Парабола через середины треугольника

Mapping out points

I'm gathering info on points $M$, $N$, and $K$ on the parabola $y = 43x^2 + 10x - 7$ with $x$-coordinates 11, 13, and 17, respectively.

Calculating midpoints

I’m determining the midpoints of the triangle $MNK$ by averaging the coordinates of points $M$, $N$, and $K$ to identify the new parabola passing through these points.

Determining the polynomial

I’m calculating the y-values of the midpoints of triangle $MNK$ and checking if they satisfy the existing parabola $43x^2 + 10x - 7$ to identify the new parabola passing through these points.

Ensuring accuracy

I’m calculating $y_N$ by summing $43 \times 13^2 + 10 \times 13 - 7$. After careful addition, $y_N$ equals 7267.

Confirming accuracy

I’m carefully calculating $y_K$ by multiplying $43$ by $17^2$, adding $10 \times 17$, and subtracting $7$. The final result is 12590.

Calculating midpoints

I’ve found the midpoints $P_{MN}$, $P_{NK}$, and $P_{KM}$ by averaging the coordinates of $M$, $N$, and $K$. These will be used to determine the new parabola's equation.

Solving for coefficients

I’m setting up a system of equations using the midpoints to determine the coefficients $a$, $b$, and $c$ that fit the new parabola's equation $y = ax^2 + bx + c$.

Isolating coefficients

I’m isolating $a$ by subtracting equations I and III to derive an equation in $a$ and $b$, leading to $a = -86$ after simplifying.

Verifying accuracy

I’m checking the arithmetic steps to ensure $a = -86$ is accurate. This negative value contrasts with the original parabola's positive $a$, which is intriguing and worth confirming further.

Ensuring accuracy

I’m verifying $b = 3536$ by substituting it into equation IV and confirming it holds true. This involves detailed arithmetic steps to confirm each value's validity.

Verifying consistency

I’ve calculated $c = -23700$ by substituting $a$ and $b$ into equation I. Now, I’m checking the consistency of this value with this and other equations.

Confirming consistency

I’ve verified the system by substituting $a = -86$, $b = 3536$, and $c = -23700$ into equations II and III, ensuring the new parabola's equation remains consistent.

Thought about параболе и средних точках for 28 seconds

Ниже приведён один из возможных способов решения.

1. Ищем координаты точек $M, N, K$.

   Данную параболу задаёт формула

   $$y = 43x^2 + 10x - 7.$$

   Точки $M, N, K$ имеют абсциссы $x_M=11$, $x_N=13$ и $x_K=17$. Найдём их ординаты путём подстановки в исходную формулу:

   • Для $M(11,y_M)$:

     $$y_M = 43\cdot 11^2 + 10\cdot 11 - 7.$$ $$11^2 = 121,\quad 43\cdot 121 = 5203,\quad 10\cdot 11=110,$$ $$y_M = 5203 + 110 - 7 = 5306.$$

     Итого $M = (11, 5306).$

   • Для $N(13,y_N)$:

     $$y_N = 43\cdot 13^2 + 10\cdot 13 - 7.$$ $$13^2 = 169,\quad 43\cdot 169 = 7267,\quad 10\cdot 13=130,$$ $$y_N = 7267 + 130 - 7 = 7390.$$

     Итого $N = (13, 7390).$

   • Для $K(17,y_K)$:

     $$y_K = 43\cdot 17^2 + 10\cdot 17 - 7.$$ $$17^2 = 289,\quad 43\cdot 289=12427,\quad 10\cdot 17=170,$$ $$y_K = 12427 + 170 - 7 = 12590.$$

     Итого $K = (17, 12590).$

2. Находим середины сторон треугольника $MNK$.

   Пусть

   $$P_{MN} \text{ — середина } MN,\quad P_{NK} \text{ — середина } NK,\quad P_{KM} \text{ — середина } KM.$$

   Тогда координаты середин вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезков:

   • $$P_{MN} = \Bigl(\tfrac{x_M + x_N}{2},\; \tfrac{y_M + y_N}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{11 + 13}{2},\; \tfrac{5306 + 7390}{2}\Bigr) = (12,\; 6348).$$
   • $$P_{NK} = \Bigl(\tfrac{x_N + x_K}{2},\; \tfrac{y_N + y_K}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{13 + 17}{2},\; \tfrac{7390 + 12590}{2}\Bigr) = (15,\; 9990).$$
   • $$P_{KM} = \Bigl(\tfrac{x_K + x_M}{2},\; \tfrac{y_K + y_M}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{17 + 11}{2},\; \tfrac{12590 + 5306}{2}\Bigr) = (14,\; 8948).$$

3. Составляем систему для новой параболы $y = ax^2 + bx + c$.

   Парабола должна проходить через три полученные точки $(12,6348)$, $(15,9990)$, $(14,8948)$. Подставляя их координаты в $y = ax^2 + bx + c$, получаем систему:

   $$\begin{cases} 6348 = a\cdot 12^2 + b\cdot 12 + c,\\ 9990 = a\cdot 15^2 + b\cdot 15 + c,\\ 8948 = a\cdot 14^2 + b\cdot 14 + c. \end{cases}$$

   Или в более развёрнутом виде:

   $$\begin{cases} 144a + 12b + c = 6348,\\ 225a + 15b + c = 9990,\\ 196a + 14b + c = 8948. \end{cases}$$

4. Решаем систему уравнений.

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$(225a - 144a) + (15b - 12b) = 9990 - 6348$$ $$81a + 3b = 3642 \quad\Longrightarrow\quad 27a + b = 1214. \tag{1}$$

   Вычтем первое уравнение из третьего:

   $$(196a - 144a) + (14b - 12b) = 8948 - 6348$$ $$52a + 2b = 2600 \quad\Longrightarrow\quad 26a + b = 1300. \tag{2}$$

   Теперь вычтем (2) из (1):

   $$(27a + b) - (26a + b) = 1214 - 1300$$ $$a = -86.$$

   Подставляя $a=-86$ в (2):

   $$26(-86) + b = 1300 \quad\Longrightarrow\quad -2236 + b = 1300 \quad\Longrightarrow\quad b = 3536.$$

   И, наконец, из любого первого уравнения найдём $c$. Подставим в $144a + 12b + c = 6348$:

   $$144(-86) + 12\cdot 3536 + c = 6348.$$ $$-12384 + 42432 + c = 6348 \quad\Longrightarrow\quad 30048 + c = 6348 \quad\Longrightarrow\quad c = -23700.$$

5. Ответ на вопрос.

   Новая парабола, проходящая через середины сторон треугольника $MNK$, имеет вид

   $$y = -86\,x^2 + 3536\,x - 23700.$$

   Коэффициент $a$ при $x^2$ равен

   $$\boxed{-86}.$$