Невырожденные треугольники алгоритм

Ниже описана одна из возможных стратегий нахождения максимально возможного числа невырожденных (то есть с ненулевой площадью) треугольников, в которых каждая точка используется не более одного раза. Сразу важное замечание: в общем случае задача сводится к поиску максимального паросочетания в 3‑униформном гиперграфе (где каждая «гиперрёбра» – это тройка точек, образующая ненулевой треугольник). Подобные задачи в общем виде являются NP‑трудными, то есть нет известного эффективного алгоритма, который за разумное время обязательно найдёт оптимальное решение для очень большого числа точек.

Однако на практике (и в учебных целях) обычно либо ограничиваются малыми наборами точек (тогда можно перебрать все комбинации), либо используют жадные или эвристические методы (которые не всегда дают строгое максимум, но часто дают достаточно хорошее решение).

Ниже опишем простой подход:

Шаги решения (простая жадная стратегия)

1. Проверка, что треугольник не вырожден
   Чтобы треугольник из трёх точек $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ был невырожденным (имел ненулевую площадь), необходимо, чтобы эти три точки не лежали на одной прямой.
   Удобно использовать формулу удвоенной площади треугольника:

   $$S = x_1(y_2 - y_3) \;+\; x_2(y_3 - y_1) \;+\; x_3(y_1 - y_2).$$

   Если $S \neq 0$, треугольник невырожденный, иначе – вырожден (точки коллинеарны).

2. Общий план жадного алгоритма

   • Собираем все точки в список (или множество).
   • Пока точек не меньше трёх:
     1. Берём какую-то тройку точек (например, первые 3 в текущем списке) и проверяем, не вырожден ли треугольник.
     2. Если треугольник невырожден, «фиксируем» его (увеличиваем счётчик треугольников на 1) и удаляем эти три точки из списка.
     3. Если треугольник вырожден, попробуем подобрать другую комбинацию троек (переставить точки) или просто пропустить одну проблемную точку и проверить другую тройку.
        • В самом простом варианте можно просто перебирать комбинации по порядку: (1-я, 2-я, 3-я), (1-я, 2-я, 4-я) и т.д. – пока не найдётся невырожденная.
     4. Повторяем, пока не останется меньше трёх точек или пока не удаётся найти ни одной невырожденной тройки (тогда алгоритм останавливается).

3. Почему алгоритм не всегда оптимален?

   • В некоторых конфигурациях может случиться, что ранний «неудачный» выбор троек «закрывает дорогу» к большему количеству возможных треугольников дальше.
   • Для небольших наборов точек можно было бы перебрать всевозможные группы по три (бэк-трекинг, полный перебор) и выбрать оптимальное покрытие. Но этот перебор в худшем случае экспоненциальный.

4. Ускорения и варианты

   • Если набор точек «общего положения» (почти никаких трёх коллинеарных), жадный подход часто находит решение $\lfloor n/3 \rfloor$.
   • Если много коллинеарных точек, иногда нужно «разумно» их разбавлять с другими точками, чтобы сформировать больше треугольников.
   • Для больших $n$ можно делать рандомизированный подход (перемешивать точки, пытаться образовывать треугольники в случайном порядке и так далее).

Ниже приведён самый прямолинейный жадный пример на Python, который перебирает тройки в лоб: берёт первую, проверяет, нет ли вырождения, если вырожденная – пробует другие тройки (переставляет одну из точек), и так далее. Как только найдена невырожденная тройка – удаляем её из списка и увеличиваем счётчик.

Пример реализации на Python

python
def area2(p1, p2, p3):
    """
    Функция возвращает удвоенную площадь треугольника, заданного
    точками p1, p2, p3. Если результат 0, то треугольник вырожден.
    """
    (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) = p1, p2, p3
    return x1*(y2 - y3) + x2*(y3 - y1) + x3*(y1 - y2)


def is_non_degenerate(p1, p2, p3):
    """
    Возвращает True, если треугольник невырожден (площадь != 0).
    """
    return area2(p1, p2, p3) != 0


def max_triangles(points):
    """
    Жадный алгоритм, возвращающий максимальное количество невырожденных
    треугольников, где каждая точка используется не более одного раза.

    points: список кортежей (x, y).
    """
    # Копируем список, чтобы не портить исходные данные
    pts = points[:]
    
