\cdot 261\approx \mathbf{241.8}\ /год$.
  • z0.965≈1.812z_{0.965}\approx 1.812:
    SSP2≈188SS_{P_2}\approx 188 → CSS(P2)≈0.93⋅188≈174.8 C_{\text{SS}}(P_2)\approx 0.93\cdot 188\approx \mathbf{174.8}\ /год$.

Разница: ΔC≈67 \Delta C\approx \mathbf{67}\ /год(за(заP_1сверхсверхP_2$).

d) Какому уровню обслуживания соответствует заданный запас V=70V=70 ед.?

z=VσL=70104≈0.6745,P=Φ(z)≈75.0%.z=\frac{V}{\sigma_L}=\frac{70}{104}\approx 0.6745,\quad P=\Phi(z)\approx \mathbf{75.0\%}.

e) Безопасный резерв и риск дефицита при P3=91%P_3=91\%

z0.91≈1.341,SSP3=zσL≈1.341⋅104≈139 ед.z_{0.91}\approx 1.341,\quad SS_{P_3}=z\sigma_L\approx 1.341\cdot 104\approx \mathbf{139}\ \text{ед.}

Риск дефицита на цикл =1−P3≈9%=1-P_3\approx \mathbf{9\%}.

Итоги (кратко)

  • Q∗≈861Q^*\approx 861 ед.
  • Точка заказа для 99.4%99.4\%: R≈1282R\approx 1282 ед.
  • Цена повышения сервиса с 96.5%96.5\% до 99.4%99.4\%: ≈ $67/год дополнительных затрат на страховой запас.
  • V=70V=70 ед. ↔ уровень обслуживания ≈ 75%.
  • Для 91%91\%: SS≈139SS\approx 139 ед., риск дефицита ≈ 9%.

このQ&Aを共有