Chứng minh và số dư

作成日: 2024年12月29日

質問

Câu 2 (7,0 điểm)

Với mỗi số nguyên n \geq 0 , đặt u_n = \left( 2 + \sqrt{5} \right)^n + \left( 2 - \sqrt{5} \right)^n .

a) Chứng minh rằng u_n là số nguyên dương với mọi n \geq 0 . Khi n thay đổi, số dư của u_n khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu?

思考

Xác nhận giá trị

Tôi đang chứng minh rằng u_n là số nguyên dương bằng cách sử dụng định lý thiện trẻ. Điều này cho thấy mỗi u_n là một số nguyên dương.

Xây dựng quan hệ

Tôi đang xây dựng quan hệ cung n tần số bằng cách sử dụng số phức là rễ của phương trình bậc hai. Điều này giúp tôi hiểu rõ hơn về chuỗi số.

Xác nhận tính chất

Tôi đang kiểm tra tính chất từng phần tử của chuỗi số để đảm bảo u_n là số nguyên và dương. Điều này cho phép tôi chắc chắn về sự chính xác của chuỗi.

Kiểm tra chuỗi

Hãy xem lại chuỗi số u_n modulo 24. Tôi nhận thấy chuỗi lặp lại sau mỗi 8 bước và giá trị dư lớn nhất khi chia cho 24 là 20.

Suy nghĩ cho 7 giây

回答

Phần a)

Chúng ta cần chứng minh rằng $u_n = (2 + \sqrt{5})^n + (2 - \sqrt{5})^n$ là số nguyên dương với mọi $n \geq 0$ .

Bước 1: Xác định mệnh đề cơ sở

Với $n = 0$ : $u_0 = (2 + \sqrt{5})^0 + (2 - \sqrt{5})^0 = 1 + 1 = 2 \quad (\text{là số nguyên dương})$
Với $n = 1$ : $u_1 = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 4 \quad (\text{là số nguyên dương})$

Bước 2: Xác định quy nạp

Xét $u_{n+2}$ :

u_{n+2} = (2 + \sqrt{5})^{n+2} + (2 - \sqrt{5})^{n+2}

Sử dụng công thức khai triển:

u_{n+2} = (2 + \sqrt{5})^2 (2 + \sqrt{5})^n + (2 - \sqrt{5})^2 (2 - \sqrt{5})^n

Tính $(2 + \sqrt{5})^2$ và $(2 - \sqrt{5})^2$ :

(2 + \sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}

(2 - \sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}

Vậy:

u_{n+2} = (9 + 4\sqrt{5})(2 + \sqrt{5})^n + (9 - 4\sqrt{5})(2 - \sqrt{5})^n

= 9\left[(2 + \sqrt{5})^n + (2 - \sqrt{5})^n\right] + 4\sqrt{5}\left[(2 + \sqrt{5})^n - (2 - \sqrt{5})^n\right]

= 9u_n + 4\sqrt{5}\left[(2 + \sqrt{5})^n - (2 - \sqrt{5})^n\right]

Tuy nhiên, do $u_n$ là số nguyên và biểu thức trên liên quan đến sự đối xứng của các căn thức, ta có thể tìm được mối quan hệ quy nạp đơn giản hơn thông qua phương trình đặc trưng.

Phương trình đặc trưng: Vì $2 + \sqrt{5}$ và $2 - \sqrt{5}$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 4x - 1 = 0$ , nên dãy $u_n$ thỏa mãn:

u_{n+2} = 4u_{n+1} + u_n

Với $u_0 = 2$ và $u_1 = 4$ .

Bước 3: Quy nạp

Giả sử với mọi $k \leq n$ , $u_k$ là số nguyên dương. Khi đó:

u_{n+2} = 4u_{n+1} + u_n

Là tổng của các số nguyên dương, nên $u_{n+2}$ cũng là số nguyên dương. Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, $u_n$ là số nguyên dương với mọi $n \geq 0$ .

Phần b)

Chúng ta cần tìm số dư lớn nhất của $u_n$ khi chia cho 24.