    # Можно, например, отсортировать точки, чтобы был детерминированный порядок
    pts.sort()
    
    result = 0
    triangles = []  # здесь можем хранить сами тройки, если нужно
    
    # Пока точек >= 3, пытаемся найти невырожденную тройку
    while len(pts) >= 3:
        found_triangle = False
        # Перебираем все комбинации из трех разных индексов (i < j < k)
        # чтобы найти первую подходящую невырожденную.
        # При большом числе точек это O(n^3) – неэффективно, но просто.
        # Для оптимизации можно делать другие подходы, например, брать
        # первую точку и искать пару с ней, которая даст невырожденность.
        import itertools
        for combo in itertools.combinations(range(len(pts)), 3):
            i, j, k = combo
            p1, p2, p3 = pts[i], pts[j], pts[k]
            if is_non_degenerate(p1, p2, p3):
                # Нашли невырожденную тройку – удалим эти точки
                # Чтобы аккуратно удалить по индексам, которые меняются
                # (после удаления) – сначала собираем сами точки
                used_points = [pts[i], pts[j], pts[k]]
                
                # Добавим в список найденных треугольников (если хотим вывести потом)
                triangles.append(used_points)
                
                # Удалим из pts по фактическим объектам
                for up in used_points:
                    pts.remove(up)
                
                result += 1
                found_triangle = True
                break  # выходим из цикла по combo
        
        if not found_triangle:
            # Не смогли найти ни одной невырожденной тройки – выходим
            break
    
    return result, triangles


# Пример использования
if __name__ == "__main__":
    # Пример набора точек
    points = [
        (0, 0),
        (1, 0),
        (2, 0),  # эти три коллинеарны
        (0, 1),
        (2, 2),
        (10, 10),
        (1, 1),
        (2, 1),
    ]
    
    max_count, all_found_triangles = max_triangles(points)
    print("Максимальное количество невырожденных треугольников:", max_count)
    print("Сами треугольники:")
    for t in all_found_triangles:
        print(t)

Пояснения к коду:

1. area2(p1, p2, p3): возвращает удвоенную площадь. Если результат ноль, значит коллинеарны.
2. is_non_degenerate(p1, p2, p3): просто проверяет, что area2(...) != 0.
3. max_triangles(points):
   • Копируем список, сортируем (это не обязательно, но упрощает отладку).
   • Пока точек не меньше трёх:
     • Перебираем все сочетания по три точки (в худшем случае это $O(n^3)$ при каждом шаге).
     • Если нашли невырожденный треугольник – удаляем его точки из списка и увеличиваем счётчик.
     • Если ни одной тройки подходящей нет – останавливаемся.
   • Возвращаем число найденных треугольников (и опционально – список трёхточек, из которых получились треугольники).

Данный алгоритм не всегда даёт строго максимальное число треугольников, однако для многих случаев (особенно если точки «случайно» разбросаны и мало коллинеарных) он выдаст $\lfloor n/3\rfloor$. При наличии большого количества коллинеарных точек можно «подвиснуть» на переборе или получить не лучший набор троек, но с точки зрения простой реализации это зачастую приемлемое решение.

Если требуется абсолютное максимум для небольшого $n$, можно реализовать полный перебор с бэктрекингом: перебирать все возможные способы группировки точек по 3 и выбирать среди них тот, в котором максимальное число невырожденных троек. Но такой подход уже экспоненциальен (вплоть до порядка $O(3^n)$ при грубом рассмотрении), и для больших $n$ работать не будет.

Краткий итог

• Задача: найти максимальное количество невырожденных треугольников из заданного набора точек, причём каждая точка может быть использована только в одном треугольнике.
• Сложность: в общем виде задача NP‑трудна.
• Решение:
  1. Для небольших наборов – бэктрекинг или перебор (находит точное решение).
  2. Для больших наборов – жадные или эвристические алгоритмы (не гарантируют максимум, но проще в реализации).

Приведённый код демонстрирует один из самых простых жадных подходов.

Ниже приведён один из способов гарантированно найти максимальное число непересекающихся (по точкам) невырожденных треугольников из данного набора точек. Важно понимать, что задача в общем случае сводится к поиску максимального паросочетания в 3‑униформном гиперграфе и является NP‑трудной. Однако на практике для $n \le 300$ (при разумной конфигурации точек и наличии достаточных вычислительных ресурсов) зачастую можно попытаться решить задачу при помощи полного перебора (с агрессивным бранч‑и‑баунд / бэктрекинг) либо использовать Integer Linear Programming (ILP, целочисленное линейное программирование) в связке с хорошим солвером (например, CBC, GLPK, Gurobi, CPLEX, OR-Tools).

