一个半圆形薄板质量为 $M$，半径为 $R$。当它以直径为轴转动时，转动惯量为多大？

当半圆形薄板以直径为轴转动时，其转动惯量 $I$ 的计算如下：

1. 确定转动轴和坐标系：

   • 转动轴选择为半圆形板的直径。
   • 假设半圆形板位于 $xy$ 平面，圆心位于坐标原点，直径沿着 $x$ 轴，半圆形在上半平面。

2. 转动惯量的定义： 转动惯量 $I$ 是关于旋转轴的物体分布质量 $m_i$ 的加权平均，计算公式为：

   $$I = \sum m_i r_i^2$$

   其中，$r_i$ 是质点 $m_i$ 到旋转轴的距离。

3. 将半圆形板分割为小质点：

   • 半圆形板可以看成是一个半圆，其质量分布在半圆内部。

4. 质点的质量分布：

   • 设半圆形板的质量为 $M$，面积为 $\frac{1}{2} \pi R^2$，则其面密度 $\sigma = \frac{2M}{\pi R^2}$。

5. 计算转动惯量：

   • 将半圆形板分割为小质点，每个小质点 $dm$ 的转动惯量为 $dI = r^2 dm$，其中 $r$ 是小质点到转动轴的距离。

6. 积分计算：

   • 对整个半圆形板进行积分得到总的转动惯量：
   $$I = \int r^2 \, dm$$

   其中，$dm = \sigma \, dA = \sigma \, dxdy$，$r$ 是小质点到转动轴的距离。

7. 使用极坐标进行积分：

   • 在极坐标下，小质点的坐标为 $(r, \theta)$，其中 $r$ 从 $0$ 到 $R$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$。
   • 距离转动轴的距离 $r$ 为 $R \sin \theta$。

8. 计算转动惯量的积分：

   $$I = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} (R \sin \theta)^2 \sigma \, r \, dr \, d\theta$$

   其中，$\sigma = \frac{2M}{\pi R^2}$。

9. 进行积分计算：

   $$I = \frac{2M}{\pi R^2} \int_{0}^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \int_{0}^{R} r^3 \, dr$$

10. 最终结果： 计算上述积分，可以得到：

    $$I = \frac{M R^2}{2}$$

因此，半圆形薄板以直径为轴的转动惯量为 $\frac{MR^2}{2}$。