Bước 1: Tính các giá trị $u_n$ modulo 24

Dựa vào mối quan hệ quy nạp $u_{n+2} = 4u_{n+1} + u_n$ , ta tính các giá trị modulo 24:

\begin{align*} u_0 &= 2 \\ u_1 &= 4 \\ u_2 &= 4 \times 4 + 2 = 18 \\ u_3 &= 4 \times 18 + 4 = 76 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 24) \\ u_4 &= 4 \times 4 + 18 = 34 \equiv 10 \ (\text{mod}\ 24) \\ u_5 &= 4 \times 10 + 4 = 44 \equiv 20 \ (\text{mod}\ 24) \\ u_6 &= 4 \times 20 + 10 = 90 \equiv 18 \ (\text{mod}\ 24) \\ u_7 &= 4 \times 18 + 20 = 92 \equiv 20 \ (\text{mod}\ 24) \\ u_8 &= 4 \times 20 + 18 = 98 \equiv 2 \ (\text{mod}\ 24) \\ u_9 &= 4 \times 2 + 20 = 28 \equiv 4 \ (\text{mod}\ 24) \\ u_{10} &= 4 \times 4 + 2 = 18 \ (\text{mod}\ 24) \\ \end{align*}

Ta thấy chu kỳ lặp lại sau 8 bước: $2, 4, 18, 4, 10, 20, 18, 20, 2, \ldots$

Bước 2: Xác định số dư lớn nhất

Các số dư trong chu kỳ là: 2, 4, 10, 18, 20. Số dư lớn nhất là 20.

Kết luận:

$u_n$ là số nguyên dương với mọi $n \geq 0$ .
Số dư lớn nhất của $u_n$ khi chia cho 24 là 20.

Trả lời: Số $u_n$ luôn là số nguyên dương và khi chia cho 24, số dư lớn nhất của $u_n$ là 20.

質問

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (a, b) nhỏ hơn 500 sao cho với mọi n lẻ ta có $ u_n = a^2 - b^2 \pmod{1111} $.

思考

Xác định điều kiện
Tôi đang tìm các cặp số nguyên (a, b) nhỏ hơn 500 sao cho với mọi n lẻ, u_n ≡ a^2 - b^2 mod 1111. Hãy cùng tôi khám phá điều này.

Kiểm tra điều kiện
Thực sự không rõ ràng khi xử lý "các số lẻ n". Tôi đang xác minh liệu u_n có phải là hằng số mod 1111 cho mọi n lẻ, hay a^2 - b^2 chỉ cần tương đương với u_n đối với mỗi n lẻ.

Xác định yếu tố

Tôi đang nghiên cứu u_n mod 1111 cho n lẻ, có thể u_n phải là hằng số mod 1111. Điều này liên quan đến a^2 - b^2 ≡ c mod 1111.

Ùn nạp và mở rộng
Tôi đang mổ xẻ hàm u_n mod 1111 qua mối quan hệ đệ quy u_{n+2} = 4 u_{n+1} + u_n. Điều này có thể cung cấp cái nhìn sâu sắc về các giá trị u_n lẻ.

Liệt kê giá trị

Tôi đang liệt kê giá trị u_n mod 1111 cho các n lẻ từ 1 đến 45, xem có thể tìm thấy mẫu số chung nào không.

Tìm mối liên hệ

Đang xem xét liệu u_n có phải là hằng số mod 1111 không, để có thể xác định các cặp (a, b) sao cho a^2 - b^2 ≡ u_n mod 1111 cho mọi n lẻ.

Kiểm tra tính chất

Tôi đang tìm hiểu liệu u_n có phải là hằng số mod 1111 cho mọi n lẻ hay không, nhưng các giá trị u_n lại không thống nhất mod 1111. Vì vậy, không có cặp (a, b) nào thỏa mãn điều kiện này.

Xác định tính phức tạp

Lát nữa sẽ thể nghiệm rằng u_n mod 1111 không đồng nhất đối với mọi n lẻ, vì vậy không có cặp (a, b) nào thỏa mãn điều kiện này.

Tìm hiểu thêm

Đang phân tích giá trị u_n mod 1111 cho các n lẻ từ 1 đến 45. Điều này giúp xác định liệu có mối liên hệ nào giữa a và b không.

Đang phân tích
Tôi đang xem xét câu hỏi và nhận thấy rằng u_n mod 1111 có thể là hằng số cho một số n lẻ. Điều này dẫn đến suy nghĩ về các cặp (a, b) thỏa mãn điều kiện.

Ngoại suy phân tích

Tôi đang suy nghĩ về việc u_n mod 1111 có thể phải là hằng số cho một số n lẻ. Điều này làm tôi nghĩ đến các cặp (a, b) thỏa mãn điều kiện.

Xem lại giải pháp

Tôi nhận thấy căng thẳng trong việc giải quyết bài toán và nhận ra vấn đề cần thay đổi để đủ điều kiện thỏa mãn.

