Согласно легенде, пифагореец Гиппас, открывший ирр...

A) (3+2i)(3−2i) = 3^2 − (2i)^2 = 9 − (−4) = 13 → Вариант 3
B) (1+i)^3 = (1+i)^2(1+i) = (1 + 2i + i^2)(1+i) = (1 + 2i − 1)(1+i) = 2i(1+i) = 2i + 2i^2 = 2i − 2 → Вариант 4
C) Подставляем x = 1 + i в x^2 − 2x + 4:
x^2 = (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i − 1 = 2i
−2x = −2(1+i) = −2 − 2i
Итого: 2i − 2 − 2i + 4 = 2 → Вариант 1
D) √(4 − 13) = √(−9) = 3i → Вариант 2

Таким образом, соответствия таковы:
A → 3, B → 4, C → 1, D → 2

A) (e^(2x))^(200).
Каждый раз при дифференцировании e^(2x) появляется множитель 2, то есть:
(d/dx)[e^(2x)] = 2e^(2x),
(d^2/dx^2)[e^(2x)] = 2^2 e^(2x),
…,
(d^(n)/dx^(n))[e^(2x)] = 2^n e^(2x).
Поэтому 200-я производная равна 2^(200) e^(2x).
⇒ Вариант 3) 2^(200)e^(2x).

B) (x e^(2x))^(200).
Пусть f(x) = x e^(2x). Применим «обобщённое правило Лейбница» (или просто многократно производную от произведения), но заметим упрощение:
• Производная от x есть 1, вторая и все последующие – 0.
Тогда при n-кратном дифференцировании сохраняются только слагаемые, где мы дифференцируем e^(2x) ровно k раз и x – (n–k) раз; при (n–k) ≥ 2 производная от x зануляется.
Останутся два слагаемых:
– k = n, (n–k) = 0, даёт x·(d^(n)/dx^(n)[e^(2x)]) = x·2^ne^(2x);
– k = n–1, (n–k)=1, даёт (d^(n–1)/dx^(n–1)[e^(2x)])·(d/dx[x]) = 2^(n–1)e^(2x)·1·n (учитывая биномиальный коэффициент C(n,n–1)=n).
Складывая, получаем:
f^(n)(x) = 2^n e^(2x) x + n⋅2^(n–1) e^(2x) = 2^(n–1) e^(2x)[2x + n].

Для n=200:
f^(200)(x) = 2^(199) e^(2x) [2x + 200] = 2^(200) e^(2x)(x + 100).
⇒ Вариант 4) 2^(200)e^(2x)(x + 100).

C) (sin(2x))^(200).
Производные sin(2x) цикличны с периодом 4 и множителем 2 при каждом дифференцировании:
sin(2x) → 2cos(2x) → −4sin(2x) → −8cos(2x) → 16sin(2x) → …
Через каждые 4 дифференцирования возвращаемся к sin(2x), умноженному на 2^4 = 16.
Значит (sin(2x))^(n) = 2^n × [либо sin(2x), либо cos(2x) с некоторым знаком] в зависимости от n mod 4.
Поскольку 200 mod 4 = 0, «фаза» снова sin(2x) без дополнительного минуса:
(sin(2x))^(200) = 2^(200) sin(2x).
⇒ Вариант 1) 2^(200) sin(2x).

D) (½ cos(2x))^(201).
Аналогично cos(2x) при дифференцировании даёт множитель 2 и цикл по модулю 4:
cos(2x) → −2 sin(2x) → −4 cos(2x) → 8 sin(2x) → 16 cos(2x) → …
Функция f(x) = (½)cos(2x) просто добавляет постоянный коэффициент ½.
Для n=201 (а 201 mod 4 = 1) производная cos(2x) будет −2^201 sin(2x), а умножение на ½ даст
f^(201)(x) = ½·[−2^201 sin(2x)] = −2^200 sin(2x).
⇒ Вариант 2) −2^(200) sin(2x).

Итого соответствия:
A → 3, B → 4, C → 1, D → 2.

