有 n 个人排队到 1 个水龙头处打水，第 i 个人装满水桶所需的时间是 ti ，请问如何安排...

以下内容将从核心原理与代码实现两方面，深入剖析「为何将打水时间从小到大排序」能使所有人的等待时间之和达到最小，以及代码的关键思想。我们会重点说明「为什么要排序」「排序后如何计算总等待时间」以及「这一策略背后的数学原理或直观推理」，以期最大程度地揭示本质，而非仅停留在表面罗列。

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一、问题回顾与等待时间的定义

有 $n$ 个人排队到一个水龙头打水，第 $i$ 个人打满一桶水需要的时间是 $t_i$。如果大家依次排队，一个人正在接水时，后面的人都只能等待；前面的人花费的时间越长，就会让后面所有人等待得越久。我们关心的目标是：如何安排打水的顺序，使得所有人的等待时间之和最小。

为了更明确，给出等待时间的常见定义方式：

• 假设按某种顺序排队，令该队列从前往后依次是 $p_1, p_2, \dots, p_n$，其中 $p_i$ 表示第 $i$ 个打水的人在原先 $n$ 人中的编号。
• $p_1$ 不用等待前面任何人，于是它的等待时间是 0。接下来 $p_2$ 需要等待 $p_1$ 的打水时间 $t_{p_1}$，$p_3$ 需要等待 $p_1 + p_2$ 的时间，依此类推。
• 总等待时间可以写为 $$W = 0 + t_{p_1} + (t_{p_1} + t_{p_2}) + \dots + \bigl(t_{p_1} + t_{p_2} + \dots + t_{p_{n-1}}\bigr).$$ 这也相当于“部分和反复累加”的结果。

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二、核心思路：从小到大排序

1. 为什么排序能最小化等待时间之和？

直觉与核心原理

• 等待时间之和本质上是一个“加权累积和”：越早出现在队列前面的人的打水时间，会被后面所有排在他之后的人“重复加和”到等待时间中。
• 如果一个耗时很长的人排在前面，那么他的时间将会给后面所有人都增加等待；反过来，如果把短任务放在前面，短任务的时间虽然也会让后面的人等待，但因为它短，所以多次重复加和时，对总等待的贡献相对较小。
• 因此，把打水时间短的人尽早安排，可以“减少”他们对后续所有人的累积影响，从而总等待时间最低。这与操作系统调度中著名的“Shortest Job First”（SJF）策略思路一致。

2. 数学/交换论证（简要说明）

有一种经典的“交换论证”：如果在队列中存在两个相邻的人 $A$ 和 $B$，且 $t_A > t_B$ 而 $A$ 又在 $B$ 前面，那么交换这两个人的位置后，总等待时间不会变大；进一步细究会发现，若有多处这种“大时间”在前、小时间在后的情况，就可以不断做这种相邻交换，直到所有 $t_i$ 从小到大排列，最终得到等待时间最小。该严格推导本质上说明了：按时间升序排队是满足最优解的必要且充分条件。

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三、代码实现解析

下面的 C++ 代码展示了如何利用排序来最小化等待时间之和，并计算结果。代码的关键部分如下所示（已省略头文件与不相关细节）：

cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n;
typedef long long LL;
int a[N];

int main() {
    // 1. 读入 n
    scanf("%d", &n);

    // 2. 将打水时间存入数组 a
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }

    // 3. 对 a 从小到大排序
    sort(a, a + n);

    // 4. 计算总等待时间 res
    //    t 记录前面所有人的总打水耗时
    LL res = 0, t = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        // 当处理第 i 个人时，他的等待时间是前面所有人的耗时之和 t
        res += t;
        // 打水完毕后，前面累积的时间要增加当前人的耗时
        t += a[i];
    }

    // 5. 输出结果
    cout << res << endl;
    return 0;
}

结合代码可见：

1. 排序环节（sort(a, a+n);）
   将所有人的打水时间按照从小到大排序。

2. 等待时间与部分和累加（res += t; t += a[i];）

   • t 表示到目前位置为止，所有已经排队完的人累计用了多少时间。
   • 当轮到第 $i$ 个人时，他在此之前的等待时间正是 t；于是 res += t。
   • 等该人打完后，需要在当前累计 t 基础上再加上他的打水时间 a[i]，更新为新的累计时间。
   • 不断迭代后，res 即为所有等待时间之和。

3. 时间复杂度

   • 排序是 $O(n \log n)$。
   • 之后的循环计算总等待只需 $O(n)$。
   • 整体是可在大规模数据（$n \leq 10^5$）下高效完成。

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四、进一步思考与小结

1. 为什么不是降序？
   若将耗时长的人放前面，长耗时会被后面的人等待累计多次，导致总和增大，显然不合适。

2. 与其他调度问题的类比
   这一思路与操作系统里的“短作业优先（SJF）”调度思想类似，也跟“排队论”中的最优排队策略异曲同工：总有一种最优方式就是“最短时间优先安排”。

3. 若有相同的打水时间？
   相同时间的人放在队列中位置如何并不影响最终结果。但实现时将它们相对次序固定也行，因为排序算法的稳定性或否并不会影响最终的等待总和。

通过上述分析可以看到：将打水时间从小到大进行排序，然后按序计算等待时间，累加得到总和，就是最优解。其背后原理基于对每个人打水时长在全局等待成本中的“多重贡献”考量，短时间越靠前，总等待越低，这也是排队调度中非常常见又高效的策略。

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综上所述：

• 问题的关键在于：等待时间的叠加效应 会让任何一个人的打水时间被所有排在他之后的人重复“等待”一次。
• 通过对打水时间从小到大排序，再依次打水，可将总等待时间降到最小。该算法思想简明，且通过数学交换论证或从调度理论视角都能证实其最优性。
• 代码里只需要对数组进行一次升序排序，并在一次线性遍历中更新等待时间的累加量，即可快速求解。

这样，我们就能够以最小的总等待时间，让所有人都能完成打水。