logoChat01.ai

Согласно легенде, пифагореец Гиппас, открывший ирр...

作成日: 2025年3月26日

使用モデル O1 by Chat01

質問

Согласно легенде, пифагореец Гиппас, открывший иррациональные числа в морском походе, был выброшен за борт своими коллегами «за создание элемента Вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во Вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям».
2 тысячи лет спустя подобному отношению подверглись комплексные (мнимые) числа, впервые упомянутые итальянским математиком Кардано. Он считал, что «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны».
Комплексные числа можно представить с помощью так называемой мнимой единицы i, для которой выполняется равенство:
i^2 = -1
Как и вещественные числа, мнимая единица может участвовать в арифметических операциях. Например:
(1 + 5i)^2=1 + 10i + (5i)^2 = 1 + 10i - 25
Исходя из этого, соедините тождественные выражения в списках:
А) (3+2i)(3-2i)
B) (1+i)^3
С) x^2-2x+4 ; при ; x=1+i
D) \sqrt{4-13}

Вариант 1) 2
Вариант 2) 3i
Вариант 3) 13
Вариант 4) 2i - 2

回答

Решение:

  1. A) (3+2i)(3−2i)(3+2i)(3-2i)
    Раскроем скобки:

    (3+2i)(3−2i)=3⋅3+3⋅(−2i)+2i⋅3+2i⋅(−2i)=9−6i+6i−4i2.(3+2i)(3-2i) = 3\cdot 3 + 3\cdot(-2i) + 2i\cdot 3 + 2i\cdot(-2i) = 9 - 6i + 6i - 4i^2.

    Так как i2=−1i^2 = -1, то −4i2=−4(−1)=+4-4i^2 = -4(-1) = +4. Следовательно,

    9+4=13.9 + 4 = 13.

    Значит, (3+2i)(3−2i)=13(3+2i)(3-2i) = 13.
    Соответствие: A → 3.

  2. B) (1+i)3(1+i)^3
    Сперва найдём (1+i)2(1+i)^2:

    (1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i.(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i.

    Тогда

    (1+i)3=(1+i)2⋅(1+i)=2i⋅(1+i)=2i+2i2=2i+2(−1)=−2+2i.(1+i)^3 = (1+i)^2 \cdot (1+i) = 2i \cdot (1+i) = 2i + 2i^2 = 2i + 2(-1) = -2 + 2i.

    Удобнее записать это как 2i−22i - 2.
    Соответствие: B → 4 (то есть 2i−22i - 2).

  3. C) x2−2x+4\displaystyle x^2 - 2x + 4 при x=1+i x = 1+i
    Сначала вычислим x2x^2 для x=1+ix=1+i:

    (1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i.(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i.

    Тогда

    x2−2x+4=2i−2(1+i)+4=2i−2−2i+4.x^2 - 2x + 4 = 2i - 2(1+i) + 4 = 2i - 2 - 2i + 4.

    Замечаем, что 2i2i и −2i-2i сократятся:

    =−2+4=2.= -2 + 4 = 2.

    Соответствие: C → 1 (то есть 22).

  4. D) 4−13\sqrt{4-13}
    Под корнем имеем 4−13=−94-13 = -9, значит

    −9=±3i.\sqrt{-9} = \pm 3i.

    Основное (главное) значение квадратного корня обычно берётся с положительной мнимой частью, то есть 3i3i.
    Соответствие: D → 2 (то есть 3i3i).

Итого получаем связи:

  • A → 3
  • B → 4
  • C → 1
  • D → 2

このQ&Aを共有