Рассмотрим каждое выражение по отдельности:

---

A) $\bigl(e^{2x}\bigr)^{(200)}$

Каждая производная от $e^{2x}$ вносит множитель $2$.
• $\frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}$
• $\frac{d^2}{dx^2} e^{2x} = 2^2 e^{2x}$
• …
• $\frac{d^n}{dx^n} e^{2x} = 2^n e^{2x}$

Следовательно,

$$\bigl(e^{2x}\bigr)^{(200)} \;=\; 2^{200}\,e^{2x}.$$

Соответствует варианту (3).

---

B) $\bigl(xe^{2x}\bigr)^{(200)}$

Обозначим $f(x)=x\,e^{2x}$. При $n$-кратной дифференциации по правилу Лейбница выживают только две слагаемые (поскольку производная $x$ начиная со второго порядка равна нулю):

$$f^{(n)}(x) \;=\; \binom{n}{0} x \,\frac{d^n}{dx^n}\bigl(e^{2x}\bigr) \;+\; \binom{n}{1} \frac{d}{dx}(x)\,\frac{d^{\,n-1}}{dx^{\,n-1}}\bigl(e^{2x}\bigr).$$

• При $k=0$: $x\cdot 2^n e^{2x}$.
• При $k=1$: $n \cdot 1\cdot 2^{n-1} e^{2x}$.

Итого:

$$f^{(n)}(x) \;=\; x\,2^n e^{2x} \;+\; n\,2^{n-1}e^{2x} \;=\; 2^{n-1} e^{2x}\bigl(2x + n\bigr).$$

При $n=200$:

$$f^{(200)}(x) = 2^{199} e^{2x}\,\bigl(2x+200\bigr) = 2^{200} e^{2x}\,\bigl(x + 100\bigr).$$

Соответствует варианту (4).

---

C) $\bigl(\sin{2x}\bigr)^{(200)}$

Производные синуса цикличны с периодом 4, а при каждом дифференцировании появляется множитель 2:

$\sin(2x)$
$\xrightarrow{d/dx} 2\cos(2x)$
$\xrightarrow{d/dx} -4\sin(2x)$
$\xrightarrow{d/dx} -8\cos(2x)$
$\xrightarrow{d/dx} 16\sin(2x)$ и т.д.

Через каждые 4 шага мы возвращаемся к $\sin(2x)$, умноженному на $2^4=16$.

Так как $200 \bmod 4 = 0$, фаза снова совпадает с $\sin(2x)$ без дополнительного минуса, но множитель будет $2^{200}$. Значит:

$$\bigl(\sin(2x)\bigr)^{(200)} = 2^{200}\,\sin(2x).$$

Соответствует варианту (1).

---

D) $\Bigl(\tfrac{1}{2}\cos{2x}\Bigr)^{(201)}$

Обозначим $g(x)=\tfrac12\,\cos(2x)$. Для $\cos(2x)$ дифференцирование также циклично с периодом 4 и множителем 2:

$\cos(2x) \xrightarrow{d} -2\sin(2x) \xrightarrow{d} -4\cos(2x) \xrightarrow{d} 8\sin(2x) \xrightarrow{d} 16\cos(2x)\dots$

Отсюда получается, что

$$\bigl(\cos(2x)\bigr)^{(n)} = 2^n \,\cos\!\bigl(2x + \tfrac{n\pi}{2}\bigr).$$

Умножение на $\tfrac12$ просто даст дополнительный множитель $\tfrac12$.

Поскольку $201 \bmod 4 = 1$, имеем $\cos\bigl(2x + \tfrac{201\pi}{2}\bigr)=\cos\bigl(2x + \tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\sin(2x)$. Следовательно,

$$\bigl(\cos(2x)\bigr)^{(201)} = 2^{201}\,\bigl[-\sin(2x)\bigr] = -\,2^{201}\sin(2x).$$

С учётом коэффициента $\tfrac12$:

$$\Bigl(\tfrac12\cos(2x)\Bigr)^{(201)} = \tfrac12 \,\bigl(\cos(2x)\bigr)^{(201)} = \tfrac12 \cdot \bigl[-\,2^{201}\sin(2x)\bigr] = -\,2^{200}\,\sin(2x).$$

Соответствует варианту (2).

