logoChat01.ai

определите количество шестнадцатеричных пятизначны...

作成日: 2025年7月27日

使用モデル O3 by Chat01

質問

определите количество шестнадцатеричных пятизначных чисел, в записи которых есть не более одной цифры 5, и ровно три цифры с числовым значением,не превышающим 8

Python

python
import itertools

digits = list(range(16))  # 0..15
L = set(range(0,9)) # 0..8
H = set(range(9,16)) # 9..15

def ok(num_tuple):
    if num_tuple[0]==0: return False # leading zero -> not 5-digit
    # exactly 3 digits with value <=8
    cL = sum(1 for d in num_tuple if d<=8)
    if cL != 3: return False
    # at most one 5
    if sum(1 for d in num_tuple if d==5) > 1:
        return False
    return True

count=0
for tup in itertools.product(digits, repeat=5):
    if ok(tup):
        count+=1
count


321440

思考

Summarizing combinatorics solution

We’re looking at 321,440 valid sequences. To explain the combinatorics in Russian, I’ll use a two-step counting method:

  1. Case 1: First digit in H position, then count remaining H and L digits.
  2. Case 2: First digit in L position (1-8), choose other positions, assign digits.

After counting, subtract cases involving two or more fives (since they create invalid sequences).

Net result from calculations confirms the total. I’ll also make sure the leading digit issue (non-zero) is handled carefully when counting.

Calculating combinatorics steps

I’m breaking this down into simpler steps for calculating five-digit numbers with certain restrictions:

  1. Analyze positions for L and H digits, considering the leading digit cannot be zero.
  2. Use combinations to count the valid arrangements with 3 L digits and 2 H digits.
  3. Carefully subtract cases with two fives that violate the rules.
  4. Total these as needed, using simplifications where possible.

I’ll ensure the explanation is clear, focusing on Russian language structure to make it easier to follow. The final count is 321,440 after the adjustments.

Thought for 1m 18s

回答

Рассмотрим 16-ричную запись длины 5 (старшая цифра ≠ 0).
Обозначим множества

  • L={0,1,2,3,4,5,6,7,8}L=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\} (9 вариантов),
  • H={9,A,B,C,D,E,F}H=\{9,A,B,C,D,E,F\} (7 вариантов).

Нужно ровно три цифры из LL и две из HH, причём цифра 55 встречается не более одного раза.

1) Считаем все числа с ровно 3 LL-цифрами и 2 HH-цифрами (пока без ограничения на «5»)

Разобьём по старшей цифре.

A. Старшая цифра в HH: 7 способов.
Из оставшихся 4 позиций выбираем ещё одну под HH: (41)\binom{4}{1}.
На двух HH-позициях по 7 вариантов; на трёх LL-позициях по 9 вариантов:

A=7⋅(41)⋅7⋅93=142 884.A=7\cdot \binom{4}{1}\cdot 7\cdot 9^3=142\,884.

B. Старшая цифра в L∖{0}L\setminus\{0\}: 8 способов.
Из оставшихся 4 позиций выбираем ещё две под LL: (42)\binom{4}{2}.
На двух HH-позициях по 7 вариантов; на двух LL-позициях по 9 вариантов:

B=8⋅(42)⋅92⋅72=190 512.B=8\cdot \binom{4}{2}\cdot 9^2\cdot 7^2=190\,512.

Итого без учёта ограничения на число «5»:

A+B=333 396.A+B=333\,396.

2) Вычтем случаи, где «5» встречается не менее двух раз

  • Три пятёрки. Все три LL-позиции — это «5», а две HH-позиции — любые из 7:
N3=(53)⋅72=10⋅49=490.N_{3}= \binom{5}{3}\cdot 7^2=10\cdot 49=490.
  • Ровно две пятёрки. Выбираем 3 LL-позиции (53)\binom{5}{3}, среди них 2 под «5» (32)\binom{3}{2}; третья LL-цифра — любая из L∖{5}L\setminus\{5\} (8 вариантов); HH-позиции — по 7:
N2,raw=(53)(32)⋅8⋅72=11 760.N_{2,\text{raw}}=\binom{5}{3}\binom{3}{2}\cdot 8\cdot 7^2=11\,760.

Но среди них недопустимы те, где эта «не‑5» равна 0 и стоит первой: выбрать две позиции под «5» среди последних четырёх (42)=6\binom{4}{2}=6, HH-цифры — по 7:

N2,inv=(42)⋅72=294.N_{2,\text{inv}}=\binom{4}{2}\cdot 7^2=294.

Значит допустимых с двумя пятёрками:

N2=11 760−294=11 466.N_{2}=11\,760-294=11\,466.

Итого «плохих» (с ≥2 пятёрок):

Nbad=N3+N2=490+11 466=11 956.N_{\text{bad}}=N_{3}+N_{2}=490+11\,466=11\,956.

Ответ

N=(A+B)−Nbad=333 396−11 956=321 440.N=(A+B)-N_{\text{bad}}=333\,396-11\,956=\boxed{321\,440}.

Таким образом, искомых пятизначных 16‑ричных чисел 321 440.

このQ&Aを共有