Шифрование и дешифрование

Tracking encryption steps

I’m working through encrypting "ИТ = (х) НИКОЛАЕВА" using the Affine cipher with y = (a*x + b) mod 33. Confusion arises with inconsistent values for a and b in different segments.

Spotting inconsistencies

Interestingly enough, the user's puzzle shows a mix of values for a and b in encryption and inverse decryption. This discrepancy might stem from different example parts.

Decrypting ambiguity

OK, let me see. "ИТ = (x) НИКОЛАЕВА" could be "НИКОЛАЕВА" with "ИТ" as an extra element. Calculating a^-1 mod 33 for decryption seems essential.

Mapping out steps

I’m laying out encryption with a=8, b=9, showing decryption with a modulo 33, and figuring out the inverse of a=5 modulo 33. Progressing through each part systematically.

Crafting encryption

I’m focusing on encrypting "ИТ" with a=8, b=9, then decrypting by calculating the inverse of a=8 modulo 33. This involves checking whether a and 33 are coprime to confirm encryption feasibility.

Encrypting and decrypting

I’m encrypting "ИТ" with a=8, b=9 using the Affine cipher modulo 33. Then, calculating the inverse of a=8 modulo 33 for decryption. Also, determining the inverse of a=5 modulo 33.

Piecing together the alphabet

I'm mapping the Russian alphabet to numbers, typically starting with A=0. Different systems might start with A=1 or A=0, but Affine cipher generally uses A=0.

Mapping values

I’m thinking through the Russian alphabet, converting "ИТ" to numeric equivalents (И=9, Т=19). Then, encrypting with y=(8*x +9) mod 33 gives y=15 and y=29.

Decoding the message

I’m mapping "ИТ" to "ОЬ" using the Affine cipher. To decrypt, I need the inverse of 8 modulo 33, found using the extended Euclidean algorithm, resulting in 29.

Breaking down the process

Decrypting "ОЬ" with a=29 modulo 33, calculating the extended Euclidean algorithm for the inverse of a=5 modulo 33 to ensure the remainder meets the condition.

Unpacking encryption

I’m clarifying the use of "ИТ" as an example, noting "НИКОЛАЕВА" is likely the key, and confirming the Affine cipher parameters for encryption and decryption. Understanding all this better now.

Ragionamento per 18 secondi

Для шифрования текста "ИТ" с использованием аффинного шифра и последующего дешифрования выполним следующие шаги.

Шаг 1: Определение числовых значений букв

Предположим, что мы используем стандартный русский алфавит из 33 букв, где каждая буква соответствует числу от 0 до 32:

0: А, 1: Б, 2: В, 3: Г, 4: Д, 5: Е, 6: Ё, 7: Ж, 8: З, 9: И,
10: Й, 11: К, 12: Л, 13: М, 14: Н, 15: О, 16: П, 17: Р, 18: С,
19: Т, 20: У, 21: Ф, 22: Х, 23: Ц, 24: Ч, 25: Ш, 26: Щ, 27: Ъ,
28: Ы, 29: Ь, 30: Э, 31: Ю, 32: Я

Таким образом:

• И соответствует числу 9
• Т соответствует числу 19

Шаг 2: Шифрование текста "ИТ"

Используем формулу шифрования аффинным шифром: $y = (a \cdot x + b) \mod 33$ где:

• $a = 8$
• $b = 9$

Шифрование буквы "И" ($x = 9$):

Число 15 соответствует букве О.

Шифрование буквы "Т" ($x = 19$):

Число 29 соответствует букве Ь.

Таким образом, зашифрованный текст "ИТ" превращается в "ОЬ".

Шаг 3: Вычисление обратного элемента $a^{-1}$ для $a = 8$ по модулю 33

Для дешифрования нам необходим обратный элемент $a^{-1}$, такой что:

Используем расширенный алгоритм Евклида для нахождения $a^{-1}$:

1. Разложение на шаги:

   $$33 = 4 \cdot 8 + 1$$ $$8 = 8 \cdot 1 + 0$$

   Таким образом, НОД(8, 33) = 1.

2. Обратный элемент находится как:

   $$1 = 33 - 4 \cdot 8$$

   Следовательно:

   $$a^{-1} \equiv -4 \mod 33 \equiv 29 \mod 33$$

Проверка:

Таким образом, $a^{-1} = 29$.

Шаг 4: Дешифрование зашифрованного текста "ОЬ"

Используем формулу дешифрования:

где:

• $a^{-1} = 29$
• $b = 9$

Дешифрование буквы "О" ($y = 15$):

Число 9 соответствует букве И.

Дешифрование буквы "Ь" ($y = 29$):

Число 19 соответствует букве Т.

Таким образом, расшифрованный текст "ОЬ" возвращается к исходному "ИТ".

Шаг 5: Вычисление обратного элемента $a^{-1}$ для $a = 5$ по модулю 33

Для примера, найдем обратный элемент $a^{-1}$ для $a = 5$:

Используем расширенный алгоритм Евклида:

1. Разложение:

   $$33 = 6 \cdot 5 + 3$$ $$5 = 1 \cdot 3 + 2$$ $$3 = 1 \cdot 2 + 1$$ $$2 = 2 \cdot 1 + 0$$

   Таким образом, НОД(5, 33) = 1.

2. Обратный элемент:

   $$1 = 3 - 1 \cdot 2$$ $$= 3 - 1 \cdot (5 - 1 \cdot 3)$$ $$= 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5$$ $$= 2 \cdot (33 - 6 \cdot 5) - 1 \cdot 5$$ $$= 2 \cdot 33 - 13 \cdot 5$$

   Таким образом:

   $$1 \equiv -13 \cdot 5 \mod 33$$ $$a^{-1} \equiv -13 \mod 33 \equiv 20 \mod 33$$

Проверка:

Таким образом, $a^{-1} = 20$.

Вывод

• Зашифрованный текст "ИТ" с использованием аффинного шифра ($a = 8$, $b = 9$) получается "ОЬ".
• Для дешифрования необходимо использовать обратный элемент $a^{-1} = 29$.
• Дополнительно, обратный элемент для $a = 5$ по модулю 33 равен 20.