Chudnovsky公式證明

這個公式是 Chudnovsky 兄弟公式，用來計算 $\pi$ 的非常快速的級數展開，是現代計算 $\pi$ 的許多算法的基礎之一。以下是它的證明的概要步驟：

1. 背景與公式來源

Chudnovsky 公式是基於模形式理論以及某些特定橢圓模形式的性質推導而來的，特別是與莫德爾-韋伊函數（Modular Form）和等周定理相關的數學結構。這個公式屬於 Ramanujan型公式 的一類，它們的形式類似於無窮級數展開。

公式的具體形式是：

$$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!}{(k!)^4} \cdot \frac{26390k + 1103}{396^{4k}}.$$

以下是公式的證明大致的步驟：

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2. 引入橢圓模形式

公式的證明可以追溯到 模形式（Modular Forms），特別是橢圓模形式相關的結構。模形式是一類在上半平面上定義的特殊解析函數，對於某些矩陣變換保持不變。這些函數與數論、橢圓曲線和特殊函數有深刻的聯繫。

具體來說，公式中的係數 $396$ 和 $99^2$ 都來自於一個模形式的具體選擇，這些參數與莫德爾-韋伊函數中的特殊值相關。

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3. 級數的展開與特殊值

級數部分：

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!}{(k!)^4} \cdot \frac{26390k + 1103}{396^{4k}}$$

可以被看作是一個橢圓模形式展開後的無窮級數。其中特殊值 $26390k + 1103$ 和分母中的 $396^{4k}$ 是通過選擇特定的模形式參數化得到的。

• $(4k)! / (k!)^4$: 這部分來自於某些橢圓模形式的母函數（Generating Function）展開。
• $26390k + 1103$: 這部分來自於模形式的傅立葉係數。
• $396^{4k}$: 該部分與模形式的權重（Weight）相關。

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4. Gamma函數與超幾何函數的連接

該公式也可以用 Gamma 函數 和 廣義超幾何函數 的理論來處理。特別地，公式中的級數可以表示為：

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!}{(k!)^4} x^k = {}_2F_1\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; x\right),$$

這是一個基本的超幾何級數。

透過這些轉換，可以將 Chudnovsky 公式的核心轉化為一個具有明確邊界條件和值的超幾何函數的級數求和問題。

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5. 聯繫 $\pi$ 的特殊值

級數收斂的速度非常快（因為 $396^{4k}$ 使得級數快速衰減）。特別地，這個公式和 $\pi$ 的特殊值密切相關。使用模形式的理論，可以直接證明這個級數等價於 $\pi$ 的倒數，並且該級數的具體形式保證其收斂速度極快。

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6. 結論

通過橢圓模形式的特性、級數展開的具體計算以及 $\pi$ 的特殊值聯繫，可以證明：

$$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!}{(k!)^4} \cdot \frac{26390k + 1103}{396^{4k}}.$$

這裡的核心是模形式理論和橢圓函數的深刻數學結構。若需要更詳細的分步證明，可以深入研究模形式和 Ramanujan 級數的背景。