Điều chỉnh phương pháp

Đang tìm cách tiếp cận lại bài toán để thỏa mãn điều kiện mà không đưa ra lời giải, có thể cần điều chỉnh thêm.

Điều chỉnh phương pháp

Tôi nhận ra rằng u_n mod 1111 không thể là hằng số cho mọi n lẻ, dẫn đến việc không có cặp (a, b) nào thỏa mãn điều kiện này.

Phân tích

Tôi đang kiểm tra lại yêu cầu, liệu có phải tìm (a,b) sao cho u_n = a^2 - b^2 đối với một n lẻ nào đó. Nhưng có vẻ u_n mod 1111 không ổn định cho n lẻ.

Tham khảo kết quả

Kiểm tra lại, u_n không ổn định cho n lẻ, dẫn đến việc không có cặp (a, b) nào thỏa mãn điều kiện này.

Tìm điểm sáng

Tôi đang kiểm tra các cặp (a, b) nhỏ hơn 500, tìm u_n mod 1111 bằng cách viết a^2 - b^2. Có vẻ như nhiều cặp thỏa mãn điều kiện này.

Tìm kiếm mảnh ghép

Đang cố gắng tìm kiếm cặp (a, b) sao cho a^2 - b^2 ≡ u_n mod 1111 cho mọi n lẻ. Hình như không có cặp nào thỏa mãn vì u_n không ổn định.

Xem xét lại yêu cầu

Tôi đang hiểu rõ hơn rằng yêu cầu tìm (a, b) sao cho a^2 - b^2 ≡ u_n mod 1111 cho mọi n lẻ, nhưng u_n không ổn định, nên không có giải pháp nào thỏa mãn.

Suy nghĩ cho 30 giây

回答

Phần b)

Chúng ta cần tìm tất cả các cặp số nguyên $(a, b)$ nhỏ hơn 500 sao cho với mọi $n$ lẻ, ta có:

u_n \equiv a^2 - b^2 \pmod{1111}

Với $u_n = (2 + \sqrt{5})^n + (2 - \sqrt{5})^n$ .

Phân tích yêu cầu:

Yêu cầu rằng cho mọi $n$ lẻ, $a^2 - b^2$ phải thỏa mãn:

a^2 - b^2 \equiv u_n \pmod{1111}

Điều này có nghĩa là giá trị $a^2 - b^2$ phải đồng thời thỏa mãn tất cả các điều kiện tương ứng với từng $u_n$ cho các $n$ lẻ khác nhau.

Xét các giá trị $u_n$ cho các $n$ lẻ:

Dựa vào phần a), ta có thể tính các giá trị $u_n$ cho một số giá trị $n$ lẻ nhỏ:

\begin{align*} u_1 &= 4 \\ u_3 &= 76 \\ u_5 &= 253 \\ u_7 &= 34 \\ u_9 &= 359 \\ u_{11} &= 873 \\ u_{13} &= 912 \\ &\vdots \end{align*}

Nhận thấy rằng các giá trị $u_n$ cho các $n$ lẻ không cố định mà thay đổi liên tục.

Phân tích điều kiện:

Để tồn tại cặp $(a, b)$ thỏa mãn $a^2 - b^2 \equiv u_n \pmod{1111}$ với mọi $n$ lẻ, thì phải:

a^2 - b^2 \equiv u_n \pmod{1111} \quad \forall \, n \text{ lẻ}

Tức là, $a^2 - b^2$ phải đồng thời thỏa mãn:

a^2 - b^2 \equiv 4 \pmod{1111} \\ a^2 - b^2 \equiv 76 \pmod{1111} \\ a^2 - b^2 \equiv 253 \pmod{1111} \\ &\vdots

Điều này dẫn đến yêu cầu:

4 \equiv 76 \equiv 253 \equiv \ldots \pmod{1111}

Nhưng rõ ràng:

76 - 4 = 72 \not\equiv 0 \pmod{1111} \\ 253 - 76 = 177 \not\equiv 0 \pmod{1111} \\ &\vdots

Điều này mâu thuẫn, vì không thể đồng thời thỏa mãn $a^2 - b^2 \equiv c \pmod{1111}$ với các giá trị $c$ khác nhau.

Kết luận:

Không tồn tại cặp số nguyên $(a, b)$ nhỏ hơn 500 sao cho với mọi $n$ lẻ, $u_n \equiv a^2 - b^2 \pmod{1111}$ .

Trả lời:

Không tồn tại cặp số nguyên $(a, b)$ nhỏ hơn 500 thỏa mãn yêu cầu đã cho.

質問

思考

回答

質問

思考

回答

このQ&Aを共有