logoChat01.ai

На крыше коттеджа установлен флюгер в форме прямоу...

作成日: 2025年5月28日

使用モデル O3 by Chat01

質問

На крыше коттеджа установлен флюгер в форме прямоугольной трапеции. Он прикреплён коси боковой стороной. Высота флюгера - 10 см, длина верхней стороны - 15 см, а нижней стороны - 35 см. В точке пересечения диагоналей трапеции сидит бабочка. Дует ветер, и она катается на флюгере, как на карусели. Какое расстояние бабочка проходит за то время, за которое самая удалённая от оси точка флюгера проходит 10 метров? Ответ запишите в метрах. Запишите в поле ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Python

python
A = sp.Point(0,0)
B = sp.Point(15,0)
C = sp.Point(35,10)
D = sp.Point(0,10)
P = sp.Line(A,C).intersection(sp.Line(B,D))[0]
P

Point2D(21/2, 3)

Python

python
# Represent axis line through B and C
line_axis = sp.Line(B,C)
# distance from point P to line
dist_P = line_axis.distance(P)
# farthest distance among vertices
# compute distances
dA = line_axis.distance(A)
dD = line_axis.distance(D)
dC = 0
dB = 0
dist_max = max(float(dA), float(dD))
dist_P, dist_max

(21*sqrt(5)/10, 15.652475842498529)

Python

python
float(dA), float(dD)


(6.708203932499369, 15.652475842498529)

Python

python
float(dist_P/ dist_max)


0.30000000000000004

Python

python
a,b,h = sp.symbols('a b h', positive=True)
A = sp.Point(0,0)
D = sp.Point(0,h)
B = sp.Point(a,0)
C = sp.Point(b,h)
P = sp.Line(A,C).intersection(sp.Line(B,D))[0]
P

Point2D(a*b/(a + b), a*h/(a + b))

Python

python
import random, math
def ratio(a,b,h):
    A = sp.Point(0,0)
    B = sp.Point(a,0)
    C = sp.Point(b,h)
    D = sp.Point(0,h)
    line_axis = sp.Line(B,C)
    P = sp.Line(A,C).intersection(sp.Line(B,D))[0]
    dist_P = line_axis.distance(P)
    # choose distances of A or D whichever bigger for farthest from axis
    dist_A = line_axis.distance(A)
    dist_D = line_axis.distance(D)
    dist_max = max(dist_A, dist_D)
    return float(dist_P/dist_max)
for _ in range(5):
    a = random.uniform(1,20)
    b = random.uniform(a, a+30)
    h = random.uniform(1,15)
    print(a,b,h, ratio(a,b,h))

Python

python
def ratio_expected(a,b):
    return a/(a+b)
for a,b,h,_ in [(11.7121,36.79,2.6,0)]:
    print(ratio_expected(a,b))

Python

python
for _ in range(5):
    a = random.uniform(1,20)
    b = random.uniform(a+0.1,a+30)
    h = random.uniform(1,15)
    r1 = ratio(a,b,h)
    r2 = a/(a+b)
    print(abs(r1-r2) < 1e-10)

思考

Testing axis ratios

When working with the axis along BC, I should measure distances along the perpendicular instead of horizontally. The ratio stayed consistent at 0.3 for the example, but that could be due to symmetries of similar triangles. Let’s derive a general formula for the perpendicular distances and check if the ratio always stays at 0.3, which seems likely. I'll test with random numbers and compare, but it looks like the ratio doesn’t change with axis orientation. Final answer: 3. I'll now prepare a brief explanation before presenting the number.

Thought for 3m 9s

回答

Высоты и углы считать не нужно — достаточно соотношений сторон.

  1. Обозначим основания трапеции:
    верхнее — a=15 смa = 15\text{ см}, нижнее — b=35 смb = 35\text{ см}.

  2. Ось вращения совпадает с боковой стороной.
    Самая дальняя от оси точка — правый нижний угол (его радиус Rmax⁡=bR_{\max}=b).

  3. Из свойства трапеции пересечение её диагоналей делит каждую диагональ в отношении оснований:

    APPC=DPPB=ab.\frac{AP}{PC}=\frac{DP}{PB}=\frac{a}{b}.

    Поэтому расстояние точки PP (бабочки) до оси

    RP=aa+b b=a ba+b.R_P = \frac{a}{a+b}\,b=\frac{a\,b}{a+b}.

  4. Отношение радиусов

    RPRmax⁡=aa+b=1515+35=310.\frac{R_P}{R_{\max}}=\frac{a}{a+b}=\frac{15}{15+35}=\frac{3}{10}.

  5. За то же время путь пропорционален радиусу, поэтому

    sP=310⋅10 м=3 м.s_P = \frac{3}{10}\cdot 10\text{ м}=3\text{ м}.

Ответ: 3

このQ&Aを共有