---

Итоговые соответствия

A) $\bigl(e^{2x}\bigr)^{(200)}$ → (3) $2^{200}e^{2x}$
B) $\bigl(xe^{2x}\bigr)^{(200)}$ → (4) $2^{200}e^{2x}(x+100)$
C) $\bigl(\sin{2x}\bigr)^{(200)}$ → (1) $2^{200}\sin{2x}$
D) $\bigl(\tfrac12\cos{2x}\bigr)^{(201)}$ → (2) $-\,2^{200}\sin{2x}$.

Решение по шагам:

---

A) (e^(2x))^(200)

Каждая производная e^(2x) порождает дополнительный множитель 2:
• d/dx [e^(2x)] = 2e^(2x)
• d^2/dx^2 [e^(2x)] = 2^2e^(2x)
• …
• d^(n)/dx^(n) [e^(2x)] = 2^n e^(2x)

Следовательно, 200-я производная:
(e^(2x))^(200) = 2^(200) e^(2x).
Соответствует варианту 3).

---

B) (x e^(2x))^(200)

Обозначим f(x) = x·e^(2x). Применяя многократно правило произведения (Лейбница), заметим, что начиная со второй производной от x получается 0, так что «выживут» только слагаемые, где x дифференцируется не более чем один раз.

Результирующая n-я производная:
f^(n)(x) = 2^n x e^(2x) + n · 2^(n-1) e^(2x) = 2^(n-1) e^(2x) [2x + n].

При n=200:
f^(200)(x) = 2^(199) e^(2x) (2x + 200) = 2^(200) e^(2x)(x + 100).
Соответствует варианту 4).

---

C) (sin(2x))^(200)

Производная sin(2x) даёт множитель 2 и циклическое смещение между sin и cos с периодом 4:
• sin(2x) → 2cos(2x) → −4sin(2x) → −8cos(2x) → 16sin(2x) → …

Через каждые 4 дифференцирования функция снова становится sin(2x), умноженной на 2^4 = 16. Так как 200 mod 4 = 0, возвращаемся к sin(2x) без дополнительного знака «минус», а общий множитель 2^(200).
Значит, (sin(2x))^(200) = 2^(200) sin(2x).
Соответствует варианту 1).

---

D) (1/2 cos(2x))^(201)

Обозначим g(x) = (1/2)·cos(2x). Дифференциация cos(2x) циклична:
• cos(2x) → −2 sin(2x) → −4 cos(2x) → 8 sin(2x) → 16 cos(2x) → …

Каждый шаг даёт множитель 2, а знак(-и синус/косинус) меняются с периодом 4. При 201-й производной (1/2) только добавляет общий коэффициент 1/2. Поскольку 201 mod 4 = 1, получим, что (cos(2x))^(201) ~ −2^(201) sin(2x). Умножая на 1/2:
(1/2 cos(2x))^(201) = (1/2) · [−2^(201) sin(2x)] = −2^(200) sin(2x).
Соответствует варианту 2).

---

Итоговые соответствия

A) → (3) 2^(200) e^(2x)
B) → (4) 2^(200) e^(2x)(x + 100)
C) → (1) 2^(200) sin(2x)
D) → (2) −2^(200) sin(2x)

Проще всего понять логику, сравнивая пары входных строк (S_1, S_2) и итоговый выход:

1. ("9a", "8kb") → "a9a98kb7"
2. ("2o", "y6m") → "o2o2y6m7"
3. ("qv", "3cv") → "vqvq3cv7"

Если записать по шагам, то в каждом случае происходит следующее:
• Первая строка S_1 переворачивается (REV), получается S_1_rev.
• Затем S_1_rev дублируется (DUP), то есть приписывается ещё раз подряд.
• После этого приписывается вторая строка S_2.
• Подсчитывается длина полученной строки и это число дописывается в конец.

Например, в пункте (1) из "9a" получается "a9", которое дублируется в "a9a9", потом приписывается "8kb" → "a9a98kb". Далее длина "a9a98kb" равна 7, поэтому в конец дописывается '7': "a9a98kb7".

Поэтому для входных строк "qw" и "7bs" получим:

1. Переворачиваем "qw" → "wq".
2. Дублируем → "wqwq".
3. Приписываем "7bs" → "wqwq7bs".
4. Длина "wqwq7bs" равна 7, значит добавляем '7' в конец:

wqwq7bs7