求级数：n＝1到♾️下，（x^n+1）/n+1的收敛半径，收敛域，和函数，并求级数（（负一）^n+1...

質問

求级数：n＝1到♾️下，（x^n+1）/n+1的收敛半径，收敛域，和函数，并求级数（（负一）^n+1）/（n+1）*2^n

回答

问题 1：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$ 的收敛半径、收敛域和函数表示

我们首先分析级数：

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}

1. 收敛半径的求解

该级数为：

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} x^{n+1}

这个级数的形式类似于幂级数的一种形式 $\sum a_n x^n$ ，并且可以通过比值检验或根检验来找出其收敛半径。

对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$ ，通过比值检验，我们知道其收敛半径是 $1$ ，即收敛半径为 $R = 1$ 。

2. 收敛域的求解

由于收敛半径为 1，因此该级数的收敛域为：

|x| < 1

因此，收敛域为 $(-1, 1)$ ，即在 $|x| < 1$ 时级数收敛。

3. 函数表示

该级数可以表示为一个具有已知函数形式的级数。实际上，它是如下的一个函数的泰勒级数：

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \ln(1-x)

因此，级数的和是：

\ln(1-x)

问题 2：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} 2^n$ 的求解

现在我们考虑级数：

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} 2^n

1. 判断收敛性

我们可以通过替换 $x = -2$ 来查看这个级数的收敛情况：

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} 2^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n+1}}{n+1}

这个级数的形态接近于：

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n+1}

实际上，这是一个带有交替符号的幂级数，和具有已知结果的类似级数。经过适当的变换，这个级数的和是：

\ln(1 + 2)

即：

\ln(3)

因此，级数的和为：

\ln(3)

2. 结论

收敛半径：通过求解，我们发现这个级数的收敛半径是 $1$ 。
收敛域：收敛域为 $|x| < 1$ 。
级数和：当代入 $x = -2$ 时，级数的和为 $\ln(3)$ 。

質問

求级数：n＝1到♾️下，（x^n+1）/n+1的收敛半径，收敛域，和函数，并求级数（（负一）^n+1）/（n+1）*2^n

思考

Parsing the series

The user’s request involves interpreting two series: the first is potentially the sum of (x^{n+1})/(n+1), and the second is (-1)^{n+1}/(n+1)*2^n. There’s some ambiguity, so I’ll assume the first series is meant to be (x^{n+1})/(n+1), which resembles the known geometric series' sum.

After clarification, I’ll proceed to calculate the radius of convergence, the convergence domain, and the sum function for these series.

Analyzing convergence and sum

I’m working my way through the series and exploring reindexing. The original series sums to -ln(1−x) − x, with a radius of convergence R = 1. I need to analyze the endpoints at x = 1 and x = -1.

For x = 1, the series diverges, as it’s a harmonic series. For x = -1, we get the alternating harmonic series, and it converges to -ln 2 + 1 as expected.

Examining series and convergence

Let’s work this through. The series for x = -1 converges conditionally to 1 - ln(2), confirming that the interval of convergence is [-1, 1). At x = 1, it diverges. The sum function for the original series is f(x) = -ln(1 - x) - x for |x| < 1.

Then I move to the second series S2: Σ (-1)^(n+1) * 2^n/(n+1). This looks similar to the series I tackled earlier, just with different scaling and signs.

Thought for 52 seconds

回答

一、幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n+1}}{n+1}$

步骤	结论	说明
收敛半径	$R = 1$	根判别：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left
收敛域	$[-1,\,1)$	<br>• $
和函数	$-\ln(1-x)-x$ （$	x

二、级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,2^{\,n}}{n+1}$

a_n=\frac{(-1)^{n+1}\,2^{\,n}}{n+1},\qquad |a_n|=\frac{2^{\,n}}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty.

一般项绝对值不仅 不趋于 0，反而指数增长。
必要条件 $a_n\to0$ 不成立 ⇒ 级数发散（无和可言）。

结论

幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{\,n+1}}{n+1}$ $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ：
- 收敛半径 $R=1$ ，收敛域 $[-1,1)$ 。
- 和函数 $\boxed{S(x)=-\ln(1-x)-x}$ （ $|x|<1$ ，在 $x=-1$ 时 $S(-1)=1-\ln2$ ）。
数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}2^{\,n}}{n+1}$ ：因为项不趋 0， $\boxed{\text{发散}}$ 。

質問

回答

问题 1：级数 ∑n=1∞xn+1n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}∑n=1∞​n+1xn+1​ 的收敛半径、收敛域和函数表示