Hello response

Hello! How can I help you today?

Bài giải chi tiết

Cho hàm số

Chúng ta lần lượt giải quyết các yêu cầu:

1) Tìm tập xác định của hàm số

Vì bên trong căn $\sqrt{9 - x^2}$ phải không âm, ta có điều kiện:

Do đó, tập xác định của $f(x)$ là

2) Tính giá trị lớn nhất của hàm số

Để tìm giá trị lớn nhất (cũng như các cực trị), ta xét đạo hàm và tìm các điểm tới hạn trong miền $[-3,3]$.

a) Tính đạo hàm $f'(x)$

Ta có

Dùng quy tắc sản phẩm (product rule) và đạo hàm của $\sqrt{\,9 - x^2\,}$, ta tính:

Rút gọn:

• Thành phần thứ nhất: $\sqrt{9 - x^2}$.
• Thành phần thứ hai: $$x \cdot \tfrac12 \cdot (-2x)\,(9 - x^2)^{-\tfrac12} \;=\; -\,x^2 \,(9 - x^2)^{-\tfrac12}.$$

Do đó,

Vậy

b) Tìm điểm tới hạn

Điểm tới hạn xảy ra khi $f'(x) = 0$ (và $x$ nằm trong miền $[-3,3]$):

Cả hai giá trị này đều thuộc $[-3,3]$.

c) So sánh giá trị tại các điểm biên và điểm tới hạn

• Tại $x = -3$: $$f(-3) = (-3)\,\sqrt{9 - 9} = (-3)\cdot 0 = 0.$$
• Tại $x = 3$: $$f(3) = 3\,\sqrt{9 - 9} = 3 \cdot 0 = 0.$$
• Tại $x = \tfrac{3}{\sqrt{2}}$: $$f\!\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr) = \tfrac{3}{\sqrt{2}}\;\sqrt{9 - \tfrac{9}{2}} = \tfrac{3}{\sqrt{2}} \;\sqrt{\tfrac{9}{2}} = \tfrac{3}{\sqrt{2}} \;\cdot \tfrac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2}.$$
• Tại $x = -\,\tfrac{3}{\sqrt{2}}$: $$f\!\Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr) = -\,\tfrac{3}{\sqrt{2}}\;\sqrt{9 - \tfrac{9}{2}} = -\,\tfrac{3}{\sqrt{2}}\;\cdot \tfrac{3}{\sqrt{2}} = -\,\frac{9}{2}.$$

Từ đó, giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $[-3,3]$ là

(Còn giá trị nhỏ nhất là $-\tfrac{9}{2}$ tại $x = -\tfrac{3}{\sqrt{2}}$.)

3) Giải phương trình $2f(x) - 1 = 0$

Phương trình cần giải là:

Bước 1: Đưa về phương trình đại số

Đặt

Bình phương hai vế (chú ý kiểm tra dấu sau), ta được

Nhân hai vế với 4:

Đặt $y = x^2$, ta được phương trình bậc hai:

Giải phương trình này:

• Tính biệt thức:

  $$\Delta = (-36)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1296 - 16 = 1280 = 256 \cdot 5 = (16)^2 \cdot 5.$$

  Suy ra $\sqrt{\Delta} = 16\,\sqrt{5}.$

• Nghiệm của $y$:

  $$y = \frac{36 \pm 16\sqrt{5}}{2 \cdot 4} = \frac{36 \pm 16\sqrt{5}}{8} = \frac{9 \pm 4\sqrt{5}}{2}.$$

  Kí hiệu

  $$y_1 = \frac{9 + 4\sqrt{5}}{2}, \quad y_2 = \frac{9 - 4\sqrt{5}}{2}.$$

  Lưu ý rằng cả hai $y_1, y_2$ đều dương và đều $\leq 9$ (để vẫn thuộc miền $[-3,3]$ cho $x$).

Bước 2: Suy ra nghiệm cho $x$

Vì $y = x^2 \ge 0$, ta có

Tuy nhiên, phương trình gốc là $\;x\,\sqrt{9 - x^2} = \tfrac12$, vế trái phải dương (vì $= \tfrac12 > 0$), nên $x$ phải dương (vì $\sqrt{9 - x^2}$ luôn không âm).

Do đó, chỉ giữ các nghiệm dương:

Đây là hai nghiệm duy nhất của phương trình $2f(x) - 1 = 0$ trong miền $[-3,3]$.

(Nếu đề yêu cầu lấy luôn cả nghiệm âm, thì ta sẽ kiểm tra lại dấu của vế trái. Ở đây, do phương trình bằng $+\tfrac12$, nên nghiệm âm không thỏa.)

4) Tóm tắt kết quả

1. Tập xác định:

   $$D = [-3,\, 3].$$

2. Đạo hàm:

   $$f'(x) = \sqrt{9 - x^2} \;-\; \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \;=\; \frac{9 - 2x^2}{\sqrt{9 - x^2}}.$$

3. Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $[-3,3]$:

   $$\max f(x) \;=\; \frac{9}{2} \quad\text{(đạt tại }x = \tfrac{3}{\sqrt{2}}\text{)}.$$

   (Giá trị nhỏ nhất là $-\tfrac{9}{2}$ tại $x = -\tfrac{3}{\sqrt{2}}$.)

4. Giải phương trình $2f(x) - 1 = 0$, tức

   $$x\,\sqrt{9 - x^2} = \tfrac12:$$ $$\boxed{ x = \sqrt{\frac{9 + 4\sqrt{5}}{2}} \quad\text{hoặc}\quad x = \sqrt{\frac{9 - 4\sqrt{5}}{2}}. }$$

   (Hai nghiệm dương trong $[-3,3]$.)

