Равносторонний треугольник 1004
作成日: 2025年1月13日
作成日: 2025年1月13日
Равносторонний треугольник разбит на 1004 меньших равносторонних треугольников, из которых ровно 1003 имеют сторону 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать сторона исходного треугольника. Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.
Разбор задачи
Пусть сторона исходного равностороннего треугольника равна . Он разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых имеют сторону , а один имеет сторону, скажем, . Все треугольники непременно укладываются без наложений внутрь большого треугольника.
Площадь большого треугольника.
Площадь равностороннего треугольника со стороной равна
Суммарная площадь малых треугольников.
Из 1004 треугольников:
Итого суммарная площадь всех малых треугольников:
Условие равенства площадей.
Разбиение целиком заполняет большой треугольник, значит
Откуда получаем
Перепишем как
Факторизация числа .
Заметим, что . Положительные разложения на два множителя таковы:
Пусть
Тогда
То есть с точки зрения площади (а значит и потенциальной возможности разбиения) подходят ровно два набора :
Остаётся проверить, что такое разбиение действительно существует в каждом случае (подтверждение обычно даётся в решении задач такого типа с помощью схемы «крупный треугольник со стороной + «ободок» шириной , разбиваемый на равно¬сторонние единичные треугольники»).
В результате получаем два допустимых значения стороны исходного треугольника:
По условию, если значений несколько, нужно указать их сумму. Следовательно,
Фирма «Всё и сразу.GO.GO.GO» проводит акцию: 30%-ая скидка на все товары тем, кто при оформлении заказа укажет промокод «GOGOGO30». Рекламное объявление об акции напечатано таким шрифтом, что в промокоде буква «О» неотличима от цифры «0», а буква «З» — от цифры «3», однако в случае проблем с вводом промокода можно обратиться в техническую поддержку.
Известно, что из 288000 человек, решивших воспользоваться акцией, только каждый девятый сразу правильно догадался о том, какой именно промокод указан в объявлении. Остальные участники в промокоде букву «О» и цифру «0», а также цифру «3» и букву «З» использовали совершенно случайным образом. 10% тех, кто ошибся с вводом промокода, сразу обратились в техническую поддержку, остальные попробовали ввести промокод повторно. Из тех, у кого и со второго раза не получилось оформить заказ с промокодом, 68% обратились в техническую поддержку, а остальные решили не пользоваться товарами фирмы.
Сколько процентов участников, решивших воспользоваться акцией, ввели промокод правильно без обращения в техническую поддержку? Ответ запишите с точностью до трех знаков после запятой.
Разберём задачу по шагам.
Всего участников акции — 288 000 человек.
Каждый девятый (то есть от общего числа) сразу вводит промокод правильно. Значит:
Остальные человек вводят промокод неправильно с первой попытки.
Из этих 256 000 ошибшихся:
Во второй раз (по условию) те, кто пробует снова, случайно выбирают, где ставить букву «О» или цифру «0», а также «З» или «3».
Значит, из 230 400 человек, которые делают вторую попытку, верно введут промокод:
Остальные снова ошибутся.
Из тех, кто во второй раз тоже ошибся (223 200 человек):
Те, кто сразу ввёл верно: 32 000 человек (им техподдержка не нужна).
Те, кто с первой попытки ошибся, но не пошёл в техподдержку и зато угадал со второй: 7 200 человек.
Обратите внимание, что эти 7 200 — как раз из тех 230 400, кто пошёл на вторую попытку (а не обратился в поддержку после первой неудачи).
Таким образом, без техподдержки и правильно промокод ввели:
Из общего числа 288 000 это составляет
Задача просит дать ответ «с точностью до трёх знаков после запятой», значит итоговый результат: