Количество синих чисел
作成日: 2025年1月17日
作成日: 2025年1月17日
Все натуральные числа от 1 до 3800 покрашены в два цвета - красный и синий, по следующему правилу: если сумма двух различных чисел а и b является простым числом, то а и b покрашены в разные цвета. Известно, что число 1 - красное. Найдите количество синих чисел.
Анализ задачи
Условие гласит: если сумма двух различных чисел и является простым числом, то и покрашены в разные цвета. Также известно, что число 1 покрашено в красный цвет.
Заметим, что сумма двух чётных чисел всегда чётна и не может быть равна простому числу больше 2 (так как чётное число не является простым).
Сумма двух различных нечётных чисел всегда чётна и больше 2, а значит не может быть равна простому числу 2 (это единственное чётное простое).
Единственный случай, когда сумма может дать простое число (большее 2), – это «чётное + нечётное», потому что такая сумма получается нечётной, и именно нечётные числа (кроме 2) могут быть простыми. Условие гласит, что в этом случае оба числа должны иметь разные цвета.
Таким образом, оптимальным (и фактически единственным корректным) способом раскраски будет:
Раз нам дано, что (нечётное) покрашено в красный, то вся нечётная часть также будет красной, а все чётные — синие.
Вычисление количества синих чисел от 1 до 3800
Синими будут все чётные числа в диапазоне от 1 до 3800, то есть:
Количество чётных чисел от 1 до 3800 равно .
Ответ: 1900.