角度计算方法

下面给出一种坐标法的详解思路，结论是$\angle ADB = 150^\circ$。

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1. 明确已知条件并设定坐标

1. 题目给出$\triangle ABC$ 中：

   • $\angle A = 20^\circ,\ \angle B = \angle C = 80^\circ$（从图上可推知是等腰三角形，$AB = AC$）。
   • 已知底边 $BC$ 的长度与 $AD$ 相等，即 $AD = BC$。
   • 要求 $\angle ADB$。

2. 放置坐标系：

   • 令 $B$ 点在原点：$B=(0,0)$。
   • 令 $C$ 点在 $x$ 轴上：$C=(1,0)$；这样 $BC=1$。
   • 由于 $\triangle ABC$ 中 $\angle B=\angle C=80^\circ$，可知它是以 $BC$ 为底的等腰三角形，且 $AB=AC$。

3. 用正弦定理求边长：

   • 设 $\angle A=20^\circ$ 对应的对边 $BC=1$。
   • $\angle B=80^\circ$ 对应的对边 $AC$，\ $\angle C=80^\circ$ 对应的对边 $AB$，并且 $AB=AC$。
   • 由正弦定理 $$\frac{AB}{\sin 80^\circ} \;=\; \frac{BC}{\sin 20^\circ} \;=\; \frac{1}{\sin 20^\circ},$$ 得 $AB = AC = \dfrac{\sin 80^\circ}{\sin 20^\circ}\approx 2.88$。

4. 求顶点 $A$ 的坐标：

   • $A=(x_A,y_A)$ 同时满足 $$|AB|^2 = x_A^2 + y_A^2 = (2.88)^2,\quad |AC|^2 = (x_A - 1)^2 + y_A^2 = (2.88)^2.$$
   • 两式相减可得 $x_A=0.5$。代回可算 $y_A \approx 2.837$。
   • 因而 $A=(0.5,\,2.837)$。

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2. 确定点 $D$ 并计算 $\angle ADB$

1. 确定 $D$ 的坐标

   • $D$ 在边 $AC$ 上，可设为 $$D = A + t\,(C - A)\;=\;\bigl(0.5+0.5t,\;2.837\,(1 - t)\bigr), \quad t\in [0,1].$$
   • 条件 $AD=BC=1$ 要求 $|AD|=1$。代入并解得 $t \approx 0.348$。
   • 于是可算得 $$D \approx (0.674,\;1.85).$$

2. 向量及夹角计算

   • $\overrightarrow{DA} = A - D\approx(-0.174,\;0.987)$。
   • $\overrightarrow{DB} = B - D\approx(-0.674,\;-1.85)$。
   • 点积 $$\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DB} \;\approx\;(-0.174)\times(-0.674)\;+\;0.987\times(-1.85) \;\approx\;-1.707.$$
   • 各自的长度
     $\;|\overrightarrow{DA}|\approx 1$（即 $AD=1$），
     $\;|\overrightarrow{DB}|\approx1.97$。
   • 由 $$\cos\angle ADB \;=\;\dfrac{\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{DA}|\;\!|\overrightarrow{DB}|} \;\approx\;\frac{-1.707}{1\times1.97} \;\approx\;-0.865,$$ 得 $$\angle ADB \;\approx\; \arccos(-0.865) \;\approx\; 150^\circ.$$

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3. 结论

由以上坐标推导可知，满足 $AD = BC$ 的点 $D$ 所对的夹角 $\angle ADB$ 约为

$$\boxed{150^\circ}.$$

此结果也可用纯几何作图、辅助线等方法证明；但坐标法往往最直观、计算可控，最终答案就是 $150^\circ$。