試手氣遊戲期望值

先明確規則與事件的定義：

• 若「前 3 次擲出的硬幣皆為正面」，則只需 240 元。
• 否則繼續擲第 4 次，若「到第 4 次為止正面數累積滿 3 個」，則只需 320 元。
• 否則繼續擲第 5 次，若「到第 5 次為止正面數累積滿 3 個」，則只需 400 元。
• 若 5 次擲完仍無法累積 3 個正面，則需 480 元。

由於硬幣均勻，單次擲出正面或反面的機率均為 $\frac{1}{2}$。定義下列事件：

1. $E_1$：前 3 次的結果即出現 3 個正面
2. $E_2$：前 3 次未出現 3 個正面，但到第 4 次時累積正面總數達 3
3. $E_3$：前 4 次未出現 3 個正面，但到第 5 次時累積正面總數達 3
4. $E_4$：5 次擲完仍無法累積 3 個正面

1. 計算各事件的機率

• $E_1$：第 1、2、3 次皆為正面
  前 3 擲全正面的機率

  $$P(E_1) = \left(\tfrac12\right)^3 = \tfrac{1}{8}.$$

• $E_2$：第 4 次才累積到 3 個正面
  先決條件是「前 3 擲中只有 2 個正面（才能到第 4 擲才滿 3 個）」，再加上「第 4 擲為正面」：

  $$P(E_2) = P(\text{前 3 擲中有 2 個正面}) \times P(\text{第 4 擲為正面}) = \binom{3}{2}\left(\tfrac12\right)^3 \times \tfrac12 = 3 \cdot \tfrac{1}{8} \times \tfrac12 = \tfrac{3}{16}.$$

• $E_3$：第 5 次才累積到 3 個正面
  先決條件是「前 4 擲中只有 2 個正面」，再加上「第 5 擲為正面」：

  $$P(E_3) = P(\text{前 4 擲中有 2 個正面}) \times P(\text{第 5 擲為正面}) = \binom{4}{2}\left(\tfrac12\right)^4 \times \tfrac12 = 6 \cdot \tfrac{1}{16} \times \tfrac12 = \tfrac{3}{16}.$$

• $E_4$：5 擲完仍無法累積 3 個正面
  其機率即是「以上三事件都沒發生」的補事件機率：

  $$P(E_4) = 1 - \left(P(E_1) + P(E_2) + P(E_3)\right) = 1 - \left(\tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{16} + \tfrac{3}{16}\right) = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.$$

2. 各事件對應的金額

• $E_1$ 對應金額 $240$ 元
• $E_2$ 對應金額 $320$ 元
• $E_3$ 對應金額 $400$ 元
• $E_4$ 對應金額 $480$ 元

3. 計算期望值

令隨機變數 $X$ 表示顧客最終支付的金額，則

逐項計算：

1. $240 \times \tfrac{1}{8} = 30$
2. $320 \times \tfrac{3}{16} = 320 \times \tfrac{3}{16} = 20 \times 3 = 60$
3. $400 \times \tfrac{3}{16} = 25 \times 3 = 75$
4. $480 \times \tfrac{1}{2} = 240$

加總後：

因此，顧客購得一個玩偶所花金額的期望值為 405 元。