Hệ quang và gương cầu

a. Chứng minh hệ quang tương đương với một gương cầu và xác định vị trí tiêu điểm, tâm và đỉnh gương cầu

Chứng minh:

Xét hệ quang gồm một thấu kính hội tụ mỏng có tiêu cự $f$ và một gương phẳng cách nhau một khoảng $l$. Trục chính của thấu kính vuông góc với gương và mặt phản xạ của gương hướng về phía thấu kính.

1. Quá trình quang học của hệ thống:

   • Tia sáng song song đến thấu kính hội tụ và được thấu kính hội tụ tại tiêu điểm $F$ cách thấu kính một khoảng $f$.
   • Tuy nhiên, thay vì một tia sáng đi xa sau khi hội tụ tại $F$, tia sáng sẽ gặp gương phẳng sau một khoảng $l$ từ thấu kính.
   • Gương phẳng phản xạ lại tia sáng theo quy tắc phản xạ (góc tới bằng góc phản xạ), do đó tia sáng sau phản xạ sẽ đi ngược trở lại thấu kính.
   • Khi tia sáng đi qua thấu kính lần thứ hai, chúng sẽ hội tụ lại tại một điểm mới.

2. Xác định tiêu cự hiệu dụng của hệ thống:

   • Hệ thống thấu kính + gương phẳng tương đương với một thấu kính có công suất gấp đôi thấu kính ban đầu do tia sáng đi qua thấu kính hai lần.
   • Công suất của thấu kính là $P = \frac{1}{f}$.
   • Công suất hiệu dụng của hệ thống là $P_{\text{hiệu dụng}} = 2P = \frac{2}{f}$.
   • Do đó, tiêu cự hiệu dụng của hệ thống là: $$F = \frac{1}{P_{\text{hiệu dụng}}} = \frac{f}{2}$$

3. Tương đương với gương cầu:

   • Hệ thống quang này tương đương với một gương cầu có tiêu cự $F = \frac{f}{2}$.
   • Vị trí tiêu điểm (F') của gương cầu: cách đỉnh gương cầu một khoảng $F = \frac{f}{2}$.
   • Vị trí tâm (C) của gương cầu: cách đỉnh gương cầu một khoảng $2F = f$.
   • Đỉnh gương cầu: tại vị trí của thấu kính.

Kết luận: Hệ quang gồm thấu kính hội tụ mỏng và gương phẳng cách nhau một khoảng $l$ tương đương với một gương cầu có tiêu cự $\frac{f}{2}$, với đỉnh gương tại thấu kính, tiêu điểm cách đỉnh gương $\frac{f}{2}$ và tâm gương cách đỉnh gương $f$.

b. Điều kiện về khoảng cách $l$ để hệ quang tương đương với gương cầu lồi hoặc gương cầu lõm

Để hệ quang tương đương với một gương cầu lồi hoặc lõm, khoảng cách $l$ giữa thấu kính và gương phẳng phải thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Tương đương với gương cầu lõm:

   • Gương cầu lõm có tiêu cự dương.
   • Hệ thống thấu kính + gương phẳng sẽ tương đương với gương cầu lõm nếu khoảng cách $l$ nhỏ hơn tiêu cự của thấu kính.
   • Điều kiện: $l < \frac{f}{2}$
   • Khi $l$ nhỏ hơn $\frac{f}{2}$, tiêu cự hiệu dụng của hệ thống $F = \frac{f}{2}$ vẫn giữ được tính hội tụ, tương đương với gương cầu lõm.

2. Tương đương với gương cầu lồi:

   • Gương cầu lồi có tiêu cự âm.
   • Hệ thống thấu kính + gương phẳng sẽ tương đương với gương cầu lồi nếu khoảng cách $l$ lớn hơn tiêu cự của thấu kính.
   • Điều kiện: $l > \frac{f}{2}$
   • Khi $l$ lớn hơn $\frac{f}{2}$, hệ thống bắt đầu cho thấy tính chất phân kỳ, tương đương với gương cầu lồi.

Tóm lại:

• Gương cầu lõm: $l < \frac{f}{2}$
• Gương cầu lồi: $l > \frac{f}{2}$

Nếu $l = \frac{f}{2}$, hệ thống quang sẽ có tiêu cự vô hạn, tương đương với một gương phẳng.