讲题

题目翻译

一台 220 V 的直流并励电动机空载时电流 7 A、转速 1250 r/min。电枢电阻 $R_a=0.1\; \Omega$，并励磁场电阻 $R_f=110\; \Omega$。现串入一只电阻 $R_s=0.05\; \Omega$ 的复励（长并、同极性）串励绕组。当电机带满载电流 62 A 时，该串励绕组能使每极磁通增加 20%。设磁通增量与电枢电流成正比，忽略电枢反应，求：

1. 复励后空载转速；
2. 复励后在 62 A 时的转速；
3. 比较 62 A 时有无串励绕组时的电磁转矩。
   （标答：1228 r/min；1000 r/min；$6/5$）

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解题步骤

核心公式

• 反电势：$E = V - I_a R_a - I_a R_s$（长并复励时串、枢电流相同）
• 直流电机：$E = k\Phi n\Rightarrow n\propto \dfrac{E}{\Phi}$
• 电磁转矩：$T\propto \Phi I_a$

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1. 原始空载工况（未加串励绕组，用来作为基准）

• 并励电流： $$I_f=\frac{V}{R_f}=\frac{220}{110}=2\text{ A}$$
• 电枢电流：$I_{a1}=I_L-I_f=7-2=5\text{ A}$
• 反电势： $$E_1=V-I_{a1}R_a=220-5\times0.1=219.5\text{ V}$$
• 速度：$n_1=1250\text{ r/min}$
  对应磁通记为 $\Phi_1$。

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2. 复励后空载转速 $n_1'$

1. 磁通增量

   • 满载 60 A（下文会用到）→ 磁通 +20%
   • 比例：$\dfrac{20\%}{60\text{ A}}=0.333\%/\text{A}=\dfrac{1}{300}$
   • 空载 $I_{a1}=5\text{ A}$ → 磁通增加 $\dfrac{5}{300}=1.67\%$ $$\Phi_1'=\Phi_1\Bigl(1+\frac{1}{60}\Bigr)=\frac{61}{60}\Phi_1$$

2. 反电势（串绕与电枢串联）：

   $$E_1'=V-I_{a1}(R_a+R_s)=220-5(0.1+0.05)=219.25\text{ V}$$

3. 转速

   $$\frac{n_1'}{n_1}= \frac{E_1'/\Phi_1'}{E_1/\Phi_1}= \frac{E_1'}{E_1}\times\frac{\Phi_1}{\Phi_1'} \\ n_1'=1250\times\frac{219.25}{219.5}\times\frac{60}{61}\approx 1228\text{ r/min}$$

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3. 复励后 62 A 时转速 $n_2$

1. 电流分配

   $$I_{a2}=I_L-I_f=62-2=60\text{ A}$$

2. 磁通
   满载定义：$\Phi_2=\Phi_1(1+20\%)=1.2\Phi_1$

3. 反电势

   $$E_2=V-I_{a2}(R_a+R_s)=220-60(0.1+0.05)=211\text{ V}$$

4. 转速

   $$\frac{n_2}{n_1}= \frac{E_2/E_1}{\Phi_2/\Phi_1}\quad\Rightarrow\quad n_2=1250\times\frac{211}{219.5}\times\frac{1}{1.2}\approx 1000\text{ r/min}$$

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4. 转矩比较（60 A 工况）

• 无串励时：$\;T_{\text{sh}} \propto \Phi_1 I_{a2}$
• 有串励时：$\;T_{\text{compound}} \propto \Phi_2 I_{a2}=1.2\Phi_1 I_{a2}$

$$\frac{T_{\text{compound}}}{T_{\text{sh}}}=1.2=\frac{6}{5}$$

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结果汇总

工况	转速 (r/min)	说明
复励空载	≈ 1228	比原空载稍低（电阻降压 + 轻微增磁）
复励 62 A	≈ 1000	明显降速（增磁 + 压降）
转矩比	6 : 5	有串励时转矩提高 20%

这样就完整地推导了题目给出的三个答案。