$(1-\frac{1}{n^2})^n$的极限是多少

记住 $n\to\infty$ 时取极限：

(1-\tfrac1n)^{n^2}=e^{\,n^{2}\ln(1-\tfrac1n)}.

展开对数：

\ln\!\bigl(1-\tfrac1n\bigr)=-\frac1n-\frac1{2n^{2}}+O\!\bigl(\tfrac1{n^{3}}\bigr).

于是

n^{2}\ln\!\bigl(1-\tfrac1n\bigr)=n^{2}\!\left(-\frac1n-\frac1{2n^{2}}+O\!\bigl(\tfrac1{n^{3}}\bigr)\right) =-n-\tfrac12+O\!\bigl(\tfrac1n\bigr)\xrightarrow[n\to\infty]{}-\infty.

指数趋向 $-\infty$ ⇒ 原式趋向 0。

\boxed{\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^{n^{2}}=0\,}

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