Ниже мы покажем подход с ILP‑формулировкой. Он даёт точное (оптимальное) решение. Но нужно иметь в виду:

1. Число всех троек из $n$ точек есть $\binom{n}{3} \approx \frac{n^3}{6}$. При $n=300$ это около 4.5 миллионов троек.
2. Для каждой невырожденной тройки мы заводим переменную (0/1), а для каждой точки — ограничение «не более одной тройки, содержащей её».
3. Если множество точек велико и/или среди них мало невырожденных троек, эта матрица ограничений может оказаться слишком большой, и решение на практике может занять много времени или потребовать очень много памяти.

Тем не менее, с точки зрения корректности и теоретической возможности найти максимум, ILP‑подход надёжен. Для небольших (до сотен) наборов точек, особенно если их тройки формируют не слишком плотный гиперграф (например, многие тройки вырожденные из-за коллинеарности), такой метод может сработать.

Формулировка задачи в виде ILP

Пусть у нас есть $n$ точек, перенумерованных индексами $i = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

1. Предварительно сформируем список всех невырожденных троек:

   $$T = \Bigl\{(i,j,k)\mid 0 \le i < j < k < n,\; \text{и треугольник }(i,j,k)\text{ невырожден}\Bigr\}.$$

   Проверку «невырожден» делаем, используя ненулевую площадь (коллинеарность проверяется через $\text{area2}(p_i, p_j, p_k) \neq 0$).

2. Для каждой такой тройки $(i,j,k) \in T$ вводим бинарную переменную $x_{i,j,k}$.

   • $x_{i,j,k} = 1$, если мы используем эту тройку в нашем наборе треугольников,
   • $x_{i,j,k} = 0$ — иначе.

3. Целевая функция:

   $$\max \sum_{(i,j,k)\in T} x_{i,j,k}.$$

   То есть мы стремимся взять как можно больше невырожденных троек.

4. Ограничения, чтобы каждая точка не участвовала более чем в одном треугольнике:

   $$\forall\, v \in \{0, \dots, n-1\}:\quad \sum_{\substack{(i,j,k)\in T\\v\in\{i,j,k\}}} x_{i,j,k} \;\le\; 1.$$

   Иными словами, суммарно по всем тройкам, которые включают точку $v$, переменные $x_{i,j,k}$ не должны давать сумму больше 1.

Так мы получаем классическую постановку Maximum 3-Matching в виде задачи целочисленного линейного программирования.

Пример кода на Python (с использованием библиотеки pulp)

Ниже приведён пример, как можно оформить решение через PuLP. Если у вас установлены другие солверы (GLPK, CBC, Gurobi, CPLEX, OR-Tools и др.), код может немного различаться, но общая идея сохраняется.

python
!pip install pulp
import pulp

def area2(p1, p2, p3):
    """Удвоенная площадь треугольника из трёх точек."""
    (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) = p1, p2, p3
    return x1*(y2 - y3) + x2*(y3 - y1) + x3*(y1 - y2)

def solve_max_triangles(points):
    """
    Возвращает (max_count, selected_triangles), где:
      max_count — максимальное число невырожденных треугольников,
                  каждая точка используется не более одного раза.
      selected_triangles — список самиx треугольников (каждый треугольник —
                           это кортеж индексов (i,j,k), i<j<k).
    """
    n = len(points)
    if n < 3:
        return 0, []
    
    # Шаг 1. Соберём все невырожденные тройки (i<j<k)
    valid_triples = []
    for i in range(n-2):
        for j in range(i+1, n-1):
            for k in range(j+1, n):
                if area2(points[i], points[j], points[k]) != 0:
                    valid_triples.append((i, j, k))
    
    # Если тройки не найдены, то ответ 0
    if not valid_triples:
        return 0, []
    
    # Шаг 2. Создаём задачу линейного программирования
    problem = pulp.LpProblem("MaxNonDegenerateTriangles", pulp.LpMaximize)
    
    # Шаг 3. Для каждой тройки вводим переменную (0 или 1)
    # Используем словарь (i,j,k) -> pulp.LpVariable
    x = {}
    for (i, j, k) in valid_triples:
        var_name = f"x_{i}_{j}_{k}"
        x[(i,j,k)] = pulp.LpVariable(var_name, cat=pulp.LpBinary)
    