\boxed{\text{Đáp án ngắn gọn:}}

1. $D = [-3,3]$.
2. $f'(x) = \dfrac{9 - 2x^2}{\sqrt{9 - x^2}}.$
3. $\displaystyle \max f(x) = \frac{9}{2}$ tại $x = \tfrac{3}{\sqrt{2}}$.
4. Nghiệm của $2f(x) - 1 = 0$ là $\displaystyle x = \sqrt{\tfrac{9 + 4\sqrt{5}}{2}}$ hoặc $\displaystyle x = \sqrt{\tfrac{9 - 4\sqrt{5}}{2}}$.

Giải thích chi tiết

Ta có hình chóp $S.ABC$ với các dữ kiện:

• $SA = SB = SC = AB = AC = a$ (cùng bằng $a$),
• $BC = a\sqrt{2}$.

Từ đó suy ra tam giác $ABC$ có $AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt{2}$. Đây là dạng tam giác vuông cân (cạnh huyền $BC$) và góc vuông ở $A$.

Ta lần lượt kiểm tra tính đúng/sai của các mệnh đề dưới đây.

Chuẩn bị hệ trục tọa độ để tính toán vector

Để kiểm tra dấu của các tích vô hướng, ta nên đặt các điểm $A,B,C$ vào hệ trục tọa độ 3D sao cho tính toán được dễ dàng:

• Đặt $A$ tại gốc tọa độ $O(0,0,0)$.
• Đặt $B$ trên trục $Ox$: $B(a,\,0,\,0)$ $\bigl($vì $AB=a\bigr)$.
• Đặt $C$ trên trục $Oy$: $C(0,\,a,\,0)$ $\bigl($vì $AC=a\bigr)$.

Khi đó:

• $AB=a$,
• $AC=a$,
• $BC=\sqrt{(a-0)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2},$
  đúng như giả thiết.

Tìm tọa độ điểm $S$

Điểm $S$ thoả mãn $SA=SB=SC=a$. Gọi $S(x,y,z)$. Từ $SA=a$ ta có

Từ $SB=a$ với $B(a,0,0)$, ta có

Từ $(1)-(2)$ suy ra:

Tương tự, từ $SC=a$ với $C(0,a,0)$, ta có

So sánh $(1)-(3)$:

Thay $x=\frac{a}{2},\,y=\frac{a}{2}$ vào (1) được

Ta thường chọn $z>0$ để $S$ “nằm phía trên” mặt phẳng $ABC$. Vậy:

Mệnh đề 1

• $\vec{AB} = B - A = (a,\,0,\,0)$.
• $\vec{SC} = C - S = \bigl(0 - \tfrac{a}{2},\,a - \tfrac{a}{2},\,0 - \tfrac{a}{\sqrt{2}}\bigr) = \Bigl(-\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a}{2},\,-\tfrac{a}{\sqrt{2}}\Bigr).$

Tích vô hướng:

Kết quả bằng $-\tfrac{a^2}{2}$, không phải $+\tfrac{a^2}{2}$.

Vậy mệnh đề “$\vec{SC}\cdot \vec{AB} = \tfrac{a^2}{2}$” là sai (dấu đã khác).

Mệnh đề 2

2.1) $\vec{AB}\cdot \vec{AC} = 0$

• $\vec{AB} = (a,\,0,\,0)$.
• $\vec{AC} = (0,\,a,\,0)$.

Tích vô hướng:

Đúng như mong đợi, vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

2.2) Góc giữa $\vec{SA}$ và $\vec{AB}$

• $\vec{SA} = A - S = (0,0,0) - \Bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a}{\sqrt{2}}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{a}{2},\,-\tfrac{a}{2},\,-\tfrac{a}{\sqrt{2}}\Bigr).$
• $\vec{AB} = (a,0,0)$.

Tích vô hướng:

Độ lớn:

Góc $\theta$ giữa $\vec{SA}$ và $\vec{AB}$ thoả

Vừa tính được $\vec{SA}\cdot \vec{AB} = -\tfrac{a^2}{2}$. Vậy

Điều này đúng.

Kết luận: Mệnh đề 2 là đúng (cả hai vế).

Mệnh đề 3

“Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và tam giác $SAB$ đều.”

3.1) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$

Như ta đã thấy, $AB=a$, $AC=a$, $BC=a\sqrt{2}$. Đây đúng là tam giác vuông cân tại $A$.

3.2) Tam giác $SAB$ đều

• $SA=a$,
• $SB=a$,
• $AB=a$.

Ba cạnh bằng nhau $\implies$ tam giác $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$.

Vậy mệnh đề 3 là đúng.

Tóm tắt kết luận

1. $\vec{SC}\cdot \vec{AB} = \tfrac{a^2}{2}$?
   $\quad$Sai, vì tính ra bằng $-\tfrac{a^2}{2}$.

2. $\vec{AB}\cdot \vec{AC} = 0$ và góc $\angle(\vec{SA},\,\vec{AB})=120^\circ$?
   $\quad$Đúng.

3. “Tam giác $ABC$ vuông tại $A$” và “Tam giác $SAB$ đều”?
   $\quad$Đúng.

Trả lời ngắn gọn

• Mệnh đề 1: Sai.
• Mệnh đề 2: Đúng.
• Mệnh đề 3: Đúng.