    # Шаг 4. Целевая функция: максимизировать сумму x_{i,j,k}
    problem += pulp.lpSum([x[t] for t in valid_triples]), "Objective"
    
    # Шаг 5. Ограничения: каждая точка может участвовать не более чем в одной тройке
    # Для каждой точки v суммируем все x_{i,j,k}, где v in (i,j,k)
    for v in range(n):
        triples_with_v = []
        for (i, j, k) in valid_triples:
            if v in (i, j, k):
                triples_with_v.append(x[(i,j,k)])
        if triples_with_v:
            problem += pulp.lpSum(triples_with_v) <= 1, f"Point_{v}_constraint"
    
    # Шаг 6. Запускаем решение
    solver = pulp.PULP_CBC_CMD(msg=False)  # встроенный CBC-солвер
    problem.solve(solver)
    
    # Шаг 7. Считываем решение
    selected_triangles = []
    for (i, j, k) in valid_triples:
        if pulp.value(x[(i,j,k)]) > 0.5:  # т.к. это бинарные переменные
            selected_triangles.append((i, j, k))
    
    max_count = len(selected_triangles)
    return max_count, selected_triangles


# Пример использования
if __name__ == "__main__":
    # Набор точек (можно поменять на свой)
    points_example = [
        (0,0),
        (1,0),
        (2,0),
        (0,1),
        (1,1),
        (2,2),
        (10,10)
    ]
    
    max_cnt, triangles = solve_max_triangles(points_example)
    print("Максимальное число треугольников:", max_cnt)
    print("Сами треугольники (по индексам):", triangles)

Как это работает

1. Генерация всех невырожденных троек
   Перебираем все комбинации $(i, j, k)$ с $i < j < k$. Для каждой проверяем, не лежат ли точки на одной прямой (через area2(...) != 0).

   • Если они не коллинеарны, добавляем тройку в список valid_triples.

2. Построение ILP

   • Для каждой валидной тройки заводим бинарную переменную $x_{i,j,k}$.
   • Цель — максимизировать $\sum x_{i,j,k}$.

3. Ограничения «каждая точка не более чем в одном треугольнике»

   • Для каждой точки $v$ просматриваем все тройки, которые её содержат, и пишем $\sum x_{...} \le 1$.

4. Решение
   Запускаем встроенный в PuLP (по умолчанию) солвер CBC. При наличии других (например, Gurobi, CPLEX, GLPK) можно подключать их (если установлены) для ускорения.

5. Восстановление ответа

   • Смотрим, где $x_{i,j,k} = 1$.
   • Собираем такие тройки в результат.

Важные замечания

• Сложность: если $n$ близко к 300 и при этом много невырожденных троек, размер задачи (число переменных $\sim \binom{n}{3}$, число ограничений $\sim n$) может стать очень большим (миллионы переменных). На практике это может не уложиться ни во время, ни в память.
  • Однако если в вашей задаче много точек коллинеарны либо распределены так, что невырожденных троек существенно меньше, солвер может справиться.
  • Можно применять дополнительные эвристики, отсечения, «умные» фильтры (например, если есть заведомо нерентабельные тройки) и т.п., чтобы уменьшить размер задачи.
• Если же вы хотите всегда получить результат максимально быстро и без риска «зависнуть», придётся прибегать к приближённым/эвристическим методам. Но тогда вы теряете гарантию оптимальности.
• Для малого числа точек (до нескольких десятков) описанный ILP с хорошим солвером почти наверняка быстро найдёт точный результат.

Альтернативный вариант: полный перебор/бэктрекинг

Для $n \le 20\!-\!25$ можно пытаться делать итеративный перебор всех способов «разбить» точки на тройки (или отказаться от некоторых точек). Но даже это растёт экспоненциально и к $n=30$ быстро становится непрактичным.

Вывод

1. Задача «максимальное количество непересекающихся невырожденных треугольников» — NP‑трудная, общего «быстрого» полиномиального алгоритма не существует (если не считать особые случаи).
2. ILP-постановка даёт точный (оптимальный) результат и для $n$ до нескольких сотен может быть решена на практике, но многое зависит от расположения точек, качества солвера и доступных ресурсов.
3. Код выше на Python с pulp демонстрирует, как это сделать:
   • Сформулировать в виде «одна переменная на тройку, одна группа ограничений на каждую точку».
   • Запустить ILP-решатель.
   • Считать решение и получить оптимум.

Такой подход при достаточных ресурсах всегда находит максимум для $3 \le n